2023-2024学年高中数学人教A版必修第二册8.3简单几何体的表面积和体积经典题型检测卷（含解析）（含解析）

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2023-2024学年高中数学人教A版必修第二册8.3简单几何体的表面积和体积经典题型检测卷
一、单选题
1．已知一个圆锥的表面积为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
2．若一个圆锥的轴截面是一个腰长为，底边上的高为1的等腰三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B．
C． D．
3．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
4．在三棱锥中，线段上的点满足，线段上的点满足，则三棱锥和三棱锥的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
5．学校以“布一室馨香，育满园桃李”为主题开展了系列评比活动，动员师生一起为营造舒心愉悦的学习生活环境奉献智慧．张老师特地培育了一盆绿萝放置在教室内，绿萝底部的盆近似看成一个圆台，圆台的上、下底面半径之比为，母线长为，其母线与底面所成的角为，则这个圆台的体积为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知圆锥的高为，体积为，若圆锥的顶点与底面圆周上的所有点均在球上，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．设是同一个球面上四点，球的表面积为，是边长为6的等边三角形，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知正四棱锥的底面边长是，体积是，那么这个四棱锥的侧棱长为（ ）
A． B．2 C． D．
二、多选题
9．如图，透明塑料制成的直三棱柱容器内灌进一些水，，，若水的体积恰好是该容器体积的一半，容器厚度忽略不计，则（ ）
A．当底面水平放置后，固定容器底面一边于水平地面上，将容器绕着转动，则没有水的部分一定是棱柱
B．转动容器，当平面水平放置时，容器内水面形成的截面与各棱的交点都是所在棱的中点
C．在翻滚、转动容器的过程中，有水的部分可能是三棱锥
D．容器中水的体积与直三棱柱外接球体积之比至多为
10．已知圆锥的底面圆的半径与球的半径相等，且圆锥，与球的表面积相等，则（ ）
A．圆锥的母线与底面所成角的余弦值为
B．圆锥的高与母线长之比为
C．圆锥的侧面积与底面积之比为3
D．球的体积与圆锥的体积之比为
11．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则（ ）

A．该圆台的高为1cm B．该圆台轴截面面积为
C．该圆台的侧面积为 D．该圆台的体积为
三、填空题
12．如图所示的粮仓可近似为一个圆锥和圆台的组合体，且圆锥的底面圆与圆台的较大底面圆重合．已知圆台的较小底面圆的半径为1，圆锥与圆台的高分别为和3，则此组合体的外接球的体积是 ．
13．“升”是我国古代测量粮食的一种容器，在“升”装满后用手指成筷子沿升口刮平，这叫“平升”，如图所示的“升”，从内部测量，其上、下底面均为正方形，边长分别为和，侧面是全等的等腰梯形，梯形的高为，那么这个“升”的“平升”可以装 mL的粮食．（结果保留整数）
14．如图，一个底面半径都为b，高都为a(a>b)的半椭球（左侧图）和一个圆柱中切去圆锥形成的几何体（右侧图）（圆锥的底面置于圆柱的上底面，圆锥的顶点置于圆柱下底面的圆心），将他们放置在同一平面β上，用平行于平面β且与平面β任意距离d处的平面截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环，其中，= ．图中圆柱体（右侧）的底面半径b为1，高a为6，则该半椭球体（左侧图）的体积为 ．
四、解答题
15．某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知半球的直径是6cm，圆柱筒长4cm．
(1)这种“浮球”的体积是多少cm3？（结果精确到0.1）
(2)要在2500个这样的“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需涂胶约多少克？（结果精确到个位）．
16．如图，一个几何体是由一个正三棱柱内挖去一个倒圆锥组成，该三棱柱的底面正三角形的边长为2，高为4．圆锥的底面内切于该三棱柱的上底面，顶点在三棱柱下底面的中心处．
(1)求该几何体的体积；
(2)求该几何体的表面积．
17．已知长方体中，，求：

(1)长方体表面积；
(2)三棱锥的体积．
18．如图（1），埃及胡夫金字塔大约建于公元前2580年，其形状为正四棱锥．已知该金字塔高约146.5m，底面边长约232m，求这座金字塔的侧面积和体积（分别精确到和）．

19．在一个如图所示的直角梯形内挖去一个扇形，是梯形的下底边上的一点，将所得平面图形绕直线旋转一圈．

(1)说明所得几何体的结构特征；
(2)求所得几何体的表面积和体积．
参考答案：
1．D
【分析】根据圆锥表面积公式和扇形的弧长公式求得母线和半径长，进而求得圆锥的高，根据圆锥体积公式即可求得答案．
【详解】设该圆锥的底面半径为，母线为，则，，
解得，
则圆锥的高为，
因此该圆锥的体积，
故选：D
2．B
【分析】求得圆锥的母线长和底面半径，从而求得圆锥的侧面积.
【详解】由题意可得该圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，腰长为，底边长为2，
所以圆锥的母线长，底面圆半径，
所以该圆锥的侧面积为.
故选：B
3．C
【分析】根据圆柱的表面积公式和球的表面积公式求解．
【详解】设球半径为，则圆柱底面半径为，高为，
所以圆柱的表面积与球的表面积之比为，
故选：C．
4．B
【分析】首先求出，再由及锥体的体积公式计算可得.
【详解】因为，，
所以，
设点到平面的距离为，
所以.
故选：B
5．A
【分析】由题意首先画出圆台的轴截面，根据题目已知条件分别求出上下底面圆的面积、圆台的高，再根据圆台体积公式即可得解.
【详解】如图所示：
过点作与点，不妨设上下底面圆圆心分别为，半径分别为，圆台的高，
由题意母线长为，其母线与底面所成的角为，即，
从而，，
又圆台的上、下底面半径之比为，即，
所以，圆台上下两个底面的面积分别为，
由圆台体积公式可知.
故选：A.
6．C
【分析】由圆锥体积公式可求得圆锥底面圆半径，分别讨论球心位于圆锥内部和外部的情况，利用勾股定理可构造方程求得球的半径，代入球的体积公式即可.
【详解】设圆锥的底面圆半径为，球的半径为，则，解得：；
当球心位于圆锥内部时，过圆锥顶点，底面圆圆心和球心作出轴截面如下图所示，
，即，解得：，
球的体积；
当球心位于圆锥外部时，过圆锥顶点，底面圆圆心和球心作出轴截面如下图所示，
，即，解得：，舍去；
综上所述：球的体积为.
故选：C.
7．B
【分析】求出外接圆的半径，求出球的半径，即可求得球心到平面的距离，则可确定点到平面的最大距离，即可根据三棱锥体积公式求得答案.
【详解】已知的边长，此时外接圆的半径为，
设球的半径为R，则，
故球心到平面的距离为，
故点到平面的最大距离为，
此时，
故选：B．
8．C
【分析】由题意首先求出正四棱锥的高，再求出底面对角线长度的一半，最后由勾股定理即可得解.
【详解】设四棱锥的高为，根据已知条件可得，所以，
而，所以这个四棱锥的侧棱长为．
故选：C．
9．AD
【分析】根据直观想象，结合棱柱、三棱锥的概念即可判断AC；根据棱柱和棱台的体积公式计算，即可判断B；根据题意确定棱柱的外接球，结合外接球的体积公式，利用基本不等式计算即可判断D.
【详解】A：当平面水平放置时（始终保持水平），则平面平面，
所以有水的部分是棱柱，由图可知，没有水的部分也是棱柱，故A正确；
B：当平面水平放置时，假设都为所在棱的中点，
设水面到底面的的距离为，，
所以水的体积为，
又转动前水的体积为，
所以不为所在棱的中点，故B错误；
C：在翻滚 转动容器的过程中，
当平面水平放置时，三棱锥的体积取到最大值，如图，
此时，
而水的体积为，所以有水的部分不可能是三棱锥，故C错误；
D：取的中点，连接，取的中点O，连接OA，
则D为的外接圆圆心，O为三棱柱外接球的球心，
所以为外接球的半径，且，
所以直三棱柱外接球体积.
由选项B可知，容器中水的体积为，
又，所以，
当且仅当时等号成立，所以，
则水的体积与直三棱柱外接球体积之比为，
即容器中水的体积与直三棱柱外接球体积之比至多为，故D正确.
故选：AD.
【点睛】本题考查立体图形和旋转体知识.根据直观想象，结合棱柱、三棱锥的概念即可判断AC；根据棱柱和棱台的体积公式计算，即可判断B；根据题意确定棱柱的外接球，结合外接球的体积公式，利用基本不等式计算即可判断D.
10．ACD
【分析】设出圆锥的底面圆半径、母线长及高，利用圆锥与球的表面积求母线与半径的关系，再逐项计算判断即得.
【详解】设圆锥的底面圆的半径为，高为，母线长为，
由圆锥与球的表面积相等，得，解得，
因此圆锥的母线与底面所成角的余弦值为，A正确；
，因此圆锥的高与母线长之比为，B错误；
圆锥的侧面积与底面积之比，C正确；
球的体积与圆锥的体积之比为，D正确.
故选：ACD
11．BCD
【分析】由勾股定理即可求得圆台的高，即可判断A选项；由梯形面积公式即可判断B选项；由台体的侧面积公式可判断C选项；由圆台的体积公式即可判断D选项.
【详解】
如图，作交于，易得，则，则圆台的高为，A错误；
圆台的轴截面面积为，B正确；
圆台的侧面积为，故C正确；
圆台的体积为，D正确.
故选：BCD
12．
【分析】由图形可知外接球的球心一定在圆锥和圆台的高上，然后利用球的半径和圆锥，圆台高之间的关系列出方程求解即可.
【详解】如图：
设外接球半径为，球心为，圆台较小底面圆的圆心为，则，而，
故，所以体积为．
故答案为：
13．1167
【分析】根据题意求出侧棱长，即可得出棱台的高，再代入棱台的体积计算公式得出答案.
【详解】根据题意画出正四棱台的直观图，其中底面是边长为20cm的正方形，底面是边长为10cm的正方形，侧面等腰梯形的高cm，记底面ABCD和底面的中心分别为与，则是正四棱台的高，

过作平面的垂线，垂足为，则，且,,
则,,
则,
侧面是等腰梯形，
,则,
则棱台的高,
则由棱台的体积公式得mL,
故答案为：1167.
14．
【分析】画出圆锥的截面图，由可求出；再利用圆柱、圆锥的体积公式，即可得出结论．
【详解】画出圆锥的截面图，如下图所示，
易知，，由可得：
，即，则，
所以，
根据题意，，
所以半椭球体的体积为，
由题意知：，，
所以半椭球体的体积为：．
故答案为：；．
15．(1)
(2)4710克
【分析】（1）分别求出两个半球的体积，和圆柱体的体积，即可求出“浮球”的体积；
（2）先求出一个“浮球”的表面积，再求出2500个的面积，即可求解.
【详解】（1）
该半球的直径，
所以“浮球”的圆柱筒直径也是，得半径，
所以两个半球的体积之和为，
而，
该“浮球”的体积是；
（2）上下两个半球的表面积是，
而“浮球”的圆柱筒侧面积为，
所以1个“浮球”的表面积为，
因此，2500个“浮球”的表面积的和为，
因为每平方米需要涂胶100克，
所以总共需要胶的质量为：（克）．
16．(1)
(2)
【分析】（1）先求解出正三棱柱的体积，然后再减去倒圆锥的体积，由此可得该几何体的体积；
（2）先计算正三棱柱的表面积，然后减去倒圆锥的底面圆的面积，再加上倒圆锥的侧面积即为该几何体的表面积.
【详解】（1）正三棱柱的底面积为，
所以正三棱柱的体积为，
设正三角形的内切圆半径为，
所以，所以，
所以圆锥的体积为，
所以该几何体的体积为.
（2）因为正三棱柱的表面积为，
倒圆锥的底面圆面积为，
倒圆锥的母线长为，
所以倒圆锥的侧面积为，
所以该几何体的表面积为.
17．(1)10；
(2).
【分析】（1）利用长方体的表面积公式计算即得.
（2）利用锥体体积公式计算即得.
【详解】（1）长方体中，，，
因此长方体的侧面积，
所以长方体的表面积.
（2）的面积，
显然三棱锥的高为，
所以三棱锥的体积.

18．侧面积约为，体积约为
【分析】根据棱锥的侧面积公式和体积公式结合已知条件求解即可
【详解】根据题意可抽象出图（2），其中AC为高，则，，底面周长．
．
．
因此，这座金字塔的侧面积约为，体积约为．
19．(1)该几何体为上半部分为圆锥，下半部分为圆柱体挖去一个半球体的组合体
(2)表面积；体积为
【分析】（1）由旋转体的结构特征分析，
（2）结合图中的数据求，.
【详解】（1）该几何体为上半部分为圆锥，下半部分为圆柱体挖去一个半球体的组合体．
（2）由图中的数据可知圆锥的底面半径为2，母线长为4，高为，圆柱的底面半径为2，高为2，球的半径为2，
所以
，
该几何体的体积为：
．
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