2023-2024学年高中数学人教A版必修第二册第七章复数基础过关训练（含解析）

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2023-2024学年高中数学人教A版必修第二册第七章复数基础过关训练
一、选择题
1．已知，则（　　）
A． B． C． D．
2．已知复数满足，则的共轭复数的虚部为（　　）
A． B． C． D．
3．为虚数单位，则复数（　　）
A． B． C． D．
4．设是虚数单位，复数，则等于（　　）
A． B． C． D．
5．（　　）
A． B． C． D．
6．在复平面内，复数满足，则（　　）
A． B． C． D．
7．将复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到的向量为，那么对应的复数是（　　）
A． B． C． D．
8．欧拉公式（为虚数单位）是瑞士数学家欧拉发明的，将指数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，表示的复数的模为（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．已知复数，其共轭复数为，则（　　）
A．的实部与虚部之和为 B．
C．是纯虚数 D．
10． 已知复数，其共轭复数为，下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
11．已知复数，，下列结论正确的有（　　）
A．
B．若，则的最大值为
C．
D．在复平面内对应的点在第二象限
三、填空题
12．已知为复数，且，则的最大值为　 　.
13．复数，其中为虚数单位，则的实部是　 　．
14．是虚数单位，　 　．
四、解答题
15．解下列小题：
（1）设复数满足，求复数
（2）若复数满足，求复数
（3）已知复数，当实数为何值时，复数对应的点在第四象限．
16．用复数乘法公式验证：若，则．
17．已知复数满足，的虚部为．
（1）求复数；
（2）当复数的虚部大于零，设复数，，在复平面上对应的点分别为，，，求的值．
18．在复平面内，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为 ，，，（其中 为原点）．已知点 对应的复数 ，求 和 分别对应的复数 ，．
19．分式线性变换又称为莫比乌斯变换，它是定义在复数集中形如的变换，其中称为的“像”，称为的“原像”．
（1）若，求的“像”以及“原像”；
（2）若，，求证：的充要条件是；
（3）若，，满足，求的“像”在复平面上所构成图形的面积．
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】D
3．【答案】A
4．【答案】C
5．【答案】B
6．【答案】D
7．【答案】A
8．【答案】C
9．【答案】A,B
10．【答案】A,D
11．【答案】A,C,D
12．【答案】4
13．【答案】5
14．【答案】-1+i
15．【答案】（1）
，
．
（2）设，则，化简得，
根据对应相等得：，解得，，所以．
（3）由，得，因为复数对应的点在第四象限，所以，解得：．
16．【答案】解：
.
17．【答案】（1）解：设z=x+yi，
∴
∵，的 虚部为 ，
∴
解得
或，
∴z=1+i或z=1-i.
（2）解：当复数z的虚部大于零，
则z=1+i，z2=2i，z-z2=1-i，
所以A（1，1），B（0，2），C（1，-1），
所以.
故答案为：-2.
18．【答案】解：由复数运算的几何意义知
19．【答案】（1）解：．
，；
令，，解得．
故的“像”为，的“原像”为．
（2）证明：．
.
所以，证毕．
（3）解：由题意，可知．
类似（），有．可知．
下证．
即．
（或者
）
故满足，，面积为
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