2023-2024学年高中数学人教A版必修第二册第七章复数经典题型检测卷（含解析）

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2023-2024学年高中数学人教A版必修第二册第七章复数经典题型检测卷
一、单选题
1．当时，复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知复数是虚数，则实数m的取值范围是（ ）
A．R B． C． D．
3．已知复数z满足，若z为纯虚数，则（ ）
A．-3 B． C．3 D．0
4．已知复数满足则（ ）
A． B． C． D．
5．关于复数，下列说法正确的是（ ）
A．若，则或
B．复数与分别对应向量与，则向量对应的复数为
C．若点Z的坐标为，则Z对应的点在第三象限
D．若复数z满足，则复数z对应的点所构成的图形面积为
6．复数的三角形式是（ ）
A． B．
C． D．
7．设复数，则（ ）
A． B． C． D．
8．设是虚数单位，则的值为（ ）
A． B． C． D．0
二、多选题
9．设复数且，则下列结论正确的是（ ）
A．可能是实数 B．恒成立
C．若，则 D．若，则
10．已知复数(为虚数单位)，为的共辄复数，若复数，则下列结论正确的是（ ）
A．在复平面内对应的点位于第四象限 B．
C．的实部为 D．的虚部为
11．设是关于的方程的两根，下列命题正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．
D．若，则是共轭虚数
三、填空题
12．已知，则 ．
13．已知复数，若，则当时，实数m的取值范围是 ．
14．定义一个新的运算：．若复数z使，则 ．
四、解答题
15．在复数范围内分解因式：
(1)；
(2)．
16．已知复数z的共轭复数，且．求z．
17．已知z为虚数，为实数，且．
(1)求及z的实部的取值范围．
(2)设，那么u是不是纯虚数？请说明理由．
(3)求的最小值．
18．已知复数．
(1)当复数z是纯虚数时，求实数m的值；
(2)若复数z对应的点在直线上，求实数m的值．
19．已知关于t的一元二次方程有实数根，且点在直线上，求x，y的值．
参考答案：
1．B
【分析】由复数的坐标即可判断.
【详解】,
若，则，，
所以复数在复平面内对应的点位于第二象限.
故选：B
2．C
【分析】根据复数的相关概念运算求解.
【详解】由题意可得：，则，
故实数m的取值范围是.
故选：C.
3．C
【分析】根据纯虚数的定义列关系式求即可.
【详解】因为为纯虚数，所以且，所以．
故选：C.
4．C
【分析】根据式子进行变形,求出即可.
【详解】解：由，得,
故选：C．
5．D
【分析】取，计算模，可判断A;根据复数的几何意义结合向量的运算，可判断B;根据点的坐标特征可判断其所在象限，判断C;根据复数模的几何意义求得复数z对应的点所构成的图形面积，判断D.
【详解】对于A，取 ，则，故A错误；
对于B，，B错误；
对于C，点Z的坐标为，则Z对应的点在第二象限，C错误；
对于D，设，则由可知 ，
故复数z对应的点所构成的图形面积为 ，D正确，
故选：D.
6．A
【分析】根据对应象限角的三角函数值及诱导公式，写出复数的三角形式.
【详解】由，则.
故选：A
7．C
【分析】由复数，利用复数的除法得到，再转化为三角形式求解.
【详解】解：因为复数，
所以，
，
，
，
所以，
故选：C
8．B
【分析】利用的周期性求解，连续4项的和为0.
【详解】，的取值周期为4，连续4项的和为0，所以，
故选:B.
9．BC
【分析】化简为的形式，根据复数为实数、复数的模、共轭复数、复数的平方等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】对选项A，若是实数，则，与已知矛盾，故A错；
对选项B，由A知，
所以，故B正确；
对选项C，，
则，因为，所以，故C正确；
对选项D，，则，因为，所以，所以，故D错误.
故选：BC
10．ABC
【分析】由复数的运算求得，再根据复数的定义计算后判断各选项．
【详解】由题意，
对应点坐标为在第四象限，A正确；，B正确；
的实部为，C正确，虚部是，D错误．
故选：ABC．
【点睛】关键点点睛：本题考查复数的运算，考查复数的定义及几何意义，解题时通过复数的运算化复数为代数形式，然后根据复数的定义求解判断．
11．AB
【分析】根据复数域上方程的根与系数的关系，判断各选项的正误.
【详解】A：由根与系数关系知：，正确；
B：，由，，即，正确；
C：仅当，才有，而方程的根不一定为实数，错误；
D：由于，而，仅当时是共轭虚数，错误；
故选：AB.
12．
【分析】利用复数四则运算法则，计算，然后利用复数相等，得，得答案.
【详解】，所以，从而．
故答案为：.
13．
【分析】先对已知式子化简计算出复数，从而可得，复数，代入中化简可得，从而可求出实数m的取值范围.
【详解】，
所以，．
由得，
所以，即，
解得．
故答案为：
14．
【分析】根据题意得到，即可求解.
【详解】由题意得，即，所以，
即．
故答案为：.
15．(1)
(2)
【分析】（1）（2）结合复数运算求得正确答案.
【详解】（1）由于，
所以.
（2）由于，
所以.
16．或．
【分析】设出复数z的代数形式，再利用复数的乘法、除法运算计算，借助复数相等列出方程求解作答.
【详解】设，则，依题意有，
则有，即，
因此，解得或，所以或．
17．(1)；z的实部的取值范围为
(2)u是纯虚数；理由见解析
(3)1
【分析】（1）设，由实数的概念可得的值，即可求，根据的范围即可得实部的取值范围；
（2）根据复数的除法运算结合纯虚数的概念即可得结果；
（3）将用表示，根据基本不等式即可得结果.
【详解】（1）设，
则．
因为m是实数，，所以，即，于是．
又，所以，
因此z的实部的取值范围是．
（2）u是纯虚数．
理由如下：，
又，所以u为纯虚数．
（3）．
因为，所以，
故，
当且仅当，
即时，取得最小值1．
18．(1)
(2)
【分析】（1）由复数z是纯虚数可得其实部为零，虚部不为零，从而可求出实数m的值；
（2）由题意可得实部等于虚部，从而可求出实数m的值.
【详解】（1）由题意有即，解得，
所以当时，复数z纯虚数．
（2）由题意复数z对应的点在直线上，
则有，解得，
所以当时，复数z对应的点在上．
19．或
【分析】设实数根为，由复数相等的定义化简原式可得，则，消去即可求解.
【详解】解：设方程的实数根为，则，
即，所以，
消去得，即．
由题意知，所以，
解得或，
所以或．
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