2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程经典题型检测卷（含解析）

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2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程经典题型检测卷
一、单选题
1．如图，长为a（a是正常数）的线段AB的两个端点A，B分别在互相垂直的两条直线上滑动，点M是线段AB上靠近A的三等分点，则下列说法正确的为（ ）
A．点M的轨迹是圆 B．点M的轨迹是椭圆且离心率为
C．点M的轨迹是椭圆且离心率大小与a有关 D．点M的轨迹不能确定
2．已知抛物线的焦点为，抛物线的准线与轴交于点，过点的直线与抛物线相切于点，连接，在中，设，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
3．已知双曲线的左顶点为是双曲线的右焦点，点在直线上，且的最大值是，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
4．已知抛物线的焦点为，斜率为的直线经过点，并且与抛物线交于两点，与轴交于点，与抛物线的准线交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．双曲线：的离心率为，实轴长为4，的两个焦点为，.设O为坐标原点，若点P在C上，且，则（ ）
A．2 B． C． D．
6．月光石是由两种长石混合组成的具有月光效应的长石族矿物.它的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的上焦点，半椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点B，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．若双曲线的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则双曲线上的点到两焦点距离之差的绝对值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上.若，则的面积为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．9
二、多选题
9．已知椭圆：（）和：（），则（ ）
A．与的长轴长相等 B．的长轴长与的短轴长相等
C．与的离心率相等 D．与有4个公共点
10．已知抛物线的焦点为F，过点F作直线l交抛物线于点A，B，过A，B分别向C的准线作垂线，垂足分别为P，Q，线段PQ的中点为E，则（ ）
A． B．
C．以PQ为直径的圆过焦点F D．AE⊥BE
11．已知抛物线的焦点为，准线为上的点到焦点的距离为3，过的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），过线段的中点作轴的垂线，交抛物线于点，交的准线于点为坐标原点，则（ ）
A．
B．若，则直线的倾斜角为
C．为常数
D．的面积不小于的面积
三、填空题
12．已知抛物线：，且过焦点的直线与抛物线交于、两点，若以为直径的圆与轴交于和两点，则直线的方程为 .
13．已知，，是抛物线C：上的一点，则周长的最小值为 ．
14．如图所示，由圆锥曲线的光学性质知道：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射（即经椭圆在该点处的切线反射）后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．已知椭圆C的方程为，其左、右焦点分别是，，直线l与椭圆C相切于点，过点P且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点M，则 ．

四、解答题
15．已知椭圆，过外一点作的两条切线，分别交轴于两点.
(1)记的倾斜角分别为.若，求的轨迹方程.
(2)求面积的最小值.
16．已知椭圆E：（）的左右顶点分别为A，B，焦距为2，P是椭圆E上异于A，B的任意一点，若直线PA，PB斜率之积为．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设点在椭圆E的内部，直线AT，BT分别交椭圆E于另外的点C和D，若△CDT的面积为，求t的值．
17．已知椭圆的右顶点为，上顶点为坐标原点，的面积为.
(1)求的方程；
(2)过的右焦点作直线与交于两点（均与点不重合），若，求的方程.
18．已知双曲线的离心率为，且左焦点到渐近线的距离为.过作直线分别交双曲线于和，且线段的中点分别为，.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若直线斜率的乘积为，试探究：是否存在定圆，使得直线被圆截得的弦长恒为4？若存在，请求出圆的标准方程；若不存在，请说明理由.
19．已知抛物线上的点到焦点的距离为．
(1)求抛物线的方程；
(2)点在抛物线上，直线与抛物线交于两点（第一象限），过点作轴的垂线交于点，直线与直线、分别交于点（为坐标原点），且，证明：直线过定点．
参考答案：
1．B
【分析】设，表达出的坐标，利用得到方程，整理为，可得到点M的轨迹是椭圆，从而求出离心率.
【详解】设，由于点M是线段AB上靠近A的三等分点，
设，，则，
即，故，
由，故，即，
整理得到，点M的轨迹是焦点在横轴上的椭圆，
故离心率为.
故选：B
2．A
【分析】由抛物线的性质以及直线与抛物线的位置关系，利用正弦定理即可求解.
【详解】由已知，设点在准线上的射影为，则，
因为直线与抛物线相切.设的方程为，
与联立得，
由，
解得，当时，.
在三角形中由正弦定理可知：
.
故选：A

3．B
【分析】利用两角差的正切公式表示，结合基本不等式求出最大值，解方程求出离心率.
【详解】如图，直线与轴交于点，设，则.
因为，
所以,
.
因为，当且仅当时，等号成立，
所以，整理得，
则，解得.
故选：B

【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：
①求出，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得（的取值范围）．
4．D
【分析】设准线与轴的交点为，过作准线的垂线，垂足为，，根据抛物线的定义以及三角形的性质可得，根据含角的直角三角形的性质可得答案.
【详解】当在第一象限时，
设准线与轴的交点为，过作准线的垂线，垂足为，
因为，且为的中点，
所以为三角形的中位线，即，
所以，又根据抛物线的定义，
所以，
所以在直角三角形中，，
所以，此时，
根据对称性，当在第四象限时，，
故选：D.
5．B
【分析】根据余弦定理可得，由为的中点，得，两边平方后结合双曲线定义联立求得.
【详解】由题意可得，所以，
在中，由余弦定理得，
，
由于，所以，故，
由于是的中点，所以 ，
则，即，
即，①
而，两边平方并整理得，，②
联立①②可得 .
故选：B．
6．D
【分析】依据题意求得椭圆和圆的方程后，解出关键点的坐标，再求面积即可.
【详解】由题意得，半圆的方程为，在半椭圆中，则，
故半椭圆方程为，将代入半椭圆，解得，
将代入半圆，解得，故，
然，
故选：D
7．C
【分析】根据双曲线的几何性质即可求解.
【详解】由题可得渐近线方程为，即，
则焦点到渐近线的距离为，
又，
所以，
所以的标准方程为.
则双曲线上的点到两焦点距离之差的绝对值为，C正确；
故选：C.
8．B
【分析】根据题意，由椭圆的定义，得到，再由勾股定理得，联立方程组，求得，结合三角形的面积公式，即可求解.
【详解】如图所示，椭圆，可得，则，
因为点在椭圆上，可得，
又由，可得,
联立方程组，可得，
所以的面积为.
故选：B.

9．BC
【分析】化为标准方程，求出相关长轴和短轴长以及离心率一一分析即可.
【详解】椭圆：（），即，
椭圆（），，
则的长轴长为，短轴长为，的长轴为，短轴为，故A错误，B正确；
的离心率为，的离心率，故C正确；
因为的长轴长与的短轴长相等，且的焦点在轴上，的焦点在轴上，
则与有2个公共点，故D错误.
故选：BC.
10．BCD
【分析】根据直线过焦点，设直线方程为，联立可得，根据韦达定理，可得，判断选项A,化简判断选项B,利用几何方法判断选项CD.
【详解】抛物线焦点为，设直线AB的方程为,
则，可得,
故，故A错误;
+=+
==
==1>，故B正确;
因为，故,
同理O，则,
所以以PQ为直径的圆过焦点F，C正确;
如图,取AB中点M，连接ME，则，故AE⊥BE，故D正确.
故选：BCD
11．ACD
【分析】根据抛物线定义可得A正确；由弦长公式可得，代入计算可得或，所以B错误；设出直线的方程为并与抛物线方程联立，由韦达定理可得，求出即可得，即C正确；求出弦长，再由点到直线距离公式可得三角形面积表达式为，即可知D正确.
【详解】因为上的点到焦点的距离为3，
根据抛物线的定义可知，所以，所以正确，
对于选项，易知，设直线的倾斜角为，如下图所示：
作于点，作于点，
则，可得，
同理可得，
所以，
令，则，因为，所以，
可得或，所以B错误；
对于选项：因为焦点，所以可设直线的方程为，即，
设，，联立，整理得0，
则，所以，所以，
则，代入抛物线，得，即，
则，
所以，故C正确；
对于D，结合选项C可得：
，
点到直线的距离为，点到直线的距离为，
则，
；
所以可得，即，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：抛物线中弦长与焦半径公式可根据题目条件的不同有很多形式，可以直接由相应结论代入计算即可，也可推导证明后再进行求解.
12．
【分析】由已知可得直线的斜率存在，将直线设为点斜式方程，与曲线联立，利用韦达定理和，列方程求解.
【详解】由已知可得且直线的斜率存在，将直线设为，
由得
设，则
所以，
由题意可知，且
所以
解得，所以直线的方程为.
故答案为：
13．/
【分析】利用抛物线的定义求解即可.
【详解】由题可知为抛物线C的焦点，C的准线方程为．
设d为点M到C的准线的距离，则．
又，所以周长的最小值为．
故答案为：.

14．/
【分析】由椭圆的光学性质得到直线平分，可得，然后算出答案即可.
【详解】因为直线与椭圆C相切于点，所以，解得，
由椭圆C的方程为，所以,,
由椭圆的定义可知：，
由椭圆的光学性质得到直线平分，可得.
故答案为：.
15．(1)
(2)4
【分析】（1）设，，过点直线方程设为，联立直线与椭圆方程，利用判别式为0，结合韦达定理，求解点轨迹方程．
（2）根据点斜式可得的坐标，即可根据三角形面积公式得表达式，结合韦达定理，以及二次函数的性质即可求解最值.
【详解】（1）设,，过点直线方程设为．
由，解得．
相切．
化简得：．
，
点轨迹方程为．
（2）由（1）知：直线的斜率满足，
且，，
在直线中，令，则，
因此,
故,
所以
,
由于，
当且仅当时，取等号，故面积的最小值为4.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，如本题需先将的面积用表示出来，然后再利用二次函数的性质求解最值．
16．(1)
(2)
【分析】（1）由题设设点,计算,得到，利用焦距，即得椭圆方程；
（2）由直线AT，BT的方程与椭圆方程联立求得两点的纵坐标，计算，借助于相似比，将转化成，通过解方程即得值.
【详解】（1）设，则，即，因，，则，
故，又，则，∴，，故椭圆方程为.
（2）
设，.
直线AT方程为：，即与椭圆方程联立,消去整理得：
∴
直线BT方程为:, 即与椭圆方程联立，消去整理得：
∴
∵，又，
因
又由图知，则,同理，代入上式，
，即
，
化简得：，解得：或,即或.
因当时，点在椭圆外，故舍去．∴．
【点睛】关键点点睛：本题主要考查的是直线与圆锥曲线相交产生的面积问题,属于较难题.
解题的关键是通过直线AT，BT的方程与椭圆方程联立求得两点的纵坐标之后，要计算，并把结果利用相似比转化成.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意得到关于的方程，解出即可；
（2）设，联立椭圆方程得到韦达定理式，再计算，整理得，最后代入韦达定理式即可.
【详解】（1）由题意可得，
解得，故的方程为.
（2）由可知为的平分线.
若为轴，此时的平分线为轴，不符合题意，
所以的斜率不存在或斜率不为0，易知，，
设，
联立得方程组得，
因为直线所过定点在椭圆内，则直线与椭圆必有两交点，
所以.①
由（1）可知.
因为为的平分线，
所以，所以，
又因为，则，，
所以，
整理得，
将①式代入整理得，解得，
所以的方程为，即.
.
【点睛】关键点睛：本题的关键是采用设线法得到韦达定理式，再由向量式分析出为的平分线，从而有，最后计算，整理出，再代入韦达定理式即可.
18．(1)；
(2)存在，定圆.
【分析】（1）由离心率、焦点到渐近线距离列方程求双曲线参数，即可得双曲线方程；
（2）设，，联立双曲线求，坐标，法一：研究特殊情况得，并猜想直线过轴上一定点，再由特殊到一般思想证明三点共线；法二：根据已知求直线方程，并确定其过定点，进而写出定圆方程.
【详解】（1）因为双曲线的渐近线方程为，左焦点，
所以，则，又，
所以，得，
故双曲线的标准方程为.
（2）由题设知，设，
则，得，，
所以，
又是的中点，所以，
则，同理，
法一：若，即，即，即，
又，则，此时，此时，
由图形的对称性，猜测直线过轴上一定点.
下面，验证一般性：，，
则，所以三点共线.
综上，直线过定点
所以存在定圆，使得直线被圆截得的弦长恒为4.
法二：若，则，
又，所以，
所以直线的方程为，
即，即，
即，所以直线过定点.
若，即，即，即，
又，则，此时，此时也过.
故直线过定点.
所以存在定圆，使得直线被圆截得的弦长恒为4.
19．(1)
(2)
【分析】（1）利用抛物线定义计算即可；
（2）设坐标及直线方程，含参表示坐标，由得出坐标的关系，联立抛物线根据韦达定理消元计算即可.
【详解】（1）由题意可知抛物线准线方程为：，则，且，
解之得，即抛物线方程为；
（2）依题意与抛物线于第一象限有两个交点，
故可设，
由（1）可知，即，所以，
则，
又，所以，
因为，故，
联立抛物线方程有，
则，显然过定点.
【点睛】思路点睛：第二问通过设点设线，由向量关系得出点的坐标关系，再联立抛物线根据韦达定理消元转化得出直线参数的关系即可.
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