2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册第二章直线和圆的方程经典题型检测卷（含解析）

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2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册第二章直线和圆的方程经典题型检测卷
一、单选题
1．若直线l1：与直线l2：互相垂直，则a的值是（ ）
A． B．1 C．0或 D．1或
2．圆的圆心和半径分别为（ ）
A． B． C． D．
3．圆与圆的公共弦所在直线的方程为（　　）
A． B． C． D．
4．圆和圆的位置关系为（ ）
A．相离 B．相交 C．外切 D．内切
5．已知斜率为的直线经过点，则（ ）
A． B． C．1 D．0
6．如图，的半径等于 2，弦 平行于 x 轴，将劣弧 沿弦对称，恰好经过原点，此时直线 与这两段弧有 4 个交点，则的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
7．已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
8．已知圆直线，点在直线上运动，直线分别与圆相切于点．则下列说法正确的是（ ）
A．四边形的面积最小值为
B．最短时，弦AB长为
C．最短时，弦AB直线方程为
D．直线AB过定点
二、多选题
9．已知圆：，是直线：上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则（ ）
A．有最小值 B．四边形的周长最小为8
C． D．外接圆的面积最大为
10．已知圆：，点为直线：上一动点，点在圆上，以下四个命题表述正确的是（ ）
A．直线与圆相离
B．圆上有2个点到直线的距离等于1
C．过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为
D．过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过点
11．已知圆，点是直线上一动点，过点作直线分别与圆相切于点，则（ ）
A．圆上恰有一个点到的距离为 B．直线恒过定点
C．的最小值是 D．四边形面积的最小值为2
三、填空题
12．过点且与直线平行的直线方程为 .
13．若曲线与直线有两个交点，则实数k的取值范围是 .
14．已知点P为圆：上任一点，点Q为圆：上任一点，则的最小值为 .
四、解答题
15．已知为圆上任意一点．
(1)求的最大值；
(2)求的最大值和最小值；
(3)求的最大值和最小值．
16．已知：圆，直线．
(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；
(2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且时，求直线l的方程．
17．已知在中，AB边所在直线的方程为，AC边所在直线的方程为，AC边上的中线所在直线的方程为．
(1)求C点的坐标；
(2)求的外接圆方程．
18．已知圆的半径为3，圆心在直线上，点.
(1)若圆心在轴上，过点A作圆的切线，求切线方程；
(2)若在圆上存在点，满足（为坐标原点），求圆心的横坐标的取值范围.
19．已知圆经过三点.
(1)求圆的方程；
(2)已知斜率为的直线经过第三象限，且与圆交于点，求的面积的取值范围.
参考答案：
1．D
【分析】利用两条直线垂直的充要条件列出方程，求出a的值即可.
【详解】∵
∴
即
解得或，
故选：D.
2．D
【分析】将圆的一般方程化为标准方程求圆心与半径即可.
【详解】由，所以圆心和半径分别为.
故选：D
3．A
【分析】两圆方程相减即可得解.
【详解】两圆相减可得，
经检验，该方程满足题意，
故公共弦所在直线的方程为.
故选：A.
4．C
【分析】利用圆心距与半径和差关系判定两圆位置关系即可.
【详解】易知圆和圆的圆心与半径分别为：和，所以圆心距为，显然，即两圆相外切.
故选：C
5．B
【分析】利用斜率公式即可求解.
【详解】因为斜率为的直线经过点，
所以，解得.
故选：B.
6．A
【分析】由题意，分别求出直线过点以及与劣弧相切时的值，再结合图形，即可得.
【详解】因为圆的劣弧关于弦对称的图形恰好经过坐标原点，
所以，
如图所示，当直线过时，将代入中，
故，解得，
由对称性可知，圆弧对应的圆的圆心在轴上，设为，
则，即，
解得，且劣弧对应的圆的半径为2，
故劣弧对应的圆方程为，
当直线与劣弧相切时，由，
解得（舍），
结合图形可知，当时，
直线与两段弧有4个交点，
可排除B、D，由，可排除C，
由，，故的取值可能是.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题关键在于求出过点以及与劣弧相切时的的值，结合图象去探究符合要求的的取值可能.
7．B
【分析】根据题意，求得直线的斜率为，进而求得直线的倾斜角，得到答案.
【详解】由直线经过，两点，可得直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，可得，所以.
故选：B.
8．B
【分析】A选项，四边形的面积可以看成两个直角三角形的面积之和，又因切线长定理可知，当最短时，面积最小；B选项，由圆的弦长公式结合锐角三角函数即可求解；C选项，两垂直直线的斜率相乘等于，两平行直线斜率相等；D选项，由向量积公式求定点坐标．
【详解】对于A，四边形的面积可以看成两个直角三角形的面积之和，
即，
最短时，面积最小，故当时，最短，
即，
，故A错误；
由上述可知，时，最短，故最小，
且最小值为，
所以，故B正确；
当最短时，则，又，所以，，
，
可设的直线方程为，
圆心到直线的距离，
解得或，
由于直线在圆心的右侧，且在直线的左侧，
所以，
所以，
即直线的方程为，故C错误；
设圆上一点，，，
，，，
易知，
由于，
所以，
同理，
，
，
，即，
令，解得，
所以直线过定点为，故D错误．
故选：B．
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.
9．ABC
【分析】对A，设，得到的表达式，根据二次函数性质即可得到其最小值，对BCD，均用写出各自表达式即可判断.
【详解】设，，
所以当，即时，取得最小值，A正确；
四边形的周长为，
当取最小值时，四边形的周长最小为8，B正确；
因为，所以，又因为，
所以，
当且仅当时等号成立，则，C正确；
对D，因为，，
则有外接圆即为四边形的外接圆，
而四边形的外接圆是以为直径的圆，
显然外接圆面积，当且仅当时等号成立，
故外接圆的面积最小为，无最大值，D错误，
故选：ABC．

10．ABD
【分析】A、B应用点线距离公式求圆心到直线的距离，结合圆的半径，判断直线与圆的位置及点到直线的距离等于1的个数；C由圆切线性质求最小切线长；D设点，写出以为直径的圆，结合已知圆求公共弦的方程为，进而求定点即可判断.
【详解】A：圆：的圆心，半径，
圆心到直线的距离，所以直线与圆相离．正确；
B：圆心到直线的距离，
所以，则圆上有2个点到直线的距离等于1，正确；
C：由切线的性质知，为直角三角形，，
当且仅当与直线垂直时等号成立，所以的最小值为，错误；
D：设点，，，所以四点，，，共圆，
以为直径，圆心为，半径，圆的方程为，
又圆：，两圆相减得，所以直线的方程为，
因为点在直线上，所以，
所以，整理得，
由，得，所以直线过定点，正确．
故选：ABD

11．BC
【分析】利用圆心到直线的距离求解选项A；利用圆的标准方程和直线恒过定点的求解方法求解选项B；利用弦长公式求解选项C；利用切线长公式求解选项D.
【详解】
圆心，半径，
对A，圆心到直线的距离为，
所以圆上的点到直线距离得最小值为，
圆上的点到直线距离得最大值为，
所以圆上恰有两个点到的距离为，A错误；
对B，设，由题意可知，都在以为直径的圆上，
又，所以为直径的圆的方程为，
整理得，，
联立可得，
，即为直线的方程，
即
令，解得，所以直线恒过定点，B正确；
对C，因为直线恒过定点，
当定点与圆心的连线垂直于时，
圆心到直线的距离最大，则最小，
定点与圆心之间的距离为，
所以，C正确；
对D，四边形的面积为,
根据切线长公式可得，，
当最小时，最小，，
所以最小值为1，即四边形面积的最小值为1，D错误；
故选:BC.
12．
【分析】根据平行得出斜率，利用过点即可得出直线方程.
【详解】由题意，
与直线平行的直线的斜率为，
直线过点，
∴过点且与直线平行的直线方程为：，
即：.
故答案为：.
13．
【分析】化简曲线 得：，求出直线过的定点，当直线与曲线相切时，直线斜率最小，斜率大于的斜率且小于或等于的斜率求解即可.
【详解】如图：
化简曲线 得：.
曲线表示以为圆心，半径的圆的上半圆.
∵直线可化为，
直线经过定点且斜率为.
又∵半圆与直线有两个交点，
设直线与半圆的切线为，半圆的左端点为，
当直线的斜率大于的斜率且小于或等于的斜率时，
直线与半圆有两个相异的交点，
由点到直线的距离公式，当直线与半圆相切时满足.
解之得，即
又因为直线的斜率，
所以直线的斜率的范围为.
故答案为：.
14．1
【分析】根据两圆方程可分别求得其圆心和半径，判断出两圆位置关系即可求得最小距离为1.
【详解】由题知圆半径为，圆心坐标为，
圆：可改写成，即圆半径为，圆心坐标为，
易知，，所以两圆的位置关系为内含，
所以的最小值为．
故答案为：1
15．(1)
(2)最大值为，最小值为.
(3)，
【分析】（1）设，根据直线与圆有公共点，列出不等式，求得的取值范围，即可求解；
（2）把表示直线的斜率，设直线的方程为，结合直线与圆有公共点，列出不等式，即可求解；
解得，所以的最大值为，最小值为.
（3）由，转化为圆的圆心到原点的距离的平方，结合圆的性质，即可求解.
【详解】（1）解：由圆，可得圆心为，半径，
设，将看成直线方程，
因为该直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离，
解得，所以的最大值为.
（2）解：记点，则表示直线的斜率，
设直线的方程为，即，
因为直线与圆有公共点，可得，
解得，所以的最大值为，最小值为.
（3）解：设，
则等价于圆的圆心到原点的距离的平方，
根据圆的性质，可得，
.
16．(1)
(2)
【分析】（1）将圆C的方程配方得标准方程，确定圆心与半径，利用线l与圆C相切，则有，即可求出a的值；
（2）确定圆心到直线的距离，可求a，即可求直线l的方程．
【详解】（1）将圆C的方程配方得标准方程为，
则此圆的圆心为，半径为2．
若直线l与圆C相切，则有，解得．
（2）∵
∴圆心到直线的距离为，∴，
解得．
故所求直线方程为．
17．(1)
(2)．
【分析】（1）由直线方程联立求交点，由边上的中线联立求得的中点，进而由中点坐标公式得点坐标；
（2）联立边上的中线得点坐标，设出圆的一般方程，由三点坐标代入待定系数即得.
【详解】（1）由，得，
所以A点的坐标为，
由，得，即边AC的中点为，
所以C与A关于点M对称，
设，则，得，
所以C点的坐标为．
（2）由，得，
故B点的坐标为，
设的外接圆方程为，且，
则，得，
则所求圆的方程为．
18．(1)或
(2)或
【分析】（1）由已知求出圆心，以及圆的方程.分切线斜率不存在，以及斜率存在两种情况，分别求解即可得出答案；
（2）由已知求出点满足的轨迹为圆，并求出圆的方程.根据已知得出圆与圆有公共点，列出不等式，求解即可得出答案.
【详解】（1）联立可得圆心，
所以，圆的方程为.
当切线斜率不存在时，切线方程为，
此时圆心到的距离，满足题意；
当切线斜率存在时，设切线斜率为，
切线方程为，即.
因为与圆相切，
所以有到的距离，
即，整理可得，解得，
所以，切线方程为，整理可得.
综上所述，切线方程为或.
（2）设圆心，，
则，.
由可得，，
整理可得，，即，
所以，点在以为圆心，为半径的圆上.
由已知可得，圆与圆有公共点，
所以，，即，
平方整理可得，，解得或.
19．(1)
(2)
【分析】（1）设出圆方程，代入点坐标，利用待定系数法求解圆的方程即可.
（2）设出直线方程，表示出的面积，根据参数范围即可求出的面积的取值范围.
【详解】（1）设圆的方程为，将三点坐标代入，
则，解得
则圆的方程为；
（2）
由（1）知圆的方程为，
即圆心，半径为，
可设直线方程：，
圆心到直线的距离为，
由于，且直线与圆交于两点，因此，即，
线段，因此的面积，
由于，则，因此，
所以的取值范围为.
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