新人教版数学九年级上册第二十一章一元二次方程21.2.4《一元二次方程的根与系数的关系》课时练习.doc

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新人教版数学九年级上册
第二十一章第二节一元二次方程的根与系数的关系课时练习
一、选择题
1．关于的方程的两根同为负数，则（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
答案：A
知识点：根与系数的关系
解析：
解答：根据根与系数的关系可知：关于的方程两根的和为－p，积为q，又∵两根同为负数，∴－p＜0，q＞0，∴p＞0，q＞0．
分析：对于一元二次方程的一般形式，方程两根之和为，两根之积为．
2．若关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且满足，则的值为（ ）
A．－1或 B．－1 C． D．不存在
答案：C
知识点：根与系数的关系 解一元二次方程－因式分解法
解析：
解答：根据根与系数的关系可知：，又∵，∴∴，∴，又∵当时，，∴舍去，∴．
分析：k的值不仅须满足，更须在一元二次方程有根的大前提下才有意义，即k的值必须使得才可以．
3．已知实数a、b满足等式，那么的值为（ ）
A．－6 B．2 C．－6或2 D．无法计算
答案：C
知识点：根与系数的关系 完全平方公式
解析：
解答：∵a、b满足等式，∴a、b是方程的两个根或，当a、b是方程的两个根时，，∴
；当时，，综上所述，的值为－6或2．
分析：关键在于理解：a、b满足等式即a、b是方程的两个根．
4．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ）
A． B．3 C．6 D．9cnjy.com
答案：B
知识点：根与系数的关系 完全平方公式
解析：
解答：将方程的两根分别记为，那么，∴直角三角形的斜边长为．
分析：如果直接解方程，可以得到直角三角形的两条直角边的长，再运用勾股定理求出直角三角形的斜边长，但由于方程的两根是无理数，计算十分麻烦.因此应充分利用一元二次方程根与系数的关系进行简便求解．
5．已知是关于的一元二次方程的两个实数根，则式子的值是（ ）
A． B． C． D．
答案：C
知识点：根与系数的关系 完全平方公式
解析：
解答：∵a、b是方程的两个根，∴，∴对所求式子进行变形有：．
分析：在利用根与系数的关系求代数式的值时，常常利用完全平方公式对所求代数式进行变形．
6．已知为方程的两实根，则的值为（ ）
A． B．－28 C．20 D．28
答案：D
知识点：根与系数的关系 完全平方公式
解析：
解答：∵为方程的两实根，∴，∴对所求式子进行变形有：．
分析：利用根与系数的关系求代数式的值时关键在于对所求代数式的变形．
7．方程与方程的所有实数根的和为（ ）
A．3 B．5 C．－2 D．0
答案：A
知识点：根与系数的关系
解析：
解答：设方程的两个根分别为，方程的两个根分别为，∴，，∴这两个方程的所有实数根的和．
分析：在计算前应根据根的判别判断方程根的存在情况．
8．关于x的方程的两个实数根同号，则a的取值范围是（ ）
A． B．a＞0 C．a≥0 D．a≤1
答案：A
知识点：根与系数的关系
解析：
解答：∵关于x的方程的两个实数根同号，∴且，∴．
分析：注意一元二次方程有两个同号的实数根必须同时满足△≥0．
9．一元二次方程的两实数根相等，则的值为（ ）
A． B．或 C． D．或
答案：B
知识点：根与系数的关系
解析：
解答：∵一元二次方程的两实数根相等为x，∴，∴，∴或．
分析：也可以用根的判别式解题：∵一元二次方程的两实数根相等，∴，∴或．
10．以3和－2为根的一元二次方程是（ ）
A．　　 B．　　　C． 　　　 D．
答案：D
知识点：根与系数的关系
解析：
解答：以3和－2为根的一元二次方程中，含x项系数为，常数项的系数为3－2＝－6，所以所求的方程为．
分析：逆用根与系数的关系可以不必解逐一解选项中的方程．
11．设方程的两根分别为，且，那么m的值等于（ 　　 ）
A． B．－2 C． D．1世纪教育网版权所有
答案：B
知识点：根与系数的关系
解析：
解答：∵方程的两根分别为，∴，又∵，∴，∴．
分析：根据根与系数的关系及求得，再由m与的关系求得m的值．
12．已知方程的两个根为、，那么的值（ ）
A．3 B．1 C．－1 D．－6
答案：C
知识点：根与系数的关系
解析：
解答：根据题意得，∴．
分析：利用根与系数的关系可以简化计算．
13．已知两根之和等于两根之积，则m的值为（ ）
A．1 　 B．－1 　　　 C．2 　　　 D．－2
答案：A
知识点：根与系数的关系
解析：
解答：∵方程两根之和等于两根之积，∴，∴．
分析：方程的两根之和为，两根之积为．
14．设α、β是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．－2014 B．2014 C．2013 D．－2013
答案：D
知识点：根与系数的关系
解析：
解答：根据题意有α＋β＝－1，αβ＝2012，∴对所给代数式进行变形得：．
分析：根据α、β的关系对进行适当的变形．
15．已知关于的一元二次方程有两个实数根和，当时，的值为（　　）
A．2 B．或 C． D．
答案：D
知识点：根与系数的关系 根的判别式
解析：
解答：当时，即,∴或.
当时，依据一元二次方程根与系数的关系可得,∴,∴，又∵方程有两个实数根，∴△＝，∴,∴不成立,故无解；当时，,方程有两个相等的实数根,∴△＝,∴．
分析：本题综合考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，注意所求的值一定须在一元二次方程有根的大前提下才有意义，这一点是同学们常常容易忽略出错的地方．
二、填空题
1．如果是一元二次方程的两个实数根，则_________．
答案：6
知识点：根与系数的关系
解析：
解答：根据根与系数的关系可知：．
分析：对于一元二次方程的一般形式，根与系数的关系为．
2．一元二次方程两根的倒数和等于__________．
答案：
知识点：根与系数的关系
解析：
解答：将一元二次方程两根分别记为，那么，∴两根的倒数和为．
分析：对于所给的代数式进行变形，使其与两根的和与积有联系，再利用根与系数的关系进而求得代数式的值．
3．关于x的方程的根为，则p＝______，q＝______．
答案：－2，－1
知识点：根与系数的关系 平方差公式
解析：
解答：根据根与系数的关系有：，，∴．
分析：对于一元二次方程的一般形式，根与系数的关系为．
4．若是方程的两根，那么，．
答案：39，53
知识点：根与系数的关系 完全平方公式
解析：
解答：根据题意有，，∴，∴．
分析：对于所给的代数式进行变形，使其与两根的和与积有联系，再利用根与系数的关系进而求得代数式的值．
5．已知方程的两根之比为2，则k的值为_______．
答案：
知识点：根与系数的关系 解二元一次方程组
解析：
解答：记方程的两根分别为，根据题意有，根据根与系数的关系有，由，解得，∴．
分析：根据根与系数的关系可知k的值为两根的积，再利用两根和为1、比为2可以求得两根的值，进而可求k的值．
三、解答题
1．不解方程，求下列方程的两根的和与积．
（1） 　　　　　 （2）
答案：（1），；（2），
知识点：根与系数的关系
解析：
解答：解：根据根与系数的关系可得：（1），；（2），．
分析：对于一元二次方程的一般形式，根与系数的关系为．
2．已知是一元二次方程的两个实数根，且满足不等式，求实数m的取值范围．21教育网
答案：
知识点：根与系数的关系 解一元一次不等式
解析：
解答：解：根据根与系数的关系可知：，，又∵，∴，∴．
分析：先根据根与系数的关系求得两根的积与两根和，再解所给不等式，进而可求m的取值范围．
3．若ab≠1，且有，求的值．
答案：
知识点：根与系数的关系
解析：
解答：解：由题意可知，将方程的两边都除以得，∴a、b为方程的两个实数根，∴．
分析：本题目的关键在于对方程的适当变形，最终得到a、b为方程的两个实数根．
4．已知关于x的方程的两根是一个矩形两邻边的长．
（1）k为何值时，方程有两个实数根；（2）当矩形的对角线长为时，求k．
答案：（1）；（2）2
知识点：根与系数的关系 解一元二次方程 完全平方公式 根的判别式
解析：
解答：解：（1）方程有两个实数根，那么，解得，∴时方程有两个实数根；（2）记方程的两个实数根分别为，∴，∵呈矩形的对角线长为时，∴，∴，∴，∴，∴，又∵方程有两个实数根需满足，∴．
分析：在根据根与系数的关系的时候，常常需要考虑根的判别式是否可以大于或等于0．
5．已知关于x的一元二次方程有两个非零实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）两个非零实数根能否同为正数或同为负数？若能，请求出相应的m的取值范围，若不能，请说明理由．
答案：（1）；（2）
知识点：根与系数的关系 根的判别式
解析：
解答：解：（1）关于x的一元二次方程有两个非零实数根，∴且，∴；（2）假设两个非零的实数根同号，那么两根的积为正即，∴，又由（1）可知：，∴．
分析：（1）的关键在于非零实数根即常数项不为0；（2）的关键在于务必结合（1）中的m的取值范围确定m的最终取值范围，因为只有这样才可以保证方程有两个实数根．
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