新人教版数学九年级上册第二十二章二次函数22.1.3《二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质》课时练习.docx

新人教数学九年级上册第22章 22.1.3二次函数 的图象和性质课时作业
一、选择题
1. y=(x－1)2＋2的对称轴是直线（ 　）
A．x=－1 B．x=1 C．y=－1 D．y=1
答案：B
知识点：二次函数的性质
解析：解答：二次函数 的对称轴为x=1
分析：二次函数 的对称轴为x=h
2. 将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（　　）
A. y=3 B. y=3 C. y=3 D. y=3
答案：A
知识点：二次函数的性质
解析：解答：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=3向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y=3+3；由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=3+3向左平移2个单位所得抛物线的解析式为：y=3+3．故选A．
分析：本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可
3.抛物线y=-6x2可以看作是由抛物线y=-6x2+5按下列何种变换得到（　　）
A.向上平移5个单位 B .向下平移5个单位
C 向左平移5个单位 D 向右平移5个单位
答案：B
知识点：二次函数的性质
解析：解答：∵y=-6x2+5的顶点坐标为（0，5），
而抛物线y=-6x2的顶点坐标为（0，0），
∴把抛物线y=-6x2+5向下平移5个单位可得到抛物线y=-6x2．
故选B．
分析：本题考查了抛物线的几何变换：抛物线的平移问题可转化为其顶点的平移问题，抛物线的顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0），则抛物线的顶点坐标为（h，k）．先得到两个抛物线的顶点坐标，然后根据顶点坐标判断平移的方向和单位长度．
4.抛物线的顶点坐标是（　　）
A．（-1，2） B．（-1，-2） C．（1，-2） D．（1，2）
答案：D
知识点：二次函数的性质
解析：解答：∵顶点式，顶点坐标是（h，k），
∴抛物线的顶点坐标是（1，2）．
故选D．
分析：主要考查了求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法．熟记二次函数的顶点式的形式是解题的关键．直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标．
5.设A（-2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=-（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A. B. C. D.
答案：A
知识点：二次函数的性质
解析：解答：∵函数的解析式是y=-（x+1）2+a，如右图，
∴对称轴是x=-1，
∴点A关于对称轴的点A′是（0，y1），
那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边y随x的增大而减小，
于是y1＞y2＞y3．
故选A．
分析：本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是能画出二次函数的大致图象，据图判断．根据二次函数的对称性，可利用对称性，找出点A的对称点A′，再利用二次函数的增减性可判断y值的大小．
6.已知二次函数y=a（x-2）2+c（a＞0），当自变量x分别取、3、0时，对应的函数值分别：y1，y2，y3，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（　　）
A. B. C. D.
答案：B
知识点：二次函数的性质
解析：解答：∵二次函数y=a（x-2）2+c（a＞0），
∴该抛物线的开口向上，且对称轴是x=2．
∴抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，
∵x取0时所对应的点离对称轴最远，x取时所对应的点离对称轴最近，
∴y3＞y2＞y1．
故选B．
分析：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．解题时，需熟悉抛物线的有关性质：抛物线的开口向上，则抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大．根据抛物线的性质，开口向上的抛物线，其上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，x取0时所对应的点离对称轴最远，x取时所对应的点离对称轴最近，即可得到答案．
7.已知二次函数y=a（x+1）2-b（a≠0）有最小值1，则a，b的大小关系为（　　）
A．a＞b B． a＜b C． a=b D．不能确定
答案：B
知识点：二次函数的性质
解析：解答：∵二次函数y=a（x+1）2-b（a≠0）有最小值，
∴抛物线开口方向向上，即a＞0；
又最小值为1，即-b=1，∴b=-1，
∴a＞b．
故选A．
分析：本题考查的是二次函数的最值，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．根据函数有最小值判断出a的符号，进而由最小值求出b，比较a、b可得出结论．
8.已知二次函数y=2（x-3）2+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=-3；③其图象顶点坐标为（3，-1）；④当x＜3时，y随x的增大而减小．则其中说法正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案：A
知识点：二次函数的性质
解析：解答：①∵2＞0，∴图象的开口向上，故本小题错误；
②图象的对称轴为直线x=3，故本小题错误；
③其图象顶点坐标为（3，1），故本小题错误；
④当x＜3时，y随x的增大而减小，正确；
综上所述，说法正确的有④共1个．
故选A．
分析：本题考查了二次函数的性质，主要考查了函数图象的开口方向，对称轴解析式，顶点坐标，以及函数的增减性，都是基本性质，熟练掌握性质是解题的关键．结合二次函数解析式，根据函数的性质对各小题分析判断解答即可．
9.二次函数y=a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y=mx+n的图象经过（　　）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限
答案：C
知识点：二次函数的图象
解析：解答：∵抛物线的顶点在第四象限，
∴-m＞0，n＜0，
∴m＜0，
∴一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限，
故选C．
分析：此题考查了二次函数的图象，用到的知识点是二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，关键是根据抛物线的顶点在第四象限，得出n、m的符号．
根据抛物线的顶点在第四象限，得出n＜0，m＜0，即可得出一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限．
10.如图，抛物线y1=a（x+2）2-3与y2=（x-3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：
①无论x取何值，y2的值总是正数；②a=1；③当x=0时，y2-y1=4；④2AB=3AC；
其中正确结论是（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
答案：B
知识点：二次函数的图象
解析：解答：①∵抛物线y2=（x-3）2+1开口向上，顶点坐标在x轴的上方，∴无论x取何值，y2的值总是正数，故本小题正确；
②把A（1，3）代入，抛物线y1=a（x+2）2-3得，3=a（1+2）2-3，解得a=
，故本小题错误；
③由两函数图象可知，抛物线y1=a（x+2）2-3解析式为y1=（x+2）2-3，当x=0时，y1=
（0+2）2-3=-，y2=（0-3）2+1=，故y2-y1=--=-，故本小题错误；
④∵物线y1=a（x+2）2-3与y2=（x-3）2+1交于点A（1，3），
∴y1的对称轴为x=-2，y2的对称轴为x=3，
∴B（-5，3），C（5，3）
∴AB=6，AC=4，
∴2AB=3AC，故本小题正确．
故选D．
分析：本题考查的是二次函数的性质，根据题意利用数形结合进行解答是解答此题的关键．
根据与y2=（x-3）2+1的图象在x轴上方即可得出y2的取值范围；把A（1，3）代入抛物线y1=a（x+2）2-3即可得出a的值；由抛物线与y轴的交点求出，y2-y1的值；根据两函数的解析式直接得出AB与AC的关系即可．
11.由二次函数y=2（x-3）2+1，可知（　　）
A．其图象的开口向下
B．其图象的对称轴为直线x=-3
C．其最小值为1
D．当x＜3时，y随x的增大而增大
答案：C
知识点：二次函数的图象
解析：解答：由二次函数y=2（x-3）2+1，可知：
A：∵a＞0，其图象的开口向上，故此选项错误；
B．∵其图象的对称轴为直线x=3，故此选项错误；
C．其最小值为1，故此选项正确；
D．当x＜3时，y随x的增大而减小，故此选项错误．
故选：C．
分析：此题主要考查了二次函数的性质，同学们应根据题意熟练地应用二次函数性质，这是中考中考查重点知识．根据二次函数的性质，直接根据a的值得出开口方向，再利用顶点坐标的对称轴和增减性，分别分析即可．
12.已知二次函数y=（x-1）2-1（0≤x≤3）的图象，如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（　　）
A．有最小值0，有最大值3
B．有最小值-1，有最大值0
C．有最小值-1，有最大值3
D．有最小值-1，无最大值
答案：C
知识点：二次函数的图象
解析：解答：根据图象可知此函数有最小值-1，有最大值3．
故选C．
分析：此题主要考查了根据函数图象判断函数的最值问题，结合图象得出最值是利用数形结合，此知识是部分考查的重点．根据函数图象自变量取值范围得出对应y的值，即是函数的最值．
13.如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确的是（　　）
A. h=m B . k=n C .k＞n D. h＞0 , k＞0
答案：B
知识点：二次函数的图象
解析：解答：根据二次函数解析式确定抛物线的顶点坐标分别为（h，k），（m，n），
因为点（h，k）在点（m，n）的上方，所以k=n不正确．
故选：B．
分析：本题是抛物线的顶点式定义在图形中的应用．借助图象找出顶点的位置，判断顶点横坐标、纵坐标大小关系．
14在同一直角坐标系中，二次函数y=x2+2与一次函数y=2x的图象大致是（　　）
A. B． C． D．
答案：C
知识点：二次函数的图象
解析：解答：因为一次函数y=2x的图象应该经过原点，故可排除A、B；
因为二次函数y=x2+2的图象的顶点坐标应该为（0，2），故可排除D；
正确答案是C．故选C．
分析：应该识记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
已知一次函数、二次函数解析式，可根据图象的基本性质，直接判断．
15.已知抛物线y=-2（x-3）2+5，则此抛物线（　　）
A．开口向下，对称轴为直线x=-3
B．顶点坐标为（-3，5）
C．最小值为5
D．当x＞3时y随x的增大而减小
答案：D
知识点：二次函数的性质
解析：解答：抛物线y=-2（x-3）2+5，
A、∵a=-2，∴开口向下，对称轴为直线x=3，故本选项错误；
B、顶点坐标为（3，5），故本选项错误；
C、a＜0，∴二次函数有最大值，最大值为5，故本选项错误；
D、当x＞3时y随x的增大而减小，正确．
故选D．
分析：本题考查了二次函数的性质，以及函数的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数的开口方向，对称轴解析式，顶点坐标，最值问题，以及增减性对抛物线解析式分析即可得解．
二、填空题
1.一个y关于x的函数同时满足两个条件：①图象过（2，1）点；②当x＞0时，y随x的增大而减小．这个函数解析式为____
答案：如：y=，y=-x+3，y=-x2+5等．（写出一个即可）
知识点：函数的性质
解析：
解答：符合题意的函数解析式可以是y=，y=-x+3，y=-x2+5等，（本题答案不唯一）
故答案为：y=，y=-x+3，y=-x2+5等．
分析：本题考查了一次函数，反比例函数，二次函数的性质．关键是从三种函数解析式上考虑，只要符合题意即可．本题的函数没有指定是什么具体的函数，可以从一次函数，反比例函数，二次函数三方面考虑，只要符合条件①②即可．
2.若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为____
答案：y=-x2+4x-3
知识点：二次函数的性质
解析：
解答：设抛物线的解析式为y=a（x-2）2+1，
将B（1，0）代入y=a（x-2）2+1得，
a=-1，
函数解析式为y=-（x-2）2+1，
展开得y=-x2+4x-3．
故答案为y=-x2+4x-3．
分析：本题考查了待定系数法求函数解析式，知道二次函数的顶点式是解题的关键．设抛物线的解析式为y=a（x-2）2+1，将点B（1，0）代入解析式即可求出a的值，从而得到二次函数解析式．
3.已知函数y=-3（x-2）2+4，当x=____时，函数取得最大值为____
答案：2,4
知识点：二次函数的性质
解析：解答：∵y=-3（x-2）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（2，4），
又∵a=-3＜0，
∴抛物线的开口向下，顶点是它的最高点，
∴x=2时，函数有最大值为4．
故答案为：2，4．
分析：本题考查了抛物线的顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0），顶点坐标为（h，k），当a＜0，抛物线的开口向下，顶点是它的最高点，即函数值有最大值，x=h，函数值的最大值=k．由抛物线的顶点式y=-3（x-2）2+4，得到抛物线的顶点坐标为（2，4），又a=-3＜0，抛物线的开口向下，于是x=2时，函数有最大值为4．
4.已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=（x-1）2+1的图象上，若x1＞x2＞1，则y1____y2（填“＞”、“＜”或“=”）．
答案：＞
知识点：二次函数的性质
解析：解答：∵a=1＞0，
∴二次函数的图象开口向上，
由二次函数y=（x-1）2+1可，其对称轴为x=1，
∵x1＞x2＞1，
∴两点均在对称轴的右侧，
∵此函数图象开口向上，
∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∵x1＞x2＞1，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
分析：本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，根据题意判断出A、B两点的位置是解答此题的关键．先根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴，再判断出两点的位置及函数的增减性，进而可得出结论．
5.在同一平面内下列4个函数；①y=2（x+1）2-1；②y=2x2+3；③y=-2x2-1；④y=x2-1的图象不可能由函数y=2x2+1的图象通过平移变换得到的函数是____（把你认为正确的序号都填写在横线上）
答案：③，④
知识点：二次函数的性质
解析：解答：二次项的系数不是2的函数有③④．
故答案为③，④．
分析：本题考查二次函数的变换问题．用到的知识点为：二次函数的平移，不改变二次函数的比例系数．找到二次项的系数不是2的函数即可．
三、解答题
1.在同一坐标系内，画出函数y=2x2和y=2（x-1）2+1的图象，并说出它们的相同点和不同点．
知识点：二次函数的图象
解析：解答：如图，
相同点：开口方向和开口大小相同；
不同点：函数y=2（x-1）2+1的图象是由函数y=2x2的图象向上平移1个单位长度，
再向右平移1个单位长度所得到的，位置不同．
分析：本题考查了二次函数的图象，是基础知识要熟练掌握．
分析：先画图象，函数y=2（x-1）2+1的图象是由函数y=2x2的图象向上平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度所得到的．开口方向和开口大小相同，位置不同．
答案：答案见解析
2.已知A（1，0）、B（0，-1）、C（-1，2）、D（2，-1）、E（4，2）五个点，抛物线y=a（x-1）2+k（a＞0）经过其中的三个点．
（1）求证：C、E两点不可能同时在抛物线y=a（x-1）2+k（a＞0）上；
（2）点A在抛物线y=a（x-1）2+k（a＞0）上吗？为什么？
（3）求a和k的值．
答案：答案见解析
知识点：二次函数的性质
解析：解答：（1）∵抛物线y=a（x-1）2+k的对称轴为x=1，
而C（-1，2），E（4，2）两点纵坐标相等，
由抛物线的对称性可知，C、E关于直线x=1对称，
又∵C（-1，2）与对称轴相距2，E（4，2）与对称轴相距3，
∴C、E两点不可能同时在抛物线上；
（2）假设点A（1，0）在抛物线y=a（x-1）2+k（a＞0）上，
则a（1-1）2+k=0，解得k=0，
因为抛物线经过5个点中的三个点，
将B（0，-1）、C（-1，2）、D（2，-1）、E（4，2）代入，
得出a的值分别为a=-1，a=，a=-1，a=，
所以抛物线经过的点是B，D，
又因为a＞0，与a=-1矛盾，
所以假设不成立．
所以A不在抛物线上；
而k为任意数，这与抛物线是确定的矛盾，故点A不在抛物线y=a（x-1）2+k（a＞0）上．
∴A点不在抛物线上；
（3）将D（2，-1）、C（-1，2）两点坐标代入y=a（x-1）2+k中，得
解得
或将E、D两点坐标代入y=a（x-1）2+k中，得
解得
综上所述，
或
分析：本题考查了二次函数图象上点的坐标特点．关键是明确图象上点的坐标必须满足函数解析式．
（1）由抛物线y=a（x-1）2+k可知，抛物线对称轴为x=1，而C（-1，2），E（4，2）两点纵坐标相等，应该关于直线x=1对称，但C（-1，2）与对称轴相距2，E（4，2）与对称轴相距3，故不可能；
（2）假设A点在抛物线上，得出矛盾排除A点在抛物线上；
（3）B、D两点关于对称轴x=1对称，一定在抛物线上，另外一点可能是C点或E点，分别将C、D或D、E两点坐标代入求a和k的值．
3.已知函数y=（m2+m）．
（1）当函数是二次函数时，求m的值；
（2）当函数是一次函数时，求m的值．
答案：（1）m=2；（2）m=1
知识点：二次函数的性质
解析：解答：（1）依题意，得m2-2m+2=2，
解得m=2或m=0；
又因m2+m≠0，
解得m≠0或m≠-1；
因此m=2．
（2）依题意，得m2-2m+2=1
解得m=1；
又因m2+m≠0，
解得m≠0或m≠-1；
因此m=1．
分析：本题主要考查一次函数与二次函数的定义与一般形式．
（1）这个式子是二次函数的条件是：m2-2m+2=2并且m2+m≠0；
（2）这个式子是一次函数的条件是：m2-2m+2=1并且m2+m≠0．
4.已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，-2），求这个二次函数的关系式．
答案：y=2-4x．
知识点：二次函数的性质
解析：解答：设这个二次函数的关系式为y=a（x-1）2-2，
∵二次函数的图象过坐标原点，
∴0=a（0-1）2-2
解得：a=2
故这个二次函数的关系式是y=2（x-1）2-2，即y=2x2-4x．
分析：本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，设解析式时要根据具体情况选择适当形式．
此题告诉了二次函数的顶点坐标，采用顶点式比较简单．
5.如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连接DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE=x，BF=y．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
（3）若y=，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？
答案：答案见解析
知识点：二次函数的性质
解析：解答：（1）∵EF⊥DE，
∴∠BEF=90°-∠CED=∠CDE，
又∠B=∠C=90°，
∴△BEF∽△CDE，
∴
即
解得y=；
（2）由（1）得y=，
将m=8代入，得y=-
=
所以当x=4时，y取得最大值为2；
（3）∵∠DEF=90°，∴只有当DE=EF时，△DEF为等腰三角形，
∴△BEF≌△CDE，
∴BE=CD=m，
此时m=8-x，解方程
=，
得x=6，或x=2，
当x=2时，m=6，
当x=6时，m=2．
分析：本题把相似三角形与求二次函数解析式联系起来，在解题过程中，充分运用相似三角形对应边的比相等，建立函数关系式．
（1）利用互余关系找角相等，证明△BEF∽△CDE，根据对应边的比相等求函数关系式；（2）把m的值代入函数关系式，再求二次函数的最大值；
（3）∵∠DEF=90°，只有当DE=EF时，△DEF为等腰三角形，把条件代入即可．