高二数学开学答案
1．B 2．C 3．B 4．C 5．A 6．A
7．D 8．B
9．BC 10．BCD 11．BD 12．ABD
13．/0.5 14．
15．36 16.
17．认为车迷们对该款汽车的购买意愿与性别有关．
【详解】零假设为：车迷们对该款汽车的购买意愿与性别无关．
根据表中数据可得，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为车迷们对该款汽车的购买意愿与性别有关．
18．，1.82万吨．
【详解】，，，
，
得，
又，，
y关于t的回归方程为．
，将2024对应的代入回归方程得：，
预测2024年该地区生活垃圾无害化处理量将约万吨．
19.【详解】（1）记事件为“该型号新能源汽车参加碰撞测试的得分为分”，则，，.记事件为“该型号新能源汽车参加续航测试的得分为分”，则，，.记事件为“该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格”，
则
，则该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率为.
（2）由题知离散型随机变量的所有可能取值分别为2，4，6，8，10，，，，
，，
则离散型随机变量的分布列为
2 4 6 8 10
所以数学期望.
20．(1)
(2)证明见解析；该定值为2；
【详解】（1）根据题意利用抛物线定义可知，解得；
所以抛物线C的方程为；
（2）如下图所示：
设直线l的方程为，与抛物线方程联立整理可得，
设，则可得；
由于，所以可得，即，
可得，解得或（舍）；
又，所以可得直线的方程为，
联立，可得点D的坐标为；
又，所以可得
；即的长度为定值2.
21．(1)
(2)分布列见解析，
【详解】（1）记“任取1名学生，该生获得一等奖”为事件A，“任取1名学生，该生为高一学生"为事件，
，
故；
（2）由己知可得，的可能取值为，
，
，
，
的分布列为
0 1 2
21．(1)，
(2)分布列见解析，数学期望为
22．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：由已知可得，解得，
因此，椭圆的方程为.
（2）解：易知点、，
若直线与轴重合，则、、重合，则不存在，不合乎题意，
设直线的方程为，设点、，
联立可得，
，
由韦达定理可得，，
所以，
.
（3）解：设点，其中，则
.双鸭山市尖山区2023-2024学年高二下学期开学考试
数学
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
单项选择题（本大题包括8小题，每小题5分，共40分）
1．(改编)双曲线的离心率为，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
2.（原创）已知数列，根据该数列的规律，16是该数列的（ ）
A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项
3．(改编)某校高一年级800名学生在一次考试中数学成绩近似服从正态分布，若某学生数学成绩为102分，则该学生数学成绩的年级排名大约是（ ）
（附：，，）
A．第18名 B．第127名 C．第245名 D．第546名
4．北京大兴国际机场拥有世界上最大的单一航站楼，并拥有机器人自动泊车系统，解决了停车满、找车难的问题．现有5辆车停放在8个并排的泊车位上，要求停放的车辆相邻，箭头表示车头朝向，则不同的泊车方案有（ ）种．
A．120 B．240 C．480 D．960
5．(原创）色差和色度是衡量玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得如下数据：已知该产品的色度和色差之间满足线性相关关系，且，现有一对测量数据为（30, 22.8），则该数据的残差为（ ）
A．0.6 B．0.4 C． D．
6．(改编)的展开式中的系数为（ ）
A．-28 B． C． D．-48
7．设、是椭圆：的两个焦点，点P在C上，若为直角三角形，则的面积为（ ）
A． B． C．或1 D．1或
8．第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往3个场馆开展志愿服务工作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆时，场馆仅有2名志愿者的概率为（ ）
A． B． C． D．
多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分）
9．(原创）下列说法正确的是（ ）
A．已知，则可能取值为6 B．已知，则可能取值为7
C．在的展开式中，各项系数和为0 D．在的展开式中，各项系数和为29
10．下列命题正确的是（ ）
A．若两组成对数据的样本相关系数分别为，则组数据比组数据的相关性较强
B．若样本数据的方差为2，则数据的方差为8
C．已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，剩下28个数据的22%分位数不等于原样本数据的22%分位数
D．某人解答5个问题，答对题数为，若，则
11．（改编）已知正项数列满足，则下列结论一定正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则的值有3种情况
C．若数列满足，则 D．若为奇数，则（）
12．已知F为抛物线的焦点，M，N，P，Q是C上四个不同的动点，满足直线，过F，其中M，P在第一象限，若直线与x轴的交点为，，，，的面积分别为，，，，则（ ）
A．时， B．直线与x轴的交点为
C． D．
三、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分）
13．数列满足：，则 .
14．（原创）已知是双曲线上任意一点，则到的两条渐近线的距离之积为 ．
15．2024年伊始，随着“广西沙糖桔”“马铃薯公主”等热梗的不断爆出，哈尔滨火爆出圈，成为旅游城市中的“顶流”.某班级五位同学也准备共赴一场冰雪之约，制定了“南方小土豆，勇闯哈尔滨”的出游计划，这五位同学准备在行程第一天在圣索菲亚教堂，冰雪大世界，中央大街三个景点中选择一个去游玩，已知每个景点至少有一位同学会选，五位同学都会进行选择并且只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙准备选同一个景点，则不同的选法种数是 .
16．我们称元有序实数组为维向量，为该向量的范数.已知维向量，其中，记范数为奇数的的个数为，则 ； （用含的式子表示，）.
四、解答题(本大题包括6小题，共70分）
17．2023年12月28日，小米汽车举行了技术发布会，首款产品SU7揭开神秘面纱，引起了广大车迷爱好者的热议，为了了解车迷们对该款汽车的购买意愿与性别是否具有相关性，某车迷协会随机抽取了200名车迷朋友进行调查，所得数据统计如下表所示．
性别 购车意愿 合计
愿意购置该款汽车 不愿购置该款汽车
男性 100 20 120
女性 50 30 80
合计 150 50 200
请根据小概率值的独立性检验，分析车迷们对该款汽车的购买意愿与性别是否有关；
参考公式：，其中．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
18．如图是某机构统计的某地区2016年至2022年生活垃圾无害化处理量y（单位：万吨）的折线图．
注：年份代码1-7分别对应年份2016-2022．
求y关于t的回归直线方程（系数精确到0.01），并预测2024年该地区生活垃圾无害化处理量．
参考数据：，，，
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小乘估计公式分别为，．
19．2023年12月11日至12日中央经济工作会议在北京举行，会议再次强调要提振新能源汽车消费.发展新能源汽车是我国从“汽车大国”迈向“汽车强国”的必由之路.我国某地一座新能源汽车工厂对线下的成品车要经过多项检测，检测合格后方可销售，其中关键的两项测试分别为碰撞测试和续航测试，测试的结果只有三种等次：优秀、良好、合格，优秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，该型号新能源汽车在碰撞测试中结果为优秀的概率为，良好的概率为；在续航测试中结果为优秀的概率为，良好的概率为，两项测试相互独立，互不影响，该型号新能源汽车两项测试得分之和记为.
(1)求该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率；
(2)求离散型随机变量的分布列与期望.
20．抛物线上的点到C的准线的距离为5．
(1)求C的方程；
(2)已知直线l与C交于A，B两点，若（O为坐标原点），交AB于点D．点E坐标为，证明的长度为定值，并求出该定值．
21．为弘扬中华优秀传统文化，荣造良好的文化氛围，某高中校团委组织非毕业年级开展了“我们的元宵节”主题知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参加其中的一项，根据各位学生答题情况，获奖学生人数统计如下：
奖项组别 个人赛 团体赛获奖
一等奖 二等奖 三等奖
高一 20 20 60 50
高二 16 29 105 50
(1)从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自高一的概率；
(2)从高一和高二获奖者中各随机抽取1人，以表示这2人中团体赛获奖的人数，求的分布列和数学期望；
22．已知椭圆过点，且离心率为，过右焦点的直线交椭圆于、两点，直线交轴于，过、分别作的垂线，交于、两点，为上除点的任一点．
(1)求椭圆的方程；
(2)求的值；
(3)设直线、、的斜率分别为、、，求的值．
