黑龙江省大庆市铁人中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷(含解析)

大庆铁人中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．若集合,,则的元素个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
2．已知为第三象限角,则下列判断正确的是( )
A. B. C. D.
3．若,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4．已知函数的图象如图所示,则该函数的解析式为( )
A. B.
C. D.
5．定义新运算：当时,;当时,,则函数的最大值等于( )
A.-1 B.1 C.6 D.12
6．定义在R上的奇函数满足,当时,,则( )
A.-2023 B.-1 C.1 D.
7．关于的不等式的解集是,且,则实数的取值范围( )
A. B. C. D.
8．已知函数,若关于x的方程有6个根,则m的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．下列命题中,是真命题的是( )
A., B.,
C., D.,
10．已知幂函数的图象与x轴和y轴都没有交点,且关于y轴对称,则m的值可以为( )
A. －1 B. 1 C. 2 D. 3
11．已知函数,则( )
A. B.在上单调递增
C.的图象关于直线对称 D.的图象关于点对称
12．已知函数,若,则实数可以取的值是( )
A. B. C.1 D.
三、填空题
13．已知正数a,b满足,则的最小值为___________
14．已知一个函数的解析式为,它的值域为,这样的函数有____________个.
15．鲁洛克斯三角形是一种特殊的三角形,指分别以正三角形的顶点为圆心,以其边长为半径作圆弧,由这三段圆弧组成的曲边三角形.它的特点是：在任何方向上都有相同的宽度,机械加工业上利用这个性质,把钻头的横截面做成鲁洛克斯三角形的形状,就能在零件上钻出正方形的孔来.如图,已知某鲁洛克斯三角形的一段弧的长度为,则该鲁洛克斯三角形的面积为______________.
16．函数,若最大值为M,最小值为N,,则的取值范围是_____________.
四、解答题
17．已知全集为实数集,集合,
（1）分别求,,;
（2）已知集合,若,求实数的取值范围．
18．已知是定义在R上的奇函数,当时,.
（1）求当时,时,的解析式;
（2）求不等式的解集.
19．如图所示,角的终边OP与单位圆交与点P,点是射线OP上异于点P的一个动点．
（1）求和的值,并写出点P的坐标;
（2）若将角的终边OP逆时针旋转至的位置,设与单位圆交与,若的坐标,求和的值．
20．已知.
（1）若,求的取值范围;
（2）若关于的方程有解,求实数m的取值范围.
21．近来,国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”,以满足不同层次的多元消费,并拉动就业、带动创业,进而提升区域经济发展活力,某夜市的一位工艺品售卖者,通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计）,每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足.且销售量（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如下表所示
10 15 20 25 30
50 55 60 55 50
（1）给出以下四个函数模型：①;②;③;④.请你根据上表中的数据,从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系,并求出该函数的解析式及定义域
（2）设该工艺品的日销售收入为（单位：元）,求的最小值.
22．已知是定义在R上的奇函数,其中a,,且.
（1）求a,b的值;
（2）判断在上的单调性,并用单调性的定义证明;
（3）设,若对任意的,总存在,使得成立,求m的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：集合,,
则,即元素个数为3.
故选：B.
2．答案：D
解析：因为为第三象限角,
所以,,,
所以.
故选：D.
3．答案：B
解析：由,得或,
由于成立,推不出一定成立,
而成立,能推出一定成立,
故“”是 “”的必要不充分条件.
故选：B.
4．答案：D
解析：由图象知,的定义域为,关于y轴对称,为偶函数,
对于A,的定义域为R,故A错误;
对于B,当,定义域为,
,故是奇函数,故B错误;
对于C,当,定义域为,
,故是奇函数,故C错误;
对于D,,定义域为,
,故是偶函数,故D正确,
故选：D.
5．答案：C
解析：由题意知当时,,当时,,
又,在定义域上都为增函数,的最大值为．
故选：C．
6．答案：B
解析：因为,所以的周期为4,
令,则,
又为奇函数,所以,
,,,
,
.
故选：B.
7．答案：D
解析：关于的不等式的解集是,
m,n是方程的两个根,
即,
或,
,,
,
,
即,
即,
解得,
综上所述,或,
故选：D.
8．答案：D
解析：作出函数图像如图所示：
令,则可化为,
若有6个根,结合图像可知方程在上有2个不相等的实根,
不妨设,,
则,解得,
故m的取值范围为.
故选：D．
9．答案：BD
解析：对于A,当时,,即,故A错误;
对于B,当时,,即,
故B正确;
对于C,当时,,,即,故C错误;
对于D,当时,,,所以,故D正确,
故选：BD.
10．答案：ABD
解析：幂函数的图象与x轴、y轴没有交点,且关于y轴对称,
,且为偶数,
由,得,又,,0,1,2,3.
当时,,为偶数,符合题意;
当时,,为奇数,不符合题意;
当时,,为偶数,符合题意;
当时,,为奇数,不符合题意;
当时,,为偶数,符合题意．
综上所述,,1,3.
故选：ABD.
11．答案：AC
解析：函数定义域为,,
对于A,,当且仅当时取“=”,A正确;
对于B,因在上递减,而在上递增,则在上递减,B不正确;
对于C,因,,即的图象关于直线对称,C正确;
对于D,因,即点与关于点不对称,D不正确
故选：AC.
12．答案：CD
解析：设函数,又函数,
,函数定义域为R,
又,
函数为奇函数,
当时,函数与函数单调递减,
当时,函数单调递减,又函数为R上的奇函数,
函数在R上单调递减,
由,可得,
,即,
所以,解得.
故选：CD.
13．答案：9
解析：因为正数a,b满足,
所以,
当且仅当,即时等号成立．
故答案为：9．
14．答案：9
解析：由函数的解析式为,值域为,
函数的定义域可以为,,,,,,,,,共9种可能,
这样的函数共9个.
故答案为：9.
15．答案：
解析：由题意可知,
设,
则弧的长度为,所以,
设弧所对的扇形的面积为,
,
则该鲁洛克斯三角形的面积为.
故答案为：.
16．答案：
解析：,
令,定义域为R关于原点对称,
,
为奇函数,,
,
,由对勾函数的单调性可知在上单调递减,在上单调递增,
,,,
,
,
故答案为：.
17．答案：（1）,,;
（2）．
解析：（1）全集为实数集R,集合,,
,,故得集合,
,故得集合,,
,;;
（2）集合,,
当时,满足题意,此时,
当时,要使成立,
则需,即,
可得的取值范围是．
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意知,当时,,
当时,,可得,
因为函数是R上的奇函数,所以,
所以,即时,.
（2）当时,不等式,可化为,所以,显然成立;
当时,是奇函数,此时成立;
当时,不等式可化为,所以,解得,所以,
综上可知,不等式的解集为.
19．答案：（1）,,P的坐标为.
（2）
解析：（1）点是射线OP上异于点P的一个动点,
,,
,P的坐标为
（2）由题知角的终边OP逆时针旋转至得到的角为,
在单位圆上,且坐标为,
,,
,,
,
,
.
20．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）
则
故的取值范围为.
（2）
则
设
当时,
当时,
且时,
故
则
故m的取值范围为：
21．答案：（1）选择模型②,
（2）441元.
解析：（1）由表格数据知,当时间变换时,先增后减,而①③④都是单调函数
所以选择模型②,
由,可得,解得
由,解得,.
所以日销售量与时间的变化的关系式为.
（2）由（1）知：
所以
即
当,时,
由基本不等式,可得,
当且仅当时,即时等号成立,
当,时,为减函数,
所以函数的最小值为,
综上,当时,函数取得最小值441元.
22．答案：（1）,
（2）单调递减,证明见解析
（3）
解析：（1）因为是定义在R上的奇函数,
所以,解得,
又因为,所以,
解得,所以,
,则为奇函数
所以,.
（2）在上单调递减.
证明如下：
设,
则
因为,则,
,所以,
所以在上单调递减.
（3）记在上的值域为集合A,在上的值域为集合B,
则原问题等价于
由（2）可知在上单调递减,
所以,
记在区间内的值域为.
当时,易知在上单调递减,
则,
得在区间内的值域为,满足
当时,在上单调递减,
则,,
得在区间内的值域为,满足,
当时,在上单调递减,
则,
,得在区间内的值域为,满足,
当时,在上单调递减,在上单调递增,
则,,
得在区间内的值域为
无实数解,
当时,,在上单调递减,在上单调递增,
则,
得在区间内的值域为,不符合题意.
综上,m的取值范围为.