7.2.1三角函数的定义 教学设计（表格式）

教学设计
题目 三角函数的定义 第 1 课时
内容和内容解析 内容 本节内容主要包括三角函数的定义，根据定义求任意角的三角函数，判断三角函数在各象限的符号。
内容解析 三角函数是一类最典型的周期函数，是解决实际问题的重要工具，是学习数学和物理、天文等其他学科的基础。整体上任意角三角函数知识体系的建立，与其他基本初等函数类似，强调以周期变换为背景，构建从从抽象研究对象（即定义三角函数概念）到研究它的性质图像再到实际应用的过程。
学情分析 学生在以前学习基本初等函数，涉及的量（常量与变量）较少，解析式都有明确的运算含义，而三角中，影响单位圆上点的坐标变化的因素较多，对应关系不以“代数运算”为媒介，而是角与x,y直接对应，无需计算。
目标和目标解析 目标 1.通过分析问题情境中摩天轮离地面高度问题，体会用坐标定义任意角三角函数的必要性，体会由特殊到一般的归纳思想，发展数学抽象和逻辑推理的学科素养； 2.经历任意角三角函数定义的产生过程，理解任意角三角函数的定义，发展逻辑推理的学科素养； 3.会运用定义求任意角的三角函数值、会判定给定三角函数值的符号，发展数学运算的学科素养．
目标解析 1、学生能如了解基本初等函数的背景那样，了解三角函数是刻画现实世界中“周而复始”变化规律的数学工具； 2、学生能根据定义得出三角函数在各象限取值的符号规律。
教学重点 1.任意角三角函数的定义； 2.依据定义求三角函数值； 3.判定三角函数值的符号.
教学难点 任意角三角函数定义的建构过程以及三角函数的对应关系。
教学方法分析 本节课以新课标教学理念为知道，倡导积极主动、勇于探索的学习方式，采用情境导入借助多媒体的运用，让学生理解三角函数的背景及定义的构建过程。
教学过程设计 教师活动与任务设计 学生学习活动与任务解决 设计意图或评价目标
环节一 创设情境 任务一、情境导入 本章导语中提到“天津之眼”的天津永乐桥摩天轮，设其半径为rm，中心离地面高度为，从水平位置B点出发，设半径AB转过的角度为， 问题1：当时，B点离地面的高度h如何表示？当呢？猜想当角为任意角时，h与之间的关系式如何表示？ 问题2：随着摩天轮的转动，角从最初的锐角推广到任意角，对任意角，该如何定义呢？这就是本节要学习的内容，任意角三角函数的定义．上述问题的猜想是否合理呢？我们共同分析： 问题3：上述式子中，我们能否找到一个量替代，使上述形式更简单？它的绝对值与相等，在水平位置上方为正，下方为负． 一、学生独立思考完成，展示答案：，，并作解释说明，进而猜想：． 二、师生共研 当点B在水平位置上方时，，当点当点B在水平位置下方时，，所以，结合猜想，得到，即． 三、学生活动：学生思考后回答，引入直角坐标系，用点B的纵坐标y替代，所以． 任意角三角函数定义的建构过程是本节课的难点，如何自然地引入坐标，使学生体会到用坐标定义的必要性和合理性是设置该问题情境的原因，并且通过摩天轮周而复始的旋转，让学生感受三角函数的背景就是周而复始的运动。
环节二 概念形成 任务二：定义探索 我们以圆心为原点，水平方向为x轴建系，设角终边上点B（x,y），利用我们刚才的分析，得到 问题4：当为锐角时，此规定与初中定义是否吻合？请类比该定义，尝试给出任意角的余弦和正切的定义． 定义任意角的三角函数如下： 设点P（x,y）是角终边上一点，， 叫做角的余弦，记作，即； 叫做角的正弦，记作，即； 叫做角的正切，记作，即． 经历从情境中提炼出任意角的正弦的定义，类比任意角的正弦及初中锐角的余弦和正切的定义，得到任意角的余弦和正切的定义．意在锻炼学生类比推理的能力．
环节三 概念深化 任务三、深化概念 问题5：点P在终边上的位置是否会影响角的三角函数值？ 问题6：依据函数的定义，这几个比值可以分别构成函数吗？若能构成，它们的自变量是什么？自变量的取值范围是什么？ 问题7：依据函数的定义，可以判断出角所在象限与三角函数值的符号吗？ 问题5学生基于初中相似三角形知识能够准确作答； 问题6中“自变量是什么”是一个有难度的问题，教师要注意正确引导和必要的提示，可预备问题“因为，即y越大，sin越大，这种说法正确吗？”引导学生思考．三角函数以角为自变量，对于任意一个角，都有唯一确定的正弦、余弦与之对应；当时，有唯一的正切与之对应，角的正弦、余弦和正切，都称为的三角函数 问题7基本能够准确回答并总结。 本环节是对任意角三角函数概念的深化，一是分析终边上一点（除原点）选取的任意性，二是从函数的角度理解三角函数，明确函数的定义域，为后续研究三角函数做好铺垫．问题“因为，即y越大，sin越大，这种说法正确吗？”的设计，是为了启发学生想到的值并不是由y的值确定，进而分析出三角函数值的改变源于角的改变，这个问题的答案可由学生讨论交流得出．
环节四 概念应用 例1 已知角的终边经过点P（2，-3），求sin，和 例2 求下列各角的正弦、余弦和正切： （1）0； （2）； （3）； （4）． 例3 求的正弦、余弦和正切． 1、解：设x=2，y=-3，则于是 解：（1）角O的终边在x轴正半轴上，在x轴正半轴上取点P（1，0）， 所以，因此 （2）角的终边在y轴正半轴上，在y轴正半轴上取点P（0，1）， 所以，因此不存在． （3）角的终边在x轴负半轴上，在x轴负半轴上取点P（-1，0）， 所以，因此 （4）角的终边在y轴负半轴上，在y轴负半轴上取点P（0，-1）， 所以，因此不存在． 解：在角的终边上取点P，使得OP=2，作， 则在中， 因此MP=1，，从而可知P的坐标为， 因此 学生独立完成，展示交流，教师在学生解题思路和规范性方面进行指导．例1总结步骤：取点、求r、用定义计算．例2补充，要求学生熟记轴上角的三角函数值．例3是求的三角函数值，取点是解决本题的关键，学生的易错点为坐标的正负．例3教师也可依据学情引导学生借助与的对称关系求得．
小结： 1．对比初高中三角函数定义不同之处； 2．由任意角三角函数的定义，我们能得到哪些结论呢？ 问题1使学生明确任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别：任意角的三角函数包含锐角三角函数，实质上锐角三角函数的定义与任意角三角函数的定义是一致的，锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例．所不同的是，锐角三角函数是以边之比来定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标的比来定义的．问题2设置为开放性问题，锻炼学生运用数学概念的能力，发展学生逻辑推理的学科素养．学生能够想到的结论有判断三角函数值正负；终边相同的角三角函数值相等；同角三角函数基本关系式等．
课堂小结 学生总结 1、探究三角函数的定义； 2、三角函数在各象限的符号 学生全程参与，教师只是启发引导。
目标检测与作业设计 练习A组题 作业本：练习B1，3，5 预习单位圆与三角函数线 检测学生本节内容的掌握情况。
板书设计 7.2.1三角函数的定义 一、任意角三角函数的定义 二、正弦、余弦和正切在各象限的符号
反思 本节课课堂气氛较为活跃，学生不仅能在课堂上勇于发言，还能积极参与小组讨论，基本完成教学目标。这节课研究的是三角函数的概念，概念的形成按“事实-概念”的路径，及学生经历了“背景-研究对象-对应关系的本质-定义”的过程，对概念的掌握较为深刻，为后续的学习打下良好的基础。