【2024春人教版八下数学高效实用课件】17.1.1 勾股定理 课件(共30张PPT)

(共30张PPT)
章首引入课
第十七章 勾股定理
该图案是2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽，它与数学中著名的勾股定理有着密切关系.
在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦．根据我国古代数学书《周髀算经》记载，在约公元前11世纪，人们就已经知道,如果勾是三、股是四,那么弦是五.后来人们进一步发现并证明了关于直角三角形三边之间的关系——两条直角边的平方和等于斜边的平方，这就是勾股定理.
本章我们将通过对面积关系的探究，探索并证明勾股定理及其逆定理,将形的特征(三角形中一个角是直角)和数量关系(a2+b2=c2)密切联系起来，并运用这两个定理去解决有关问题.由此可以加深对直角三角形的认识.
通过本章学习，可以为后面的特殊的平行四边形、解直角三角形等内容的学习打下基础.
勾股定理
勾股定理
勾股定理的应用
勾股定理的逆定理
命
题
解决实际生活问题
解决点的距离及数学证明问题
在数轴上表示无理数
证明
勾股
定理
求最短路径问题
互
逆
命
题
互
逆
定
理
勾股定理的逆定理
勾
股
数
17.1.1 勾股定理
第十七章 勾股定理
学习目标
新课引入
新知学习
课堂小结
1
2
3
4
1.掌握勾股定理的证明.
2.会用勾股定理进行简单的计算 .
学习目标
重点
难点
相传2500多年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形
三边的某种数量关系.
新课引入
A
B
C
思考
问题1 图中三个正方形A、B、C的面积有什么关系？
一 勾股定理的认识及验证
新知学习
A
B
C
问题2 图中三个正方形A、B、C所围成的等腰直角三角形三边之间有什么关系？
A
B
C
一直角边2
另一直角边2
斜边2
+
=
问题3　一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关系？(网格中每个小方格的面积均为1)：
这两幅图中A,B的面积都好求，该怎样求C的面积呢？
方法1：补形法(把以斜边为边长的正方形补成各边都在网格线上的正方形）：
左图：
右图：
方法2：分割法(把以斜边为边长的正方形分割成易求出面积的三角形和四边形）：
左图：
右图：
根据前面求出的C的面积直接填出下表：
A的面积 B的面积 C的面积
左图
右图
4
13
25
9
16
9
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c,那么a2+b2=c2.
由上面的几个例子，我们猜想：
a
b
c
a
b
b
c
a
b
c
a
证法1 让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图,再用所拼的图形证明命题1吧.
a
b
c
∵S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
赵爽弦图
b-a
证明：
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽.
证法2 毕达哥拉斯证法，请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
∴a2 +b2 =c2.
证明：
∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,
S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形
=4× ab+c2
=c2+2ab，
在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理.
(a、b、c为正数)
如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
公式变形：
勾股定理
归纳
a
b
c
二 利用勾股定理进行计算
例1 如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°.
(1)若a=b=5,求c;
(2)若a=1,c=2,求b.
解：
(1)据勾股定理得
(2)据勾股定理得
C
A
B
a
b
c
例2 在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图 ，
当BC为斜边时，如图 ，
4
3
A
C
B
4
3
C
A
B
图
图
归纳
当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易漏解.
1.下列说法中,正确的是 （ ）
A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2
B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2
D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2
C
随堂练习
2.在△ABC中，∠C=90°.
（1）若a=15，b=8，则c= .
（2）若c=13，b=12，则a= .
3.若直角三角形中，有两边长是5和7，则第三边长的平方为_________.
17
5
74或24
4. 如图是我国著名的“赵爽弦图”，它用四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，通过面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．现设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b.若ab＝60，大正方形的面积为169，则MN的长为____．
例题图
7
本题选自2024《情境题与中考新考法·讲评教案》
(1)若a：b=1：2 ，c=5,求a;
(2)若b=15，∠A=30°,求a,c.
4.在Rt△ABC中， ∠C=90°.
解：
(1)设a=x,b=2x,根据勾股定理得
x2+(2x)2=52，
解得
(2)
因此设a=x,c=2x,根据勾股定理得
(2x)2-x2=152，
解得
已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解.
内容
在Rt△ABC中， ∠C=90°,a,b为直角边，c为斜边，则有a2+b2=c2.
勾股定理
注意
1.在直角三角形中
2.看清哪个角是直角
3.已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论
课堂小结