【2024春人教版八下数学高效实用课件】17.2 勾股定理的逆定理 课件(共34张PPT)

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人教八下数学
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人教版八年级下册
17.2 勾股定理
的逆定理
第十七章 勾股定理
学习目标
新课引入
新知学习
课堂小结
1
2
3
4
1.理解勾股定理逆定理的具体内容.
2.理解互逆命题、互逆定理的概念.
3.能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形.
学习目标
重点
难点
重点
B
C
A
回顾 问题1 勾股定理的内容是什么
如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.
b
c
a
问题2 求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长：
① a＝3，b＝4；
② a＝2.5，b＝6；
③ a＝4，b＝7.5.
c=5
c=6.5
c=8.5
新课引入
一 勾股定理的逆定理
据说，古埃及人用如图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结,然后以3个结间距，4个结间距，5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（13）
（12）
（11）
（10）
（9）
新知学习
这个问题意味着，如果围成的三角形的三边长分别为3，4，5，它们满足关系“32＋42=52”，那么围成的三角形是直角三角形.
画画看，如果三角形的三边长分别为2.5 cm，6 cm，6.5 cm，它们满足关系“2.52＋62=6.52”，画出的三角形是直角三角形吗
换成三边分别为4 cm，7.5 cm，8. 5 cm，再试一试.
画出的三角形是直角三角形.
画出的三角形也是直角三角形.
由上面几个例子，我们猜想：
命题2 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
你能证明吗？
△ABC≌ △ A′B′C′ 　　
？
∠C是直角　　　
△ABC是直角三角形　　
A　
B　
C　
a
b
c
已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．
求证：△ABC是直角三角形．
构造两直角边分别为a,b的Rt△A′B′C′
证一证
证明：如图，作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a，
∴△ABC≌ △A′B′C′(SSS)，
∴∠C= ∠C′=90° ， 即△ABC是直角三角形.
则
A
C
a
B
b
c
归纳
勾股定理的逆定理:
如果三角形的三边长a 、b 、c满足
a2+b2=c2，
那么这个三角形是直角三角形.
A
C
B
a
b
c
特别说明：
勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对的角为直角.
例1 判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形：
(1) a=15 ， b=8 ，c=17;
解：(1)∵152+82=225+64=289，172=289，
∴152+82=172，
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形.
分析:根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
(2) a=13 ，b=14 ，c=15.
(2)∵132+142=169+196=365，152=225，
∴132+142≠152，
根据勾股定理,这个三角形不是直角三角形.
能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，
称为勾股数.
常见勾股数：
①3，4，5； ②5，12，13；③6，8，10；④7，24，25；
⑤8，15，17；⑥9，40，41；⑦10，24，26等.
勾股数拓展性质：
一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.
例2 如图，某港口 P 位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行， “远航”号每小时航行 16n mile，“海天”号每小时航行 12n mile.它们离开港口一个半小时后分别位于点 Q，R 处，且相距 30n mile.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
分析：在图中可以看到，由于“远航”号的航向已知，如果求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道 “海天”号的航向了.
解：根据题意，
PQ=16×1.5=24， PR=12×1.5=18， RQ=30.
因为，即
所以∠RPQ=90 .
由“远航”号沿东北方向航行可知， ∠1=45 .因此∠2=45 ，即“海天”号沿西北方向航行.
例3 若△ABC的三边a,b,c满足 a:b: c=3:4:5，试判断△ABC的形状.
解：设a=3k,b=4k,c=5k(k＞0),
∵(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,
∴(3k)2+(4k)2=(5k)2,
∴△ABC是直角三角形，且∠C是直角.
已知三角形三边的比例关系判断三角形形状：先设出参数，表示出三条边的长，再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形.如果此直角三角形的三边中有两条边的长度相等，那么该三角形还是等腰直角三角形.
归纳
二 互逆命题和互逆定理
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.
命题2 如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
前面我们学习了两个命题，分别为：
命题1：
直角三角形
a2+b2=c2
命题2：
直角三角形
a2+b2=c2
题设
结论
命题1、命题2是题设和结论正好相反的两个命题.
问题1 命题1、命题2的题设、结论分别是什么？
问题2 两个命题的题设和结论有何联系？
归纳
如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理.
题设和结论正好相反的两个命题叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.
一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立.
勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理.
例4 说出下列命题的逆命题,这些逆命题成立吗？
(1)两条直线平行，内错角相等；
(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
内错角相等，两条直线平行.
如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等.
成立
不成立
(3)全等三角形的对应角相等；
(4)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
对应角相等的三角形全等 .
在角平分线上的点到角两边的距离相等.
不成立
成立
1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．3，4，6
C．5，12，13 D．4，6，7
C
2.一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则这个三角形最长边上的高是 （　　）
A．4 B．3 C．2.5 D．2.4
D
随堂练习
3.下列各组数是勾股数的是 ( )
A.6，8，10
B.7，8，9
C.0.3，0.4，0.5
D.52，122，132
A
（1）如果两个角相等，那么这两个角的补角相等.
（2）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.
如果两个角的补角相等，那么这两个角相等.
如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.
成立.
不成立.
4.写出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？
如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等.
（4）如果两个角是直角，那么它们相等.
如果两个角相等，那么这两个角是直角.
（3）如果两个实数相等，那么它们的平方相等.
不成立.
不成立.
5.若△ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，求△ABC的形状.
解：由(a-b)(a2+b2-c2)=0可知：
a-b=0 或 a2+b2-c2=0.
得 a=b 或 a2+b2=c2.
所以△ABC可能为等腰三角形或直角三角形.
6. A，B，C 三地的两两距离如图所示，A 地在 B 地的正东方向，C 地在 B 地的什么方向？
分析：根据图示的距离，可以判断出以 A，B，C 三地位置构成的三角形是直角三角形.
解：设A，B，C三地对应点A，B，C，则在△ABC中，
因为
.
所以 .
所以△ABC是直角三角形，且∠B=90 ，
所以 C 地在 B 地的正北方向 .
内容
如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
勾股定理
的逆定理
互逆命题
互逆命题、原命题、逆命题
互逆定理、
课堂小结
谢谢
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