2023- 2024学年星海实验中学第二学期初三期初调研试卷
一、选择题:(每题 3分，共 24分)
1.已知一组数据：7,4,3,7,8,6这组数据的中位数和众数分别是 ( )
A. 7，7 B. 7，6.5 C. 6.5，7 D. 5.5，7
2.将抛物线 y=-3x2向左平移 5个单位长度，再向上平移 6个单位长度，所得抛物线相应的函数表达式是
( )
A. y=-3(x+ 5)2+ 6 B. y=-3(x+ 5)2- 6 C. y=-3(x- 5)2+ 6 D. y=-3(x- 5)2- 6
3.在直角坐标系中，点P的坐标是 (3, 3 )，圆P的半径为 3，下列说法正确的是 ( )
A. ⊙P与 x轴、y轴都有两个公共点
B. ⊙P与 x轴、y轴都没有公共点
C. ⊙P与 x轴有一个公共点，与 y轴有两个公共点
D. ⊙P与 x轴有两个公共点，与 y轴有一个公共点
4.已知抛物线 y= ax2- 2ax+ b(a> 0)的图象上三个点的坐标分别为A(3,y1)，B(2,y2)，C(-2,y3)，则 y1，y2，y3
的大小关系为 ( )
A. y3< y1< y2 B. y2< y1< y3 C. y1< y3< y2 D. y1< y2< y3
5.如图，小明在A时测得某树的影长为 8m，B时又测得该树的影长为 2m，若两次日照的光线互相垂直，则树的
高度为 ( )
A. 2m B. 4m C. 6m D. 8m
（第 5题图） (第 7题图) (第 8题图)
6.若关于 x的一元二次方程 ax2+ bx+ 2= 0(a≠ 0)有一根为 x= 2024，则一元二次方程 a(x- 1)2+ bx- b+ 2=
0必有一根为 ( )
A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025
7.如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，OP交⊙O于点C，点D是优弧AB上
不与点A、点B重合的一个动点，连接AD、CD，若∠APB= 76°，则ΔADC的度数为 ( )
A. 26° B. 20° C. 16° D. 30°
8.如图，抛物线 y= ax2+ bx+ c(a≠ 0)与 x轴交于点 (-3,0) 1，其对称轴为直线 x=- 2 ，结合图象分析下列结论：
① abc> 0；② 3a+ c> 0；③当 x< 0时，y随 x的增大而增大；④一元二次方程 cx2+ bx+ a= 0的两根分别为
x 1 11=- 3 ，x2= 2 ；⑤若m，n(m-3且n< 2，
其中正确的结论有 ( )
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
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二、填空题:(每题 3分，共 24分)
9. a b a已知 3 = 5 ，则 + 的值为 ．a b
10.在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的 9个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率
约为 30%，估计袋中黑球有 个．
11.在RtΔABC中，∠C= 90°，AB= 3BC，则 cosB= ．
12. 1已知一组数据的方差S2= [(4- 5)2+ (7- 5)2+ (9- 5)2+ (m- 5)25 + (n- 5)
2]，则m+n的值为 ．
13.已知 x1,x2是一元二次方程 x2+ 5x+ 6= 0 1 1的两个根，则 x + x 的值为 ．1 2
14.若线段AB= 8cm，点C是线段AB的一个黄金分割点 (AC>BC)，则AC的长为 cm(结果保留根号)．
15.函数 y= x2- 2ax- 2在-1≤ x≤ 4有最小值-5，则实数 a的值是 ．
16.在正方形ABCD中，AB= 4，点P是CD边上一动点 (不与点D、C重合)，连接BP，过点C作CE⊥BP，垂足
为E，点F在线段BP上，且满足EF=EC，连接AF，则AF的最小值为 ．
三、解答题:(共 82分）
17.解方程：x(2x- 1) = 4x- 2
(第 16题图)
-1
18.计算：tan60° - (4- π)0+ 2cos30° + 14 ．
19.如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为 1个单位长度，ΔABC的三个顶点的坐标分别为A(-1,3)，B
(-4,0)，C(0,0)．
(1)写出ΔABC的外心坐标 ；
(2)将ΔABC绕原点O顺时针方向旋转 90°得到△A1B1O，画出△A1B1O；
(3)在 (2)的基础上，求A旋转路径的长度及OA扫过的区域面积．
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20.某校在课后服务中，成立了以下社团：A．计算机，B．围棋，C．篮球，D．书法每人只能加入一个社团，为了
解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不
完整的统计图，其中图 1中D所占扇形的圆心角为 150°．
请结合图中所给信息解答下列问题：
(1)这次被调查的学生共有 人；
(2)请你将条形统计图补充完整；
(3)若该校共有 2160学生加入了社团，请你估计这 2160名学生中有 名学生参加了篮球社团；
(4)在书法社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，恰好四位同学中有两名是男同学，两名是女同
学．现决定从这四人中任选两名参加全市书法大赛，用画树状图求恰好选中一男一女的概率．
21.已知关于 x的方程 x2- (k+ 3)x+ 3k= 0．
(1)求证：无论 k取任何实数，该方程总有实数根；
(2)若等腰三角形的三边长分别为 a，b，c，其中 a= 1，并且 b，c恰好是此方程的两个实数根，求此三角形的周
长．
22.如图，已知抛物线 y=-x2+mx+ 3经过点M (-2,3)．
(1)求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标；
(2)当 0≤ y< 4时，x的取值范围是 .
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23.如图 1，图 2，是一款家用的垃圾桶，踏板AB(与地面平行)或绕定点P(固定在垃圾桶底部的某一位置)上下转
动 (转动过程中始终保持AP=A′P，BP=B′P)．通过向下踩踏点A到A′ (与地面接触点)使点B上升到点
B′，与此同时传动杆BH运动到B H 的位置，点H绕固定点D旋转 (DH为旋转半径)至点H ，从而使桶盖打开
一个张角∠HDH ′．如图 3，桶盖打开后，传动杆H ′B′所在的直线分别与水平直线AB、DH垂直，垂足为点
M、C，设H ′C=B′M．测得AP= 6cm，PB= 12cm，DH ′ = 8cm，要使桶盖张开的角度∠HDH 不小于 60°，
那么踏板AB离地面的高度至少等于多少 cm？ (结果精确到 0.1cm) (参考数据: 2 ≈ 1.41. 3 ≈ 1.73)
24.为加强劳动教育，各校纷纷落实劳动实践基地．某校学生在种植某种高产番茄时，经过试验发现：①当每平方
米种植 2株番茄时，平均单株产量为 8.4千克；②在每平方米种植的株数不超过 10的前提下，以同样的栽培条
件，株数每增加 1株，平均单株产量减少 0.8千克．
(1)求平均单株产量 y(千克)与每平方米种植的株数 x(x为整数，且 2≤ x< 10)之间的函数关系式；
(2)已知学校劳动基地共有 10平方米的空地用于种植这种番茄．问：当每平方米种植多少株时，该学校劳动基
地能获得最大的产量？最大产量为多少千克？
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25.如图，在矩形ABCD中，AB= 2BC，F、G分别为AB、DC边上的动点，连接GF，沿GF将四边形AFGD翻折
至四边形EFGP，点E落在BC上，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．
(1)写出GF与AE之间的位置关系是： ；
(2)求证：AE= 2GF；
(3)连接CP，若 cos∠CGP= 45 ，GF= 2 10，求CE的长．
26. 1如图，点D是⊙O直径AC延长线上的点，点B在圆上，且BD2=DC ·DA,tan∠BAC= 2 ，延长BC至点E，使
CE=BC，过点B作BF AC于点F，交AE于点G.
(1)求证：BD与⊙O相切；
S
（2）求 △BCDS 的值.
B
BEG
F
D A
C O
G
E
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27.如图 1，在平面直角坐标系中，直线 y=-8x+ 8与 x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线 y= x2+ bx+ c经过
A、C两点，与 x轴的另一交点为B．
(1)抛物线解析式为 ；
(2)若点M为 x轴下方抛物线上一动点，MN⊥ x轴交BC于点N，当点M运动到某一位置时，线段MN的长度
最大，求此时点M的坐标及线段MN的长度；
(3)如图 2，以 B为圆心、3为半径的⊙B与 x轴交于 E、F两点 (F在 E右侧)，若点P是⊙B上一动点，连接
PA，以PA为腰作等腰RtΔPAD，使∠PAD= 90° (P、A、D三点为逆时针顺序)，连接ED,FD.求ED长度的取
值范围．
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{#{QQABbYSUgggIAAAAAAhCEwUqCEMQkAEACCoGRBAIMAABiANABAA=}#}2023- 2024学年星海实验中学第二学期初三期初调研试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:(每题 3分，共 24分)
1.已知一组数据：7,4,3,7,8,6这组数据的中位数和众数分别是 ( )
A. 7，7 B. 7，6.5 C. 6.5，7 D. 5.5，7
【答案】C
【解析】解：将这组数据重新排列为 3、4、6、7、7、8，
所以这组数据的中位数为 6.5，众数为 7．
故选：C．
2.将抛物线 y=-3x2向左平移 5个单位长度，再向上平移 6个单位长度，所得抛物线相应的函数表达式是
( )
A. y=-3(x+ 5)2+ 6 B. y=-3(x+ 5)2- 6 C. y=-3(x- 5)2+ 6 D. y=-3(x- 5)2- 6
【答案】A
【解析】解：将抛物线 y=-3x2向左平移 5个单位长度，得到的解析式为：y=-3(x+ 5)2，
再向上平移 6个单位长度，得到的解析式为：y=-3(x+ 5)2+ 6，
故所得抛物线相应的函数表达式是：y=-3(x+ 5)2+ 6．
故选：A．
3.在直角坐标系中，点P的坐标是 (3, 3 )，圆P的半径为 3，下列说法正确的是 ( )
A. ⊙P与 x轴、y轴都有两个公共点
B. ⊙P与 x轴、y轴都没有公共点
C. ⊙P与 x轴有一个公共点，与 y轴有两个公共点
D. ⊙P与 x轴有两个公共点，与 y轴有一个公共点
【答案】D
【解析】解：∵P(3, 3 )，圆P的半径为 3，
∴以P为圆心，以 3为半径的圆与 x轴的位置关系是相交，与 y轴的位置关系是相切，
∴该圆与 x轴的交点有 2个，与 y轴的交点有 1个．
故选：D．
4.已知抛物线 y= ax2- 2ax+ b(a> 0)的图象上三个点的坐标分别为A(3,y1)，B(2,y2)，C(-2,y3)，则 y1，y2，y3
的大小关系为 ( )
A. y3< y1< y2 B. y2< y1< y3 C. y1< y3< y2 D. y1< y2< y3
【答案】B
【解析】解：y= ax2- 2ax- b(a> 0)，
-2a
对称轴是直线 x=- 2a = 1，
即二次函数的开口向上，对称轴是直线 x= 1，
即在对称轴的右侧 y随 x的增大而增大，
A点关于直线 x= 1的对称点是D(-1,y1)，B点关于直线 x= 1的对称点是E(0,y2)，
∵-2<-1< 0，
∴ y3> y1> y2，
故选：B．
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5.如图，小明在A时测得某树的影长为 8m，B时又测得该树的影长为 2m，若两次日照的光线互相垂直，则树的
高度为 ( )
A. 2m B. 4m C. 6m D. 8m
【答案】B
【解析】解：根据题意，作ΔEFC，树高为CD，且∠ECF= 90°，ED= 2m，FD= 8m；
∵∠E+∠F= 90°，∠E+∠ECD= 90°，
∴∠ECD=∠F，
∴ΔEDC∽ΔCDF，
∴ ED = CD 2FD，即DC =ED FD= 2× 8= 16，DC
解得CD= 4m．
故选：B．
6.若关于 x的一元二次方程 ax2+ bx+ 2= 0(a≠ 0)有一根为 x= 2024，则一元二次方程 a(x- 1)2+ bx- b+ 2=
0必有一根为 ( )
A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025
【答案】D
【解析】解：对于一元二次方程 a(x- 1)2+ bx- b+ 2= 0，
设 t= x- 1，
所以 at2+ bt+ 2= 0，
而关于 x的一元二次方程 ax2+ bx+ 2= 0(a≠ 0)有一根为 x= 2024，
所以 at2+ bt+ 2= 0有一个根为 t= 2024，
则 x- 1= 2024 x= 2025，
所以 a(x- 1)2+ b(x- 1) + 3= 0必有一根为 x= 2025．
故选：D．
7.如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，OP交⊙O于点C，点D是优弧AB上
不与点A、点B重合的一个动点，连接AD、CD，若∠APB= 76°，则ΔADC的度数为 ( )
A. 26° B. 20° C. 16° D. 30°
【答案】A
【解析】解；如图，连接OB、OA．
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠PBO=∠PAO= 90°
由四边形的内角和定理，得
∠BOA= 360° -90° -90° -76° = 104°，
∵∠OPB=∠OPA，∠OPB+∠POB= 90°，∠OPA+∠POA= 90°，
∴∠POB=∠POA= 52°．
∵∠ADC= 12 ∠AOC= 26°，
故选：A．
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8.如图，抛物线 y= ax2+ bx+ c(a≠ 0)与 x轴交于点 (-3,0) 1，其对称轴为直线 x=- 2 ，结合图象分析下列结论：
① abc> 0；② 3a+ c> 0；③当 x< 0时，y随 x的增大而增大；④一元二次方程 cx2+ bx+ a= 0的两根分别为
x 1 11=- 3 ，x2= 2 ；⑤若m，n(m-3且n< 2，
其中正确的结论有 ( )
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
【答案】A
【解析】解：∵抛物线 y= ax2+ bx+ c(a≠ 0)与 x 1轴交于点 (-3,0)，其对称轴为直线 x=- 2
∴抛物线 y= ax2+ bx+ c(a≠ 0)与 x轴交于点 (-3,0)和 (2,0)，且 a= b
由图象知：a< 0，c> 0，b< 0
∴ abc> 0，故结论①正确；
∵抛物线 y= ax2+ bx+ c(a≠ 0)与 x轴交于点 (-3,0)
∴ 9a- 3b+ c= 0
∵ a= b，c=-6a
∴ 3a+ c=-3a> 0，故结论②正确；
∵当 x<- 1 y x - 12 时， 随 的增大而增大；当 2 < x< 0时，y随 x的增大而减小，∴结论③错误；
∵ cx2+ bx+ a= 0，c> 0
∴ ca x
2+ ba x+ 1= 0
∵抛物线 y= ax2+ bx+ c(a≠ 0)与 x轴交于点 (-3,0)和 (2,0)
∴ ax2+ bx+ c= 0的两根是-3和 2
∴ b ca = 1，a =-6
∴ c x2+ ba a x+ 1= 0即为：-6x
2+ x+ 1= 0，解得 x1=- 13，x2=
1
2；，故结论④正确；
∵抛物线 y= ax2+ bx+ c(a≠ 0)与 x轴交于点 (-3,0)和 (2,0)，
∴ y= ax2+ bx+ c= a(x+ 3) (x- 2)
∵m，n(m∴m，n(m∴m，n(m结合图象得：m<-3且n> 2，故结论⑤错误；
故选：A．
二、填空题:(每题 3分，共 24分)
9. a b a已知 3 = 5 ，则 + 的值为 ．a b
3
【答案】8
a
【解析】解：设 3 =
b
5 = k，则 a= 3k，b= 5k，
a = 3k = 3k = 3所以 ，
a+ b 3k+ 5k 8k 8
3
故答案为：8．
10.在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的 9个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率
约为 30%，估计袋中黑球有 个．
【答案】21
【解析】解：由题意可得，总的可能有：9÷ 30%= 30，30- 9= 21，
故答案为：21．
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11.在RtΔABC中，∠C= 90°，AB= 3BC，则 cosB= ．
1
【答案】3
【解析】解：设BC为 x，则AB= 3x，
由勾股定理得，AC= AB2-BC2= 2 2x，
cosB= BC = 1
AB 3
，
1
故答案为：3．
12.已知一组数据的方差S2= 1 [(4- 5)2+ (7- 5)2+ (9- 5)2+ (m- 5)2+ (n- 5)25 ]，则m+n的值为 ．
【答案】5
【解析】解：由题意知，这组数据为 4，7，9,m,n，其平均数为 5，
1
则 5 ×（4+ 7+ 9+m+n）= 5，
∴m+n= 5,
故答案为：5．
13.已知 x1,x2是一元二次方程 x2+ 5x+ 6= 0 1 1的两个根，则 x + x 的值为 ．1 2
6
【答案】- 5
【解析】解：根据根与系数的关系得 x1+ x2=-5，x1x2= 6，
1 = x1+ x所以 2 6x + x x x = -5 =-
6
1 2 1 2 5
．
6
故答案为：- 5．
14.若线段AB= 8cm，点C是线段AB的一个黄金分割点 (AC>BC)，则AC的长为 cm(结果保留根号)．
【答案】4( 5- 1)
5- 1
【解析】解：根据黄金分割点的概念和AC>BC，得：AC= 2 AB= 4( 5- 1)．
故本题答案为：4( 5- 1)．
15.函数 y= x2- 2ax- 2在-1≤ x≤ 4有最小值-5，则实数 a的值是 ．
【答案】 3
【解析】解：∵ y= x2- 2ax- 2，
∴ -2a抛物线开口向上，对称轴为直线 x=- 2× 1 = a，
当 a≤ 1时，则 x= 1时，函数有最小值-5，
∴此时 y= 1- 2a- 2=-5，解得 a= 2(不合题意，舍去)；
当 a≥ 4时，则 x= 4时，函数有最小值-5，
∴ 19此时 y= 16- 8a- 2=-5，解得 a= 8 (不合题意，舍去)；
当 1< a< 4时，则 x= a时，函数有最小值-5，
∴此时 y= a2- 2a2- 2=-5，解得 a1= 3，a2=- 3 (舍去)，
综上，实数 a的值是 3，
故答案为： 3．
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16.在正方形ABCD中，AB= 4，点P是CD边上一动点 (不与点D、C重合)，连接BP，过点C作CE⊥BP，垂足
为E，点F在线段BP上，且满足EF=EC，连接AF，则AF的最小值为 ．
【答案】2 10- 2 2
【解析】【解答】解：作ΔBCF的外接⊙O，连接OB、OC、OA、OF，在优弧BC上取点M，连接MB、MC，过O
作ON⊥AB，与AB的延长线交于点N，
∵CE⊥BP，CE=CF，
∴∠CFE= 45°，
∴∠BMC=∠CFE= 45°，
∴∠BOC= 90°，
∵AB=BC= 4，
∴OB=OC=OF= 22 BC= 2 2，∠OBC= 45°
∵ON⊥AB，∠ABC= 90°，
∴ON BC，
∴∠ONB= 45°，
∴BN=ON= 22 OB= 2，
∴OA= AN 2+ON 2= (2+ 1)2+ 12= 2 10，
∵AF≥OA-OF，
当A、F、O三点依次在同一直线上时，AF=OA-OF= 2 10- 2 2的值最小，
故AF的最小值为：2 10- 2 2，
故答案为：2 10- 2 2．
三、解答题:(共 82分）
17.解方程：x(2x- 1) = 4x- 2
1
【答案】x1= 2,x2= 2
【解析】x(2x- 1) = 4x- 2
(x- 2) (2x- 1) = 0
x1= 2,x2= 12
18.计算：tan60° - (4- π)0+ 2cos30° + -1 14 ．
【答案】2 3+ 3
-1
【解析】tan60° - (4- π)0+ 2cos30° + 14
= 3- 1+ 2× 32 + 4
= 3- 1+ 3+ 4
= 2 3+ 3．
19.如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为 1个单位长度，ΔABC的三个顶点的坐标分别为A(-1,3)，B
(-4,0)，C(0,0)．
(1)写出ΔABC的外心坐标 ；
(2)将ΔABC绕原点O顺时针方向旋转 90°得到△A1B1O，画出△A1B1O；
(3)在 (2)的基础上，求A旋转路径的长度及OA扫过的区域面积．
【解析】解：(1)如图，分别作线段AB、AC、BC的垂直平分线，相交于点P，
可得点P的坐标为 (-2,1)．
∴ΔABC的外心坐标为 (-2,1)．
(2)如图，△A1B1O即为所求．
初三数学 第 5页 共 12页
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(3) ∵OA= 12+ 32= 10，
∴ A 90π× 10 10π点 旋转路径的长度为 180 = 2 ．
2
OA 90× π× 10 5扫过的区域面积 360 = 2 π
20.某校在课后服务中，成立了以下社团：A．计算机，B．围棋，C．篮球，D．书法每人只能加入一个社团，为了
解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不
完整的统计图，其中图 1中D所占扇形的圆心角为 150°．
请结合图中所给信息解答下列问题：
(1)这次被调查的学生共有 人；
(2)请你将条形统计图补充完整；
(3)若该校共有 2160学生加入了社团，请你估计这 2160名学生中有 名学生参加了篮球社团；
(4)在书法社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，恰好四位同学中有两名是男同学，两名是女同
学．现决定从这四人中任选两名参加全市书法大赛，用画树状图求恰好选中一男一女的概率．
【答案】（1）360；
（2）如图所示；
（3）360;
（4 2）3 ;
【解析】解：(1) ∵D所占扇形的圆心角为 150°，
∴ 150这次被调查的学生共有：150÷ 360 = 360(人)；
故答案为：360．
(2)C组人数为：360- 120- 30- 150= 60(人)，
故补充条形统计图如下图：
(3)2160× 60360 = 360(人)，
答：这 1800名学生中有 360人参加了篮球社团，
(4)设甲乙为男同学，丙丁为女同学，画树状图如下：
∵一共有 12种可能的情况，恰好选择一男一女
有 8种，
∴P = 8 一男一女 12 =
2
3．
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21.已知关于 x的方程 x2- (k+ 3)x+ 3k= 0．
(1)求证：无论 k取任何实数，该方程总有实数根；
(2)若等腰三角形的三边长分别为 a，b，c，其中 a= 1，并且 b，c恰好是此方程的两个实数根，求此三角形的周
长．
【解析】(1)证明：△=[- (k+ 3)]2- 4× 1× 3k= k2- 6k+ 9= (k- 3)2，
∵ (k- 3)2≥ 0，即△≥ 0，
∴无论 k取任何实数，方程总有实数根；
(2)解：当 b= c时，k= 3，方程为 x2- 6x+ 9= 0，
解得：x1= x2= 3，
此时三边长为 1，3，3，周长为 1+ 3+ 3= 7；
当 a= b= 1或 a= c= 1时，把 x= 1代入方程得：1- (k+ 3) + 3k= 0，
解得：k= 1，此时方程为：x2- 4x+ 3= 0，
解得：x1= 3，x2= 1，
此时三边长为 1，1，3，不能组成三角形，
综上所述，ΔABC的周长为 7．
22.如图，已知抛物线 y=-x2+mx+ 3经过点M (-2,3)．
(1)求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标；
(2)当 0≤ y< 4时，x的取值范围是 .
【解析】解：(1)把M (-2,3)代入 y=-x2+mx+ 3得：
-4- 2m+ 3= 3，
解得m=-2，
∴ y=-x2- 2x+ 3=- (x+ 1)2+ 4，
∴抛物线的顶点坐标为 (-1,4)；
(2) ∵ y=- (x+ 1)2+ 4，
∴抛物线开口向下，有最大值 4，
∵当 y= 0时，x1=-3，x2= 1，
∴当 0≤ y< 4时，x的取值范围是-3≤ x<-1, -1< x≤ 1．
23.如图 1，图 2，是一款家用的垃圾桶，踏板AB(与地面平行)或绕定点P(固定在垃圾桶底部的某一位置)上下转
动 (转动过程中始终保持AP=A′P，BP=B′P)．通过向下踩踏点A到A′ (与地面接触点)使点B上升到点
B′，与此同时传动杆BH运动到B H 的位置，点H绕固定点D旋转 (DH为旋转半径)至点H ，从而使桶盖打开
一个张角∠HDH ′．如图 3，桶盖打开后，传动杆H ′B′所在的直线分别与水平直线AB、DH垂直，垂足为点
M、C，设H ′C=B′M．测得AP= 6cm，PB= 12cm，DH ′ = 8cm，要使桶盖张开的角度∠HDH 不小于 60°，
那么踏板AB离地面的高度至少等于多少 cm？ (结果精确到 0.1cm) (参考数据: 2 ≈ 1.41. 3 ≈ 1.73)
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{#{QQABbYSUgggIAAAAAAhCEwUqCEMQkAEACCoGRBAIMAABiANABAA=}#}
【答案】3.46cm
【解析】解：过点A 作A′N⊥AB，垂足为N点，如图，
在Rt△H CD中，若∠HDH = 60°，
CH ′
则 sin60° = ，
DH ′
∴CH ′ = 32 × 8= 4 3cm，
由题意得：B′M=CH ′，
∴B′M= 4 3cm．
∵∠A′PN=∠B′PM，∠A′NP=∠B′MP= 90°，
∴Rt△A′NP∽Rt△B′MP，
∴ A′N B′M
A′ = ′ ，P B P
∴A′N= A′P B′M = 6× 4 3′ 12 = 2 3= 2× 1.73= 3.46cm．B P
∵桶盖张开的角度∠HDH 不小于 60°，
∴CH ′ > 4 3cm．
∴A′N的最小值为 2 3cm，
即踏板AB离地面的高度至少等于 3.46cm；
故答案为：3.46cm；
24.为加强劳动教育，各校纷纷落实劳动实践基地．某校学生在种植某种高产番茄时，经过试验发现：①当每平方
米种植 2株番茄时，平均单株产量为 8.4千克；②在每平方米种植的株数不超过 10的前提下，以同样的栽培条
件，株数每增加 1株，平均单株产量减少 0.8千克．
(1)求平均单株产量 y(千克)与每平方米种植的株数 x(x为整数，且 2≤ x< 10)之间的函数关系式；
(2)已知学校劳动基地共有 10平方米的空地用于种植这种番茄．问：当每平方米种植多少株时，该学校劳动基
地能获得最大的产量？最大产量为多少千克？
【答案】（1）y关于 x的函数表达式为 y=-0.8x+ 10，(2≤ x≤ 10，且 x为整数)
（2）每平方米种植 6株时，该学校劳动基地能获得最大的产量，最大产量为 312千克.
【解析】解：(1) ∵每平方米种植的株数每增加 1株，单株产量减少 0.8千克，
∴ y= 8.4- 0.8(x- 2) =-0.8x+ 10，
∴ y关于 x的函数表达式为 y=-0.8x+ 10，(2≤ x≤ 10，且 x为整数)；
(2)设每平方米番茄产量为W千克，
2
根据题意得：W= x(-0.8x+ 10) =-0.8x2+ 10x=-0.8 x- 254 +
125
4 ，
∵-0.8< 0，x为整数，
∴当 x= 6 156时，W取最大值，最大值为 5 ，
∴ 10× 1565 = 312(千克)，
答：每平方米种植 6株时，该学校劳动基地能获得最大的产量，最大产量为 312千克．
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{#{QQABbYSUgggIAAAAAAhCEwUqCEMQkAEACCoGRBAIMAABiANABAA=}#}
25.如图，在矩形ABCD中，AB= 2BC，F、G分别为AB、DC边上的动点，连接GF，沿GF将四边形AFGD翻折
至四边形EFGP，点E落在BC上，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．
(1)求证：AE= 2GF；
(2)连接CP 4，若 cos∠CGP= 5 ，GF= 2 10，求CE的长．
【答案】(1)见解析
（2）2
【解析】(1)证明：过G作GM⊥AB于M，如图 1所示：
则∠FMG= 90°，四边形ADGM是矩形，
∴AD=GM，∠MFG+∠MGF= 90°，
由题知得：GF⊥AE，
∴∠MFG+∠FAO= 90°，
∴∠BAE=∠MGF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠BAD=∠D=∠B= 90° =∠FMG，
∴ΔABE∽ΔGMF，
∴ AE = AB = AB = AB = 2，
GF GM AD BC
∴AE= 2GF；
(2)解：过P作PK⊥BC，交BC的延长线于K，如图 2所示：
由折叠的性质得：AF=EF，∠FEP=∠FAD=∠D=∠EPG= 90°，
∴∠CGP+∠GHP= 90°，
∵∠PEC+∠EHC= 90°，∠GHP=∠EHC，
∴∠PEC=∠CGP，
∵∠BFE+∠BFE=∠BEF+∠PEC= 90°，
∴∠BFE=∠PEC=∠CGP，
∵ cos∠CGP= 45 sin∠CGP=
3
5，
∴ sin∠CGP= sin∠BFE= BEEF =
3
5，
设BE= 3x，则AF=EF= 5x，
∴BF= EF 2-BE 2= (5x)2- (3x)2= 4x，
∴AB=AF+BF= 9x，
∵AE= 2GF，GF= 2 10，
∴AE= 4 10，
在RtΔABE中，由勾股定理得：AB2+BE 2=AE 2，
即 (9x)2+ (3x)2= (4 10 )2，
解得：x= 43 或 x=-
4
3 (舍去)，
∴AB= 9x= 12，BE= 6x= 4，
∵AB= 2BC，
∴BC= 6，
∴CE=BC-BE= 6- 4= 2．
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26.如图，点D是⊙O直径AC延长线上的点，点B在圆上，且BD2=DC ·DA,tan∠BAC= 12 ，延长BC至点E，使
CE=BC，过点B作BF AC于点F，交AE于点G.
(1)求证：BD与⊙O相切；
S
（2）求 △BCD BS 的值.BEG
【答案】（1）见解析
（2） FD A
【解析】（1）证明：连接OB C O
∵BD2=DC·DA
G
∴ CD BDBD = AD E K
且∠CDB=∠BDA
△CDB △BDA
∴∠CBD=∠BAD
∵∠CBA=∠CBO+∠OBA= 90°
∴∠CBO+∠DBC=∠DBO= 90°
则：BD与⊙O相切；
（2）②作EH⊥BG交BG的延长线于H，如图 2所示：
∵CE=BC，
∴ BC 1BE = 2，
∵BF⊥AD，
∴AD∥EH，
∴△BCF∽△BEH，
∴ BF = CF = BC 1BH EH BE = 2，
∵∠ABC= 90°，BF⊥AD，
∴△CFB∽△BFA，
∴ CF = BF = BC = 1BF ，AF AB 2
∴ CF = CF BF 1 1 1
AF BF
= × = ,
AF 2 2 4
设CF= a,则AF= 4a,EH= 2a,CA=CF+AF= a+ 4a= 5a,
CD 1
由题知 =
CA 3
,，
∴DC= 53 a,
∵AD∥EH，
∴△AFG∽△EHG，
∴ FG = AF = 4aEH 2a = 2GH
设GH= b,则FG= 2b,BF=FH= 3b,BG=BF+FG= 3b+ 2b= 5b,
1
S 2 DC BF
5
3 a 3b∴ △BCDS = = =
1
△BEG 1 BG EH 5b 2a 22
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27.如图 1，在平面直角坐标系中，直线 y=-8x+ 8与 x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线 y= x2+ bx+ c经过
A、C两点，与 x轴的另一交点为B．
(1)抛物线解析式为 ；
(2)若点M为 x轴下方抛物线上一动点，MN⊥ x轴交BC于点N，当点M运动到某一位置时，线段MN的长度
最大，求此时点M的坐标及线段MN的长度；
(3)如图 2，以 B为圆心、3为半径的⊙B与 x轴交于 E、F两点 (F在 E右侧)，若点P是⊙B上一动点，连接
PA，以PA为腰作等腰RtΔPAD，使∠PAD= 90° (P、A、D三点为逆时针顺序)，连接ED,FD.求ED长度的取
值范围．
【解析】解：(1)解：直线AC:y=-8x+ 8，
x= 0时，y= 8，
∴C(0,8)，y=-8x+ 8= 0时，解得：x= 1，
∴A(1,0)，
∵抛物线 y= x2+ bx+ c经过A，C两点，
∴ 1+ b+ c= 0 ，0+ 0+ c= 8
b=-9解得： = ，c 8
∴抛物线解析式为 y= x2- 9x+ 8，
故答案为：y= x2- 9x+ 8；
(2)当 y= x2- 9x+ 8时，解得：x1= 1，x2= 6，
∴B(8,0)，
∴直线BC的解析式为：y=-x+ 8，
设M (m,m2- 9m+ 8)，则N为 (m, -m+ 8)，
∴MN=-m+ 8- (m2- 9m+ 6) =-m2+ 8m+ 2=- (m- 4)2+ 18，
∴当M运动到 (4, -12)时，线段MN的长度最大为 18；
(3)①∵A(1,0)，B(8,0)，
∴AB= 8- 1= 7，
将点B绕A点顺时针旋转 90°到B ，连接AB ，PB，B D，
∵∠B AD+∠BAD= 90°，∠PAB+∠BAD= 90°，
∴∠B AD=∠PAB，
∵AB=AB ，PA=AD，
∴ΔADB ΔAPB (SAS)，
∴BP=B D，
∵PB= 3，
∴B D= 3，
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∴D在以B 为圆心，3为半径的圆上运动，
∵B(8,0)，A(1,0)，
∴B (1, -7)；
②∵BE= 3，
∴E(5,0)，
∴B E= 72+ 42= 65，
∴DE的最大值为 65+ 3，DE的最小值为 65- 3，
∴ 65- 3≤DF≤ 65+ 3．
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