人教版八年级下册16.3.2 二次根式的混合运算 教案

16.3.2 二次根式的混合运算 教案
教学目标
1．类比整式及数的混合运算进行二次根式的混合运算．
2．正确地进行二次根式的混合运算和求含有二次根式的代数式的值．
教学重难点
重点：掌握二次根式的混合运算的方法．
难点：会用二次根式的混合运算法则进行有关的计算．
教学过程
导入
计划在甲、乙两个城市间修建一条城际铁路，其中有一段路基的横断面设计为上底宽4 m、下底宽6 m、高 m的梯形．已知这段路基长500 m，那么这段路基的土石方(即路基的体积，路基的体积＝路基横断面面积×路基的长度)为多少立方米？
探究新知
探究点　二次根式的混合运算
类型一　二次根式的混合运算
【例1】计算：
(1)(＋)；
(2)(4－3)÷2；
(3)(＋2)(－3)；
(4)(5＋)(5－)；
(5)(＋2)2；
(6)(2－)2.
【解析】根据单项式乘单项式、多项式乘多项式、多项式除以单项式的法则及乘法公式进行计算．
【解】(1)原式＝＋
＝3＋2
(2)原式＝4÷2－3÷2
＝2－.
(3)原式＝6－3＋2－6＝－.
(4)原式＝52－()2＝25－7＝18.
(5)原式＝5＋4＋4＝9＋4.
(6)原式＝12－4＋2＝14－4.
【方法总结】二次根式的混合运算顺序与实数类似，先乘方，再乘除，最后加减．在二次根式的混合运算中，每一个二次根式可看成一个“单项式”，多个非相同被开方数的最简二次根式之和可以看成一个“多项式”，因此整式运算法则、运算律及乘法公式在二次根式运算中仍然适用．
类型二　求二次根式的整数部分和小数部分的运算
【例2】已知7＋和7－的小数部分分别为a，b，试求代数式ab－a＋4b－3的值．
【解析】先明确的整数部分是2，表示出7±的整数部分，再由7＋＝9＋a，7－＝4＋b，可求得a，b的值，最后代入计算即可．
【解】∵的整数部分为2，∴7＋＝9＋a，7－＝4＋b，解得a＝－2＋，b＝3－，
∴ab－a＋4b－3＝(－2＋)×(3－)－(－2＋)＋4×(3－)－3＝－11＋5＋2－＋12－4－3＝0.
【方法总结】先估算出二次根式的整数部分，再用二次根式减去整数部分，得出小数部分，最后把a，b的值代入求值．
类型三　二次根式的化简求值
【例3】已知x＝2－，则x2－4x－3的值为________．
【解析】先利用已知条件得x－2＝－，然后利用整体代入的方法计算即可．∵x＝2－，∴x－2＝－，∴x2－4x－3＝(x－2)2－7＝(－)2－7＝3－7＝－4.
【解】－4
【方法总结】二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
当堂训练
1．计算：
(1)(＋1)(－1)＋×；
(2)÷.
2．已知x＝2＋，y＝2－，求x2＋y2－xy－5x－5y的值．
3．若的整数部分是a，小数部分是b，求a2＋(1＋)ab的值．
答案
1．解：(1)原式＝2－1＋
＝1＋4
＝5.
(2)原式＝÷3
＝＋.
2．解：∵x＝2＋，y＝2－，
∴x y＝(2＋)(2－)
＝4－3
＝1，
x2＋y2＝(x＋y)2－2xy
＝(2＋＋2－)2－2×1
＝16－2＝14，
∴x2＋y2－x y－5x－5y
＝14－1－5(x＋y)
＝13－5(2＋＋2－)
＝13－20
＝－7.
3．解：
＝
＝.
∵2＜＜3，
∴5＜3＋＜6，
∴2.5＜＜3.
∵的整数部分是a，小数部分是b，
∴a＝2，b＝－2＝，
∴a2＋(1＋)ab
＝22＋(1＋)×2×
＝4＋(7－1)
＝4＋6
＝10
板书设计
二次根式的混合运算
1．二次根式的混合运算的法则及公式的运用．
2．例3、例4讲解．
课堂小结
本节课学习了二次根式的混合运算的法则，掌握混合运算的顺序，能够正确地进行混合运算．二次根式的四则混合运算应注意以下几点
(1)运算顺序与有理式的运算顺序相同 ;
(2)运算律仍然适用 ;
(3)与多项式的乘法和因式分解类似 , 可以利用
乘法公式与因式分解的方法来简化二次根式的有关运算 .
教学反思
在二次根式的混合运算中，让学生体会二次根式的运算与整式运算的联系．在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用．
学会进行二次根式的加、减、乘、除的混合运算，对用换元法、公式法等解决二次根式的化简问题还有待加强．