甘肃省武威第二十六中学2023-2024学年第二学期九年级数学开学测试卷(含答案)

2023-2024学年第二学期甘肃省武威第二十六中学九年级数学开学测试卷
一、选择题(共30分)
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．x2﹣5x＝3 B．x2﹣+1＝0 C．3x2+y＝2 D．x﹣3y+1＝0
2．（3分）一元二次方程x2－8x－1＝0配方后可变形为（　　）
A．（x＋4）2＝17 B．（x＋4）2＝15
C．（x－4）2＝17 D．（x－4）2＝15
3．（3分）若关于x的方程 有实数根，则实数k的取值范围是 （　　）
A． B． 且
C． D．
4．（3分）等腰三角形的底和腰是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　）
A．7 B．8 C．7或8 D．不能确定
5．（3分）设a，b是方程的两个实数根，则的值为（　　）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
6．（3分）对于抛物线，下列说法错误的是（　　）
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．时，随的增大而减小 D．，函数有最小值
7．（3分）二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（　　）
A．向下、直线、 B．向下、直线、
C．向下、直线、 D．向上、直线、
8．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，将△ABC绕点B逆时针旋转得，若点在AB上，则的长为（　　）
A． B．4 C． D．5
9．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝45°，BC＝2，则的长度为（　　）
A． B． C．π D．2π
10．（3分） 七年级一班同学组织了元旦联欢会，文艺委员准备在“横扫千军”“飞花令”“成语接龙”“看图猜诗词”四个项目中选择两个，则她选中“飞花令”和“看图猜诗词”的概率为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题(共24分)
11．（3分）关于x的一元二次方程的一个根是－1，则　 　．
12．（3分）已知实数，满足，，则　 　．
13．（3分）以原点为中心，把点逆时针旋转，得到点，点的坐标为　 　．
14．（3分）将抛物线向右平移一个单位，所得函数解析式为　 　
15．（3分）在一个不透明口袋中装有1个红球和个白球，它们除了颜色以外没有任何其他区别．搅匀后从口袋中随机摸出1个球，记录下颜色后放回口袋中并搅匀，随着试验次数的增加，摸到白球的频率逐渐稳定在，则的值为　 　．
16．（3分）如图，在中，于点的长为，则弦的长为　 　．
17．（3分）如图，，是的切线，，是切点，若，则　 　．
18．（3分）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为，则两个水柱的最高点M，N之间的距离为 　 　m．
三、解方程(共8分)
19．（1）（4分）； （2）（4分）；
四、解答题(共58分)
20．（6分）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
21．（6分）等边△OAB在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），将△OAB绕点O顺时针方向旋转a°（0＜a＜360）得△OA1B1．
（1）（2分）求出点B的坐标；
（2）（2分）当A1与B1的纵坐标相同时，求出a的值；
（3）（2分）在（2）的条件下直接写出点B1的坐标．
22．（6分）如图，已知抛物线经过点．
（1）（3分）求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标；
（2）（3分）当时，直接写出y的取值范围．
23．（6分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．
（1）（3分）求证：BE＝CF；
（2）（3分）求∠BDC的度数．
24．（8分）如图，在菱形ABCD中，AC为菱形的一条对角线，以AB为直径作⊙O，交AC于点E，交BC于点F，G为CD边上一点，且BF＝DG．
（1）（4分）求证：AG为⊙O的切线；
（2）（4分）若AE=，CF＝3，求⊙O的半径．
25．（8分）如图，点O为斜边上的一点，以为半径的⊙O与交于点D，与交于点E，连接，且平分
（1）（4分）求证：是⊙O的切线；
（2）（4分）若，，求阴影部分的面积（结果保留π）．
26．（8分）一个不透明的布袋里装有3个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率.
（1）（4分）布袋里红球有多少个
（2）（4分）先从布袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，请用列表或画树状图等方法求出两次摸到的球都是白球的概率.
27．（10分）（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）（3分）求抛物线的解析式；
（2）（3分）若点D是抛物线上的一点，当△ABD的面积为10时，求点D的坐标；
（3）（4分）点P是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在一点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
1-10 ACDCC CBACB
11．0 12．或2 13．（1，2） 14． 15．4 16． 17． 18．10
19．（1）解：x2－2x－6=0，
x2－2x=6 ，
x2－2x+1=6+1 ，
(x－1)2=7 ，
x－1=，
∴x1=，x2=
（2）解：，
，
，
或，
，
20．解：由题意知：，
方程有两个不相等的实数根，
且，
即，
解得，
且．
21．（1）解：如图1所示过点B作BC⊥OA，垂足为C．
∵△OAB为等边三角形，
∴∠BOC=60°，OB=BA．
∵OB=AB，BC⊥OA，
∴OC=CA=1．
在Rt△OBC中， ，
∴BC= ．
∴点B的坐标为（1， ）
（2）解：如图2所示：
∵点B1与点A1的纵坐标相同，
∴A1B1∥OA．
如图2所示：当a=300°时，点A1与点B1纵坐标相同．
如图3所示：当a=120°时，点A1与点B1纵坐标相同．
∴当a=120°或a=300°时，点A1与点B1纵坐标相同
（3）解：如图2所示：由旋转的性质可知A1B1=AB=2，点B的坐标为（1，2），
∴点B1的坐标为（﹣1， ）．
如图3所示：由旋转的性质可知：点B1的坐标为（1，﹣ ）．
∴点B1的坐标为（﹣1， ）或（1，﹣ ）
22．（1）解：将代入，得：
解得：
此抛物线的顶点坐标为．
（2）解：由（1）可知抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，
当时，，
当时，y的取值范围为：．
23．（1）证明：∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，
∴AE＝AB，AF＝AC，∠EAF＝∠BAC，
∴∠EAF+∠BAF＝∠BAC+∠BAF，即∠EAB＝∠FAC，
∵AB＝AC，
∴AE＝AF，
∴△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，
∴BE＝CF；
（2）解：∵△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，
∴△AEB≌△AFC，
∴∠ABE＝∠ACF，
设AC与BE相交于O，
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠BDC＝∠BAC＝45°．
24．（1）证明：如图：连接AF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，AB∥DC，
在△ABF和△ADG中，
，
∴△ABF≌△ADG（SAS），
∴∠AFB＝∠AGD＝90°，
∵AB∥DC，
∴∠BAG＝∠AGD＝90°，
∴OA⊥AG，
又∵OA是⊙O的半径，
∴AG为⊙O的切线；
（2）解：如图：连接BE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，即BE⊥AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∴AC=2AE=2=5，
设⊙O的半径为R，则AB＝BC＝2R，则BF＝BC﹣CF＝2R﹣3，
∵AF2＝AB2﹣BF2＝AC2﹣CF2，
∴（2R）2﹣（2R﹣3）2＝52﹣32，
解得R=，
故⊙O的半径为．
25．（1）证明：连接，如图
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，即
∴，
∵是⊙O的半径，
∴是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接，，交于点M，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
又由（1）知，，即，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
，
∴，
∴
26．（1）解：设红球的个数为x，由题意可得：，解得：，经检验是方程的根.
答：布袋里的红球有2个；
（2）解：画树状图如下：
由树状图可知共有30种均等可能结果，两次摸到的球都是白球的有6种可能
（摸得两白）.
27．（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3得，
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）设点D的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），
∵A（﹣1，0）、B（3，0），
∴AB＝4，
∴，
即|x2﹣2x﹣3|＝5，
∴x2﹣2x﹣3＝5或x2﹣2x﹣3＝﹣5（无解舍去），
解得：x1＝4，x2＝﹣2，
∴点D的坐标为（4，5）或（﹣2，5）；
（3）在抛物线上存在一点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形；理由如下：
抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为：x＝1，
假设存在，设P（xp，yP），Q（xQ，yQ），
∴xp＝1，
分两种情况讨论：
当BC为四边形的对角线时，PB∥CQ，PB＝CQ，
∴|xB﹣xP|＝|xQ﹣xC|，
即2＝xQ，
此时点Q的坐标为（2，﹣3）；
②当BC为边时，PQ∥BC，PQ＝CB，
∴|xQ﹣xP|＝|xB﹣xC|，即|xQ﹣1|＝3，
解得：xQ＝4或xQ＝﹣2，
此时点Q的坐标为（4，5）或（﹣2，5）．
综上所述，存在满足条件的Q点的坐标为（2，﹣3）或（4，5）或（﹣2，5）．