新人教版数学九年级下册第二十七章相似27.2.1《相似三角形的判定》课时练习.doc
文档属性
| 名称 | 新人教版数学九年级下册第二十七章相似27.2.1《相似三角形的判定》课时练习.doc |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 293.0KB | ||
| 资源类型 | 素材 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2015-08-20 16:45:10 | ||
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文档简介
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新人教版数学九年级下册27.2.1相似三角形的判定课时练习
1、 选择题
1.如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是( )
A. ∠ABP=∠C B. ∠APB=∠ABC C. D.
答案：D
知识点：相似三角形的判定
解析：解答：A.当∠ABP=∠C时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
B.当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
C.当时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
D、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．
故选：D．
分析：分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．
2.如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是( )
A. ∠ABD=∠ACB B. ∠ADB=∠ABC C. D.
答案：D
知识点：相似三角形的判定
解析：解答：A.∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
B.∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
C.∵AB2=AD AC，∴，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
D. 不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．
故选：D．
分析：根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．
3. 如图，点P是 ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（ ）
A. 0对 B. 1对 C. 2对 D. 3对
答案：D
知识点：相似三角形的判定
解析：解答：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AD∥BC，
∴△EAP∽△EDC，△EAP∽△CPB，
∴△EDC∽△CBP，
故有3对相似三角形．
故选：D．
分析：利用相似三角形的判定方法以及平行四边形的性质得出即可．
4.如图，在△ABC中，D是边AC上一点，连BD，给出下列条件：①∠ABD=∠ACB；② ；③AD BC=AB BD；④AB BC=AC BD．其中单独能够判定△ABC∽△ADB的个数是（ ）
A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④
答案：A
知识点：相似三角形的判定
解析：解答：解：①∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB；
②∵ ，∴ ，∠A=∠A，△ABC∽△ADB；
③∵AD BC=AB BD，∴ ，∠A=∠A，△ABC与△ADB不相似；
④∵AB BC=AC BD，∴ ，∠A=∠A，△ABC与△ADB不相似；
故选：A．
分析：根据有两个角对应相等的三角形相似，可判断①，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可判断断②③④．
5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，如果添加下列条件，不能使得△ABC∽△DCA成立的是（ ）
A. ∠BAC=∠ADC B. ∠B=∠ACD C. D.
答案：D
知识点：相似三角形的判定，平行线的性质
解析：解答：∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
当∠BAC=∠ADC时，△ABC∽△DCA；
当∠B=∠ACD时，△ABC∽△DCA；
当，即时，△ABC∽△DCA；
当时，不能判断△ABC∽△DCA．
故选D．
分析：先利用平行线的性质得到∠DAC=∠BCA，则根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对A、B进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对C、D进行判断．
6.已知图（1）、（2）中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图（2）中AB、CD交于O点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（ ）
A. 只有（1）相似 B. 只有（2）相似 C. 都相似 D. 都不相似
答案：C
知识点：相似三角形的判定
解析：解答：解：对于图（1）：180°-75°-35°=70°，则两个三角形中有两组角对应相等，所以（1）图中的两个三角形相似；
对于（2）图：由于 ，∠AOC=∠DOB，所以△AOC∽△DOB．
故选C．
分析：对于图（1），先利用三角形内角和计算出第三个角，然后根据两个三角形中有两组角对应相等的三角形相似；对于（2）图，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行判断．
7.如图，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△PQR∽△ABC，则点R应是甲、乙、丙、丁四点中的( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
答案：C
知识点：相似三角形的判定
解析：解答：根据题意，△ABC的三边之比为
要使△ABC∽△PQR，则△PQR的三边之比也应为，经计算只有丙点合适．
故选C．
分析：令每个小正方形的边长为1，分别求出两个三角形的边长，从而根据相似三角形的对应边成比例即可找到点R对应的位置．
8.如图所示，图中共有相似三角形( )
A.5对 B.4对 C.3对 D.2对
答案：B
知识点：相似三角形的判定，圆周角定理
解析：解答：共四对，
分别是△ABE∽△ADC、△DEF∽△BCF、
△BDF∽△CEF、△ABD∽△AEC．
故选B．
分析：可以运用相似三角形的判定方法进行验证．
9.如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为( )
A. B. C. D.
答案：C
知识点：相似三角形的判定
解析： 解答：∵∠BAC=∠PED，
而
∴时，△ABC∽△EPD，
∵DE=4，
∴EP=6，
∴点P落在处．
故选：C．
分析：由于∠BAC=∠PED=90°，而，则当时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似判断△ABC∽△EPD，然后利用DE=4，所以EP=6，则易得点P落在处．
10.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案：C
知识点：相似三角形的判定，平行线的性质
解析：解答：∵AB⊥BC，
∴∠B=90°．
∵AD∥BC，
∴∠A=180°-∠B=90°，
∴∠PAD=∠PBC=90°．AB=8，AD=3，BC=4，
设AP的长为x，则BP长为8-x．
若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：
①若△APD∽△BPC，则AP：BP=AD：BC，即x：（8-x）=3：4，解得x=
②若△APD∽△BCP，则AP：BC=AD：BP，即x：4=3：（8-x），解得x=2或x=6．
∴满足条件的点P的个数是3个，
故选：C．
分析：由于∠PAD=∠PBC=90°，故要使△PAD与△PBC相似，分两种情况讨论：①△APD∽△BPC，②△APD∽△BCP，这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出AP的长，即可得到P点的个数．
11.下列条件中，能判定两个等腰三角形相似的是( )
A. 都含有一个30°的内角 B. 都含有一个45°的内角
C. 都含有一个60°的内角 D. 都含有一个80°的内角
答案：C
知识点：相似三角形的判定，等腰三角形的性质
解析：解答：因为A，B，D给出的角30°，45°，80°可能是顶角也可能是底角，所以不对应，则不能判定两个等腰三角形相似；故A，B，D错误；
C、有一个60°的内角的等腰三角形是等边三角形，所有的等边三角形相似，故C正确．
故选C．
分析：若要判定两三角形相似，最主要的方法是找两对对应相等的角，答案A，答案B，答案D都只能找到一对相等的角，只有答案C可以找两对对应相等的角．
12.如图，D是BC上的点，∠ADC=∠BAC，则下列结论正确的是( )
A. △ABC∽△DAB B. △ABC∽△DAC C. △ABD∽△ACD D.以上都不对
答案：B
知识点：相似三角形的判定
解析：解答：∵∠ADC=∠BAC，∠ABC=∠DAC，
∴△ABC∽△DAC．
故选B．
分析：已知∠ADC=∠BAC，根据图示可知∠ABC和∠DAC为公共角，即可判断△ABC∽△DAC，然后对其它选项进行分析，均不具备三角形相似的条件．
13.如图，E为矩形ABCD的CD边延长线上一点，BE交AD于G，AF⊥BE于F，图中相似三角形的对数是( )
A.5 B.6 C.7 D.8
答案：D
知识点：相似三角形的判定，矩形的性质
解析：解答：∵矩形ABCD
∴AD∥BC，AB∥CD，∠DAB=∠ADE=90°
∴△EDG∽△ECB∽△BAG
∵AF⊥BE
∴∠AFG=∠BFA=∠DAB=∠ADE=90°
∵∠AGF=∠BGA，∠ABF=∠GBA
∴△GAF∽△GBA∽△ABF
∴△EDG∽△ECB∽△BAG∽△AFG∽△BFA
∴共有10对
故选D．
分析：根据已知及相似三角形的判定方法找出存在的相似三角形即可．
14.如图，圆内接四边形ABCD的BA，CD的延长线交于P，AC，BD交于E，则图中相似三角形有( )
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
答案：C
知识点：相似三角形的判定，圆周角定理
解析：解答：根据同弧所对的圆周角相等及相似三角形的判定定理可知图中相似三角形有4对，分别是：△ADE∽△BCE，△AEB∽△DEC，△PAD∽△PCB，△PBD∽△PCA．故选C．
分析：根据圆周角定理及相似三角形的判定方法进行分析即可．
15.如图所示，在 ABCD中，BE交AC，CD于G，F，交AD的延长线于E，则图中的相似三角形有( )
A.3对 B.4对 C.5对 D.6对
答案：D
知识点：相似三角形的判定，平行四边形的性质
解析：解答：AD∥BC，可知△AGE∽△CGB，△DFE∽△CFB，△ABC∽△CDA，
AB∥CD，可知△ABG∽△CFG，△ABF∽△CFB，△EDF∽△EAB．
共有6对，
故选D
分析：根据相似三角形的判定来找出共有多少对相似的三角形．
2、 填空题：
16.已知：△ABC中，点E是AB边的中点，点F在AC边上，若以A，E，F为顶点的三角形与△ABC相似，则需要增加的一个条件是________.
答案：AF=AC或∠AFE=∠ABC．
知识点：相似三角形的判定
解析：解答：分两种情况：
①∵△AEF∽△ABC，
∴AE：AB=AF：AC，
即1：2=AF：AC，
∴AF=AC；
②∵△AFE∽△ACB，
∴∠AFE=∠ABC．
∴要使以A、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，则AF=AC或∠AFE=∠ABC．
故答案为：AF=AC或∠AFE=∠ABC．
分析：根据相似三角形对应边成比例或相似三角形的对应角相等进行解答；由于没有确定三角形相似的对应角，故应分类讨论．
17.如图，在△ABC中，D为AB边上的一点，要使△ABC∽△AED成立，还需要添加一个条件为________.
答案：∠ADE=∠C 或∠AED=∠B或
知识点：相似三角形的判定
解析：解答：∵∠ABC=∠AED，∠A=∠A，
∴△ABC∽△AED，
故添加条件∠ABC=∠AED即可求得△ABC∽△AED．
同理可得：∠ADE=∠C 或∠AED=∠B或可以得出△ABC∽△AED.
故答案为：∠ADE=∠C 或∠AED=∠B或 .
分析：根据相似三角形对应角相等，可得∠ABC=∠AED，故添加条件∠ABC=∠AED即可求得△ABC∽△AED，即可解题．
18.如图，△ABC中，D是边AC上一点，连接BD．要使△ABD∽△ACB，需要补充的一个条件为_______.
答案：∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC或
知识点：相似三角形的判定
解析：解答：∵∠BAD=∠CAB，
∴当∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC或时，△ABD∽△ACB．
故答案为∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC或．
分析：由于△ABD和△ACB有一个公共角，根据有两组角对应相等的两个三角形相似，所以当∠ABD=∠C时，△ABD∽△ACB．
19.如图，已知AB∥CD，AE∥DF，AE，FD分别交BC于点G，H，则图中相似三角形共有________对.
答案：6.
知识点：相似三角形的判定，平行线的性质
解析：解答：∵AB∥CD，AE∥DF
∴△ABG∽△ECG，△ECG∽△BFH，△FBH∽△DCH，
△DCH∽△CEG，△ABG∽△FBH，△ABG∽△DCH．
∴共6对
分析：根据平行线的性质及相似三角形的判定方法进行分析即可．
20.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，点D是AC的动点，当∠BDC=_______时，△ABC∽△BDC．
答案： 70°.
知识点：相似三角形的判定，等腰三角形的性质
解析：解答：∵AB=AC，∠BAC=40°，
∴∠ABC=∠C=70°，
∴∠BDC=70°时，
∠C=∠C，∠BDC=∠ABC，
∴△ABC∽△BDC．
故答案为：70°．
分析：根据题意得出∠ABC=∠C=70°，进而由∠C=∠C，∠BDC=∠ABC，得出答案．
3、 解答题：
21.如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．
答案：略.
知识点：相似三角形的判定，等腰三角形的性质
解析：证明：在△ABC中，AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∵CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CEB=90°，
又∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBE．
分析：根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，然后求出∠ADB=∠CEB=90°，再根据两组角对应相等的两个三角形相似证明．
22.已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点．△ADQ与△QCP是否相似？为什么？
答案：△ADQ∽△QCP，理由略.
知识点：相似三角形的判定，正方形的性质
解析：解答：△ADQ∽△PCQ
∵BP=3PC，
∴CP=
∵Q是CD的中点，
∴CQ=DQ=AD．
∴
又∵∠C=∠D．
∴△ADQ∽△QCP．
分析：正方形的四边相等，两个三角形的两组对应边成比例，夹角相等的两个三角形互为相似三角形．
23.如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD=AC，DE⊥BC，交BA于点E，EC与AD相交于点F．
求证：△ABC∽△FCD．
答案：略.
知识点：相似三角形的判定，等腰三角形的性质
解析：证明：∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD，
∵D为BC中点，且DE⊥BC，
∴EB=EC．
∴∠B=∠DCF．
∴△ABC∽△FCD．
分析：根据已知利用有两组角对应相等的两个三角形相似来证明．
24.如图，点B、C、D在一条直线上，AB⊥BC，ED⊥CD，∠1+∠2=90°．
求证：△ABC∽△CDE．
答案：
知识点：相似三角形的判定
解析：证明：∵AB⊥BC，ED⊥CD，
∴∠B=∠D=90°．
∴∠A+∠1=90°．
又∵∠1+∠2=90°，
∴∠A=∠2，
∴△ABC∽△CDE．
分析：根据垂直的性质和给出的条件证明有两对角相等的两个三角形相似即可．
25.如图，四边形ABCD是矩形，直线l垂直平分线段AC，垂足为O，直线l分别与线段AD、CB的延长线交于点E、F．
（1）△ABC与△FOA相似吗？为什么？
（2）试判定四边形AFCE的形状，并说明理由．
答案：(1)△ABC∽△FOA，理由略；
(2) 四边形AFCE是菱形，理由略.
知识点：菱形的判定；相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质
解析：解答：(1)∴△ABC∽△FOA，理由如下：
∵直线l垂直平分线段AC，
∴∠AFO=∠CFO，∵∠CFO+∠FCO=∠CAB+∠FCO=90°，
∴∠AFO=∠CAB，
∵∠AOF=∠CBA=90°，
∴△ABC∽△FOA．
(2)四边形AFCE是菱形，理由如下：
由(1)知△ABC∽△FOA，
∴∠ACB=∠FAC，
∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠EAC，
∴∠FAC=∠EAC，
在△AOF与△AOE中，
∴△AOF≌△AOE（ASA），
∴AE=AF，FO=EO．
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴四边形AFCE是菱形．
分析：(1)根据角平分线的定义，同角的余角相等可知∠AFO=∠CAB，根据垂直的定义，矩形的性质可知∠ABC=∠FOA，由相似三角形的判定可证△ABC与△FOA相似；
(2)先证明四边形AFCE是平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判断．
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新人教版数学九年级下册27.2.1相似三角形的判定课时练习
1、 选择题
1.如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是( )
A. ∠ABP=∠C B. ∠APB=∠ABC C. D.
答案：D
知识点：相似三角形的判定
解析：解答：A.当∠ABP=∠C时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
B.当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
C.当时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
D、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．
故选：D．
分析：分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．
2.如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是( )
A. ∠ABD=∠ACB B. ∠ADB=∠ABC C. D.
答案：D
知识点：相似三角形的判定
解析：解答：A.∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
B.∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
C.∵AB2=AD AC，∴，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
D. 不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．
故选：D．
分析：根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．
3. 如图，点P是 ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（ ）
A. 0对 B. 1对 C. 2对 D. 3对
答案：D
知识点：相似三角形的判定
解析：解答：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AD∥BC，
∴△EAP∽△EDC，△EAP∽△CPB，
∴△EDC∽△CBP，
故有3对相似三角形．
故选：D．
分析：利用相似三角形的判定方法以及平行四边形的性质得出即可．
4.如图，在△ABC中，D是边AC上一点，连BD，给出下列条件：①∠ABD=∠ACB；② ；③AD BC=AB BD；④AB BC=AC BD．其中单独能够判定△ABC∽△ADB的个数是（ ）
A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④
答案：A
知识点：相似三角形的判定
解析：解答：解：①∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB；
②∵ ，∴ ，∠A=∠A，△ABC∽△ADB；
③∵AD BC=AB BD，∴ ，∠A=∠A，△ABC与△ADB不相似；
④∵AB BC=AC BD，∴ ，∠A=∠A，△ABC与△ADB不相似；
故选：A．
分析：根据有两个角对应相等的三角形相似，可判断①，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可判断断②③④．
5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，如果添加下列条件，不能使得△ABC∽△DCA成立的是（ ）
A. ∠BAC=∠ADC B. ∠B=∠ACD C. D.
答案：D
知识点：相似三角形的判定，平行线的性质
解析：解答：∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
当∠BAC=∠ADC时，△ABC∽△DCA；
当∠B=∠ACD时，△ABC∽△DCA；
当，即时，△ABC∽△DCA；
当时，不能判断△ABC∽△DCA．
故选D．
分析：先利用平行线的性质得到∠DAC=∠BCA，则根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对A、B进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对C、D进行判断．
6.已知图（1）、（2）中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图（2）中AB、CD交于O点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（ ）
A. 只有（1）相似 B. 只有（2）相似 C. 都相似 D. 都不相似
答案：C
知识点：相似三角形的判定
解析：解答：解：对于图（1）：180°-75°-35°=70°，则两个三角形中有两组角对应相等，所以（1）图中的两个三角形相似；
对于（2）图：由于 ，∠AOC=∠DOB，所以△AOC∽△DOB．
故选C．
分析：对于图（1），先利用三角形内角和计算出第三个角，然后根据两个三角形中有两组角对应相等的三角形相似；对于（2）图，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行判断．
7.如图，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△PQR∽△ABC，则点R应是甲、乙、丙、丁四点中的( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
答案：C
知识点：相似三角形的判定
解析：解答：根据题意，△ABC的三边之比为
要使△ABC∽△PQR，则△PQR的三边之比也应为，经计算只有丙点合适．
故选C．
分析：令每个小正方形的边长为1，分别求出两个三角形的边长，从而根据相似三角形的对应边成比例即可找到点R对应的位置．
8.如图所示，图中共有相似三角形( )
A.5对 B.4对 C.3对 D.2对
答案：B
知识点：相似三角形的判定，圆周角定理
解析：解答：共四对，
分别是△ABE∽△ADC、△DEF∽△BCF、
△BDF∽△CEF、△ABD∽△AEC．
故选B．
分析：可以运用相似三角形的判定方法进行验证．
9.如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为( )
A. B. C. D.
答案：C
知识点：相似三角形的判定
解析： 解答：∵∠BAC=∠PED，
而
∴时，△ABC∽△EPD，
∵DE=4，
∴EP=6，
∴点P落在处．
故选：C．
分析：由于∠BAC=∠PED=90°，而，则当时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似判断△ABC∽△EPD，然后利用DE=4，所以EP=6，则易得点P落在处．
10.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案：C
知识点：相似三角形的判定，平行线的性质
解析：解答：∵AB⊥BC，
∴∠B=90°．
∵AD∥BC，
∴∠A=180°-∠B=90°，
∴∠PAD=∠PBC=90°．AB=8，AD=3，BC=4，
设AP的长为x，则BP长为8-x．
若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：
①若△APD∽△BPC，则AP：BP=AD：BC，即x：（8-x）=3：4，解得x=
②若△APD∽△BCP，则AP：BC=AD：BP，即x：4=3：（8-x），解得x=2或x=6．
∴满足条件的点P的个数是3个，
故选：C．
分析：由于∠PAD=∠PBC=90°，故要使△PAD与△PBC相似，分两种情况讨论：①△APD∽△BPC，②△APD∽△BCP，这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出AP的长，即可得到P点的个数．
11.下列条件中，能判定两个等腰三角形相似的是( )
A. 都含有一个30°的内角 B. 都含有一个45°的内角
C. 都含有一个60°的内角 D. 都含有一个80°的内角
答案：C
知识点：相似三角形的判定，等腰三角形的性质
解析：解答：因为A，B，D给出的角30°，45°，80°可能是顶角也可能是底角，所以不对应，则不能判定两个等腰三角形相似；故A，B，D错误；
C、有一个60°的内角的等腰三角形是等边三角形，所有的等边三角形相似，故C正确．
故选C．
分析：若要判定两三角形相似，最主要的方法是找两对对应相等的角，答案A，答案B，答案D都只能找到一对相等的角，只有答案C可以找两对对应相等的角．
12.如图，D是BC上的点，∠ADC=∠BAC，则下列结论正确的是( )
A. △ABC∽△DAB B. △ABC∽△DAC C. △ABD∽△ACD D.以上都不对
答案：B
知识点：相似三角形的判定
解析：解答：∵∠ADC=∠BAC，∠ABC=∠DAC，
∴△ABC∽△DAC．
故选B．
分析：已知∠ADC=∠BAC，根据图示可知∠ABC和∠DAC为公共角，即可判断△ABC∽△DAC，然后对其它选项进行分析，均不具备三角形相似的条件．
13.如图，E为矩形ABCD的CD边延长线上一点，BE交AD于G，AF⊥BE于F，图中相似三角形的对数是( )
A.5 B.6 C.7 D.8
答案：D
知识点：相似三角形的判定，矩形的性质
解析：解答：∵矩形ABCD
∴AD∥BC，AB∥CD，∠DAB=∠ADE=90°
∴△EDG∽△ECB∽△BAG
∵AF⊥BE
∴∠AFG=∠BFA=∠DAB=∠ADE=90°
∵∠AGF=∠BGA，∠ABF=∠GBA
∴△GAF∽△GBA∽△ABF
∴△EDG∽△ECB∽△BAG∽△AFG∽△BFA
∴共有10对
故选D．
分析：根据已知及相似三角形的判定方法找出存在的相似三角形即可．
14.如图，圆内接四边形ABCD的BA，CD的延长线交于P，AC，BD交于E，则图中相似三角形有( )
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
答案：C
知识点：相似三角形的判定，圆周角定理
解析：解答：根据同弧所对的圆周角相等及相似三角形的判定定理可知图中相似三角形有4对，分别是：△ADE∽△BCE，△AEB∽△DEC，△PAD∽△PCB，△PBD∽△PCA．故选C．
分析：根据圆周角定理及相似三角形的判定方法进行分析即可．
15.如图所示，在 ABCD中，BE交AC，CD于G，F，交AD的延长线于E，则图中的相似三角形有( )
A.3对 B.4对 C.5对 D.6对
答案：D
知识点：相似三角形的判定，平行四边形的性质
解析：解答：AD∥BC，可知△AGE∽△CGB，△DFE∽△CFB，△ABC∽△CDA，
AB∥CD，可知△ABG∽△CFG，△ABF∽△CFB，△EDF∽△EAB．
共有6对，
故选D
分析：根据相似三角形的判定来找出共有多少对相似的三角形．
2、 填空题：
16.已知：△ABC中，点E是AB边的中点，点F在AC边上，若以A，E，F为顶点的三角形与△ABC相似，则需要增加的一个条件是________.
答案：AF=AC或∠AFE=∠ABC．
知识点：相似三角形的判定
解析：解答：分两种情况：
①∵△AEF∽△ABC，
∴AE：AB=AF：AC，
即1：2=AF：AC，
∴AF=AC；
②∵△AFE∽△ACB，
∴∠AFE=∠ABC．
∴要使以A、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，则AF=AC或∠AFE=∠ABC．
故答案为：AF=AC或∠AFE=∠ABC．
分析：根据相似三角形对应边成比例或相似三角形的对应角相等进行解答；由于没有确定三角形相似的对应角，故应分类讨论．
17.如图，在△ABC中，D为AB边上的一点，要使△ABC∽△AED成立，还需要添加一个条件为________.
答案：∠ADE=∠C 或∠AED=∠B或
知识点：相似三角形的判定
解析：解答：∵∠ABC=∠AED，∠A=∠A，
∴△ABC∽△AED，
故添加条件∠ABC=∠AED即可求得△ABC∽△AED．
同理可得：∠ADE=∠C 或∠AED=∠B或可以得出△ABC∽△AED.
故答案为：∠ADE=∠C 或∠AED=∠B或 .
分析：根据相似三角形对应角相等，可得∠ABC=∠AED，故添加条件∠ABC=∠AED即可求得△ABC∽△AED，即可解题．
18.如图，△ABC中，D是边AC上一点，连接BD．要使△ABD∽△ACB，需要补充的一个条件为_______.
答案：∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC或
知识点：相似三角形的判定
解析：解答：∵∠BAD=∠CAB，
∴当∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC或时，△ABD∽△ACB．
故答案为∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC或．
分析：由于△ABD和△ACB有一个公共角，根据有两组角对应相等的两个三角形相似，所以当∠ABD=∠C时，△ABD∽△ACB．
19.如图，已知AB∥CD，AE∥DF，AE，FD分别交BC于点G，H，则图中相似三角形共有________对.
答案：6.
知识点：相似三角形的判定，平行线的性质
解析：解答：∵AB∥CD，AE∥DF
∴△ABG∽△ECG，△ECG∽△BFH，△FBH∽△DCH，
△DCH∽△CEG，△ABG∽△FBH，△ABG∽△DCH．
∴共6对
分析：根据平行线的性质及相似三角形的判定方法进行分析即可．
20.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，点D是AC的动点，当∠BDC=_______时，△ABC∽△BDC．
答案： 70°.
知识点：相似三角形的判定，等腰三角形的性质
解析：解答：∵AB=AC，∠BAC=40°，
∴∠ABC=∠C=70°，
∴∠BDC=70°时，
∠C=∠C，∠BDC=∠ABC，
∴△ABC∽△BDC．
故答案为：70°．
分析：根据题意得出∠ABC=∠C=70°，进而由∠C=∠C，∠BDC=∠ABC，得出答案．
3、 解答题：
21.如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．
答案：略.
知识点：相似三角形的判定，等腰三角形的性质
解析：证明：在△ABC中，AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∵CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CEB=90°，
又∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBE．
分析：根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，然后求出∠ADB=∠CEB=90°，再根据两组角对应相等的两个三角形相似证明．
22.已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点．△ADQ与△QCP是否相似？为什么？
答案：△ADQ∽△QCP，理由略.
知识点：相似三角形的判定，正方形的性质
解析：解答：△ADQ∽△PCQ
∵BP=3PC，
∴CP=
∵Q是CD的中点，
∴CQ=DQ=AD．
∴
又∵∠C=∠D．
∴△ADQ∽△QCP．
分析：正方形的四边相等，两个三角形的两组对应边成比例，夹角相等的两个三角形互为相似三角形．
23.如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD=AC，DE⊥BC，交BA于点E，EC与AD相交于点F．
求证：△ABC∽△FCD．
答案：略.
知识点：相似三角形的判定，等腰三角形的性质
解析：证明：∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD，
∵D为BC中点，且DE⊥BC，
∴EB=EC．
∴∠B=∠DCF．
∴△ABC∽△FCD．
分析：根据已知利用有两组角对应相等的两个三角形相似来证明．
24.如图，点B、C、D在一条直线上，AB⊥BC，ED⊥CD，∠1+∠2=90°．
求证：△ABC∽△CDE．
答案：
知识点：相似三角形的判定
解析：证明：∵AB⊥BC，ED⊥CD，
∴∠B=∠D=90°．
∴∠A+∠1=90°．
又∵∠1+∠2=90°，
∴∠A=∠2，
∴△ABC∽△CDE．
分析：根据垂直的性质和给出的条件证明有两对角相等的两个三角形相似即可．
25.如图，四边形ABCD是矩形，直线l垂直平分线段AC，垂足为O，直线l分别与线段AD、CB的延长线交于点E、F．
（1）△ABC与△FOA相似吗？为什么？
（2）试判定四边形AFCE的形状，并说明理由．
答案：(1)△ABC∽△FOA，理由略；
(2) 四边形AFCE是菱形，理由略.
知识点：菱形的判定；相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质
解析：解答：(1)∴△ABC∽△FOA，理由如下：
∵直线l垂直平分线段AC，
∴∠AFO=∠CFO，∵∠CFO+∠FCO=∠CAB+∠FCO=90°，
∴∠AFO=∠CAB，
∵∠AOF=∠CBA=90°，
∴△ABC∽△FOA．
(2)四边形AFCE是菱形，理由如下：
由(1)知△ABC∽△FOA，
∴∠ACB=∠FAC，
∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠EAC，
∴∠FAC=∠EAC，
在△AOF与△AOE中，
∴△AOF≌△AOE（ASA），
∴AE=AF，FO=EO．
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴四边形AFCE是菱形．
分析：(1)根据角平分线的定义，同角的余角相等可知∠AFO=∠CAB，根据垂直的定义，矩形的性质可知∠ABC=∠FOA，由相似三角形的判定可证△ABC与△FOA相似；
(2)先证明四边形AFCE是平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判断．
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