新人教版数学九年级下册第二十七章相似27.2.3《相似三角形应用举例》课时练习.docx
文档属性
| 名称 | 新人教版数学九年级下册第二十七章相似27.2.3《相似三角形应用举例》课时练习.docx |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 463.3KB | ||
| 资源类型 | 素材 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2015-08-20 16:47:12 | ||
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文档简介
新人教版数学九年级上册第27章27.2.3相似三角形应用举例
课时作业
一、选择题
1.某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度，在点F处竖立一根长为1.5米的标杆DF，如图所示，量出DF的影子EF的长度为1米，再量出旗杆AC的影子BC的长度为6米，那么旗杆AC的高度为（ ）
A．6米 B．7米 C．8.5米 D．9米
答案：D
知识点：相似三角形的应用
解析：解答：∵
即
∴AC=6×1.5=9米．
故选D．
分析：本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解．
2.一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm、30cm、36cm，要估做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27cm、45cm的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边．截法有（ ）
A．0种 B．1种 C．2种 D．3种
答案：B
知识点：相似三角形的应用
解析：解答：∵两根铝材的长分别为27cm、45cm，若45cm为一边时，
则另两边的和为27cm，27＜45，不能构成三角形，
∴必须以27cm为一边，45cm的铝材为另外两边，
设另外两边长分别为x、y，则
（1）若27cm与24cm相对应时，
，
解得：x=33.75cm，y=40.5cm，
x+y=33.6+40.5=74.1cm＞45cm，故不成立；
（2）若27cm与36cm相对应时，
，
解得：x=22.5cm，y=18cm，x+y=22.5+18=40.5cm＜45cm，成立；
（3）若27cm与30cm相对应时，
27，
解得：x=32.4cm，y=21.6cm，x+y=32.4+21.6=54cm＞45cm，不成立；
故只有一种截法．
故选B．
分析：此题比较复杂，考查的是相似三角形的性质及三角形成立的条件．
先判断出两根铝材哪根为边，需截哪根，再根据相似三角形的对应边成比例求出另外两边的长，由另外两边的长的和与另一根铝材相比较即可．
3.如图，EF是△ABC的中位线，将△AEF沿中线AD方向平移到△A1E1F1的位置，使E1F1与BC边重合，已知△AEF的面积为7，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．7 B．14 C．21 D．28
答案：B
知识点：相似三角形的应用
解析：解答：∵EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，EF= BC．
∴△AEF∽△ACB．
∴．
∴△ABC的面积=28．
∴图中阴影部分的面积为28-7-7=14．
故选B．
分析：此题综合运用了三角形的中位线定理和相似三角形的判定和性质．
根据三角形的中位线定理，结合相似三角形的性质可以求得三角形ABC的面积，从而求解．
4. 小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B时，要使眼睛O，准星A，目标B在同一条直线上，如图所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星A偏离到A′，若OA=0.2米，OB=40米，AA′=0.0015米，则小明射击到的点B′偏离目标点B的长度BB′为（ ）
A．3米 B．0.3米 C．0.03米 D．0.2米
答案：B
知识点：相似三角形的应用
解析：解答：∵AA′∥BB′
∴OA：OB=AA′：BB′
∴
解得：BB′=0.3米．故选B．
分析：本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程可求出偏离的距离．
由题意可知，准星和靶是平行的，根据两三角形相似，对应边成比例列方程即可解答．
5. 一张等腰三角形纸片，底边长15cm，底边上的高长22.5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（ ）
A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张
答案：C
知识点：相似三角形的应用
解析：解答：已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是3，
所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为x，
则，解得x=4.5，
所以另一段长为22.5-4.5=18，
因为18÷3=6，所以是第六张．
故选C．
分析：本题主要考查了相似三角形的性质及等腰三角形的性质的综合运用．
根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得是第几张．
6. 如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是（ ）
A．24m B．25m C．28m D．30m
答案：D
知识点：相似三角形的应用
解析：解答：由两三角形相似可知，
解得：AP=5m
∵AP=BQ，PQ=20m．
∴AB=AP+BQ+PQ=5m+5m+20m=30m．
故选D．
分析：本题主要考查相似三角形的对应边成比例在解决实际问题中的应用．应用相似三角形可以间接地计算一些不易直接测量的物体的高度和宽度．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
由于人和地面是垂直的，即和路灯平行，构成两组相似．根据对应边成比例，列方程解答即可．
7.如图为△ABC与△DEC重迭的情形，其中E在BC上，AC交DE于F点，且AB∥DE．若△ABC与△DEC的面积相等，且EF=9，AB=12，则DF=（ ）
A．3 B．7 C．12 D．15
答案：B
知识点：相似三角形的应用
解析：解答：∵△ABC与△DEC的面积相等
∴△CDF与四边形AFEB的面积相等
∵AB∥DE
∴△CEF∽△CBA
∵EF=9，AB=12
∴EF：AB=9：12=3：4
∴面积比=9：16
设△CEF的面积为9k，则四边形AFEB的面积=7k
∵△CDF与四边形AFEB的面积相等
∴△CDF=7k
∵△CDF与△CEF是同高不同底的三角形
∴面积比等于底之比
∴DF：EF=7k：9k
∴DF=7．
故选B．
分析：本题考查的是相似三角形的性质的理解及运用．
解析：已知△CDF与四边形AFEB的面积相等，再根据相似三角形的相似比求得它们的面积关系比，从而求DF的长．
8. 如图，在长为8cm、宽为4cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（ ）
A．2cm2 B．4cm2 C．8cm2 D．16cm2
答案：C
知识点：相似三角形的应用
解析：解答：长为8cm、宽为4cm的矩形的面积是32cm2，
留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，
相似比是4：8=1：2，
因而面积的比是1：4，
因而留下矩形的面积是32×=8cm2．
故选C．
分析：本题考查相似多边形的性质．相似多边形面积之比等于相似比的平方．
利用相似多边形的对应边的比相等，对应角相等分析．
9. 如图，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m，与旗杆相距22m，则旗杆的高为（ ）
A．12m B．10m C．8m D．7m
答案：A
知识点：相似三角形的应用
解析：解答： 如图，∵ED⊥AD BC⊥AC
∴ED∥BC
∴△AED∽△ABC
∴
而AD=8，AC=AD+CD=8+22=30，ED=3.2
∴BC=
∴旗杆的高为12cm．
故选A
分析：主要利用三角形相似对应边成比例，比较简单．
要求旗杆高度BC，易证△AED∽△ABC，根据对应线段成比例，列出式子即可求出．
10.为测量被荷花池相隔的两树A、B的距离，数学活动小组设计了如图所示的测量方案：在AB的垂线AP上取两点C、E，再定出AP的垂线FE，使F、C、B在一条直线上．其中三位同学分别测量出了三组数据：
（1）AC、∠ACB；
（2）AC、CE；
（3）EF、CE、AC．
能根据所测数据，求得A、B两树距离的是（ ）
A．（1） B．（1），（2） C．（2），（3） D．（1），（3）
答案：D
知识点：相似三角形的应用
解析：解答： ∵AB⊥AP，EF⊥AP
∴AB∥EF
（1）tan∠ACB=
∴AB=ACtan∠ACB
（3）EF：AB=CE：CA
∴AB=
∴能求出A、B两树距离的条件是（1）（3）
故选D．
分析：本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程即可得出要求的量．
分析：根据三角形相似可知，要求出AB，只需求出EF即可．所以借助于（1）（3），根据AB=即可解答．
11. 如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落点恰好在离网6米的位置上，则球拍击球的高度h为（ ）
A. B. 1 C. D
答案：C
知识点：相似三角形的应用
解析：解答：∵BC⊥AD，DE⊥AD，
∴BC∥DE，
∴△ABC∽△ADE，
∵
∴h==
故选C．
分析：此题考查了两三角形相似，对应边成比例的知识，解题的关键是将实际问题转化为数学问题进行解答．本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出拍击球的高度，体现了方程的思想．易得图中的两三角形相似，利用相似三角形的对应边成比例可得h的值．
12. 兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为（ ）
A．11.5米 B．11.75米 C．11.8米 D．12.25米
答案：C
知识点：相似三角形的应用
解析：解答：设树在第一级台阶上面的部分高x米，
则，
解得x=11.5，
∴树高是11.5+0.3=11.8米．
故选C．
分析：考查相似三角形的性质和投影知识．
在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，本题中：树在第一级台阶所在的平面的影子与树在第一级台阶上面的部分，以及经过树顶的太阳光线，所成三角形与竹竿，影子光线形成的三角形相似，这样就可求出第一级台阶以上部分的树高，再加上台阶高就是树高．
13. 如图，身高1.6米的学生小李想测量学校的旗杆的高度，当他站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC=2米，BC=8米，则旗杆的高度是（ ）
A．6.4米 B．7米C．8米D．9米
答案：C
知识点：相似三角形的应用
解析：解答：设旗杆高度为h，
由题意得，h=8米．
故选C．
分析：考查相似三角形的性质和投影知识．
因为人和旗杆均垂直于地面，所以构成相似三角形，利用相似比解题即可．
14. 如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是（ ）
A．6米 B．8米 C．18米 D．24米
答案：B
知识点：相似三角形的应用
解析：解答：∵△ABP∽△CDP，
∴，
∴CD= （米）．
故选B
分析：本题综合考查了平面镜反射和相似形的知识，是一道较为简单的题，考查相似三角形在测量中的应用．
由已知得△ABP∽△CDP，则根据相似形的性质可得，解答即可．
15.如图，小芳和爸爸正在散步，爸爸身高1.8m，他在地面上的影长为2.1m．若小芳比爸爸矮0.3m，则她的影长为（ ）
A．1.3m B．1.65m C．1.75m D．1.8m
答案：C
知识点：相似三角形的应用
解析：解答：根据相同时刻的物高与影长成比例，
设小芳的影长为xm，则
解得x=1.75m．
故选C．
分析：在同一时刻物高和影长成正比，本题就是考查相似三角形的性质，对应边的比相等．
在同一时刻物高和影长成正比，即太阳光线照到两个物体上光线、物体、影子三者形成的直角三角形相似．
二、填空题
1. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，则树高AB=____
答案：5.5m．
知识点：相似三角形的应用
解析：解答：∵∠DEF=∠BCD=90°∠D=∠D
∴△DEF∽△DCB
∴
∵DE=40cm=0.4m，EF=20cm=0.2m，AC=1.5m，CD=8m，
∴
∴BC=4米，
∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5米，
故答案为：5.5．
分析：本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．
利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB．
2. 为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离树（AB）8.7m的点E处，然后观测考沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.7m，观测者目高CD=1.6m，则树高AB约是____．（精确到0.1m）
答案：5.2m
知识点：相似三角形的应用
解析：解答：由题意知∠CED=∠AEB，∠CDE=∠ABE=90°，
∴△CED∽△AEB．
∴
∴，
∴AB≈5.2米．
故答案为：5.2m．
分析：本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质就可以求出结果．
如图容易知道CD⊥BD，AB⊥BE，即∠CDE=∠ABE=90°．由光的反射原理可知∠CED=∠AEB，这样可以得到△CED∽△AEB，然后利用对应边成比例就可以求出AB．
3. 如图，身高是1.6m的某同学直立于旗杆影子的顶端处，测得同一时刻该项同学和旗杆的影子长分别为1.2m和9m，则旗杆的高度为____
答案：12m．
知识点：相似三角形的应用
解析：解答：∵同一时刻物高与影长成正比例．
设旗杆的高是xm．
∴1.6：1.2=x：9
∴x=12．
即旗杆的高是12米．
故答案为12．
分析：本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出旗杆的高度，体现了方程的思想．
利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出旗杆的高度即可．
4.三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成影子（如图所示）．现测得OA=20cm，OA′=50cm，这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是____．
答案：2：5
知识点：相似三角形的应用
解析：解答：∵
∴三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是
分析：本题考查相似三角形的性质，相似三角形的周长的比等于相似比．
由题意知三角尺与其影子相似，它们周长的比就等于相似比．
5.如图，甲，乙两楼相距20米，甲楼高20米，小明站在距甲楼10米的A处目测得点A与甲，乙楼顶B、C刚好在同一直线上，若小明的身高忽略不计，则乙楼的高度是____．
答案：60米
知识点：相似三角形的应用
解析：解答：根据题意，易得：△ABD∽△ACE，
所以
所以
解得：CE=60，所以乙楼的高度是60米．
分析：本题难度中等，考查应用相似三角形的性质解决实际问题．
由于两楼是平行的，△ABD和△ACE构成两个相似三角形，可以利用相似比解题．
三、解答题
1. 一天，数学课外活动小组的同学们，带着皮尺去测量某河道因挖沙形成的“圆锥形坑”的深度，来评估这些坑道对河道的影响，如图是同学们选择（确保测量过程中无安全隐患）的测量对象，测量方案如下：
①先测出沙坑坑沿的圆周长34.54米；
②甲同学直立于沙坑坑沿的圆周所在的平面上，经过适当调整自己所处的位置，当他位于B时恰好他的视线经过沙坑坑沿圆周上一点A看到坑底S（甲同学的视线起点C与点A，点S三点共线），经测量：AB=1.2米，BC=1.6米．
根据以上测量数据，求圆锥形坑的深度（圆锥的高）．（π取3.14，结果精确到0.1米）
答案：答案见解析
知识点：相似三角形的应用
解析：解答：取圆锥底面圆心O，连接OS、OA，则
∠O=∠ABC=90°，OS∥BC，
∴∠ACB=∠ASO，
∴△SOA∽△CBA，
∴，
∴OS=，
∵OA=5.5米，BC=1.6米，AB=1.2米，
∴OS=≈7.3米，
∴“圆锥形坑”的深度约为7.3米．
故答案为：7.3米．
分析：本题考查的是相似三角形在实际生活中的运用，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．
取圆锥底面圆心O，连接OS、OA，OS∥BC可得出△SOA∽△CBA，再由相似三角形的对应边成比例即可解答．
2. 我们知道当人的视线与物体表面互相垂直时的视觉效果最佳．如图是小明站在距离墙壁1.60米处观察装饰画时的示意图，此时小明的眼睛与装饰画底部A处于同一水平线上，视线恰好落在装饰画中心位置E处，且与AD垂直．已知装饰画的高度AD为0.66米，
求：（1）装饰画与墙壁的夹角∠CAD的度数（精确到1°）；
（2）装饰画顶部到墙壁的距离DC（精确到0.01米）．
答案：答案见解析
知识点：相似三角形的应用
解析：解答：（1）∵AD=0.66，
∴AE=AD=0.33，
在Rt△ABE中，
∵sin∠ABE=
∴∠ABE≈12°，
∵∠CAD+∠DAB=90°，∠ABE+∠DAB=90°，
∴∠CAD=∠ABE=12°．
∴镜框与墙壁的夹角∠CAD的度数约为12°．
（2）解法一：
在Rt△ACD中，
∵sin∠CAD=，
∴CD=AD，sin∠CAD=0.66×sin12°≈0.14，
解法二：
∵∠CAD=∠ABE，
∠ACD=∠AEB=90°，
∴△ACD∽△BEA，
∴
∴
∴CD≈0.14．
∴镜框顶部到墙壁的距离CD约是0.14米．
分析：本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
（1）先求出AE的长，再根据三角函数的定义求出∠ABE的度数，再通过等量代换即可求出∠CAD的度数．
（2）可根据sin∠CAD=
直接求出CD的值；利用△ACD∽△BEA，相似三角形的对应边成比例解答．
3. 图1所示的遮阳伞，伞柄垂直于水平地面，其示意图如图2、当伞收紧时，点P与点A重合；当伞慢慢撑开时，动点P由A向B移动；当点P到达点B时，伞张得最开、已知伞在撑开的过程中，总有PM=PN=CM=CN=6.0分米，CE=CF=18.0分米，BC=2.0分米、设AP=x分米．
（1）求x的取值范围；
（2）若∠CPN=60°，求x的值；
（3）设阳光直射下，伞下的阴影（假定为圆面）面积为y，求y关于x的关系式（结果保留）．
答案：答案见解析
知识点：相似三角形的应用
解析：解答：（1）∵BC=2分米，AC=CN+PN=12分米，
∴AB=AC-BC=10分米．
∴x的取值范围是：0≤x≤10．
（2）∵CN=PN，∠CPN=60°，
∴△PCN是等边三角形.
∴CP=6分米．
∴AP=AC-PC=6分米．
即当∠CPN=60°时，x=6．
（3）连接MN、EF，分别交AC于B、H．
∵PM=PN=CM=CN，
∴四边形PNCM是菱形．
∴MN与PC互相垂直平分，AC是∠ECF的平分线，
PB==6
在Rt△MBP中，PM=6分米，
∴MB2=PM2-PB2=62-（6）2=6x-x2．
∵CE=CF，AC是∠ECF的平分线，
∴EH=HF，EF⊥AC．
∵∠ECH=∠MCB，∠EHC=∠MBC=90°，
∴△CMB∽△CEH．
∴
∴
∴EH2=9MB2=9（6x-x2）．
∴y=πEH2=9π（6x-x2），
即y=-πx2+54πx．
分析：此题的难点是第（3）问，熟练运用菱形的性质、相似三角形的性质和二次函数的实际应用．
（1）根据题意，得AC=CN+PN，进一步求得AB的长，即可求得x的取值范围；
（2）根据等边三角形的判定和性质即可求解；
（3）连接MN、EF，分别交AC于B、H．此题根据菱形CMPN的性质求得MB的长，再根据相似三角形的对应边的比相等，求得圆的半径即可．
4. 小明想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：
如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD=1.2m，CE=0.8m，CA=30m（点A、E、C在同一直线上）．已知小明的身高EF是1.7m，请你帮小明求出楼高AB．（结果精确到0.1m）
答案：答案见解析
知识点：相似三角形的应用
解析：解答：
过点D作DG⊥AB，分别交AB、EF于点G、H，
则EH=AG=CD=1.2，DH=CE=0.8，DG=CA=30，
∵EF∥AB，
∴，
由题意，知FH=EF-EH=1.7-1.2=0.5，
∴，解得，BG=18.75，
∴AB=BG+AG=18.75+1.2=19.95≈20.0．
∴楼高AB约为20.0米．
分析：本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解即可，体现了转化的思想．
此题属于实际应用问题，解题的关键是将实际问题转化为数学问题进行解答；解题时要注意构造相似三角形，利用相似三角形的性质解题．
5.在一次数学测验活动中，小明到操场测量旗杆AB的高度．他手拿一支铅笔MN，边观察边移动（铅笔MN始终与地面垂直）．如示意图，当小明移动到D点时，眼睛C与铅笔、旗杆的顶端M、A共线，同时，眼睛C与它们的底端N、B也恰好共线．此时，测得DB=50m，小明的眼睛C到铅笔的距离为0.65m，铅笔MN的长为0.16m，请你帮助小明计算出旗杆AB的高度（结果精确到0.1m）．
答案：答案见解析
知识点：相似三角形的应用
解析：解答：
过点C作CF⊥AB，垂足为F，交MN于点E．
则CF=DB=50，CE=0.65，（2分）
∵MN∥AB，
∴△CMN∽△CAB．
∴，（5分）
∴AB==≈12.3．
∴旗杆AB的高度约为12.3米．（8分）
分析：本题考查的是相似三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
过点C作CF⊥AB，垂足为F，交MN于点E，再根据MN∥AB可得出△CMN∽△CAB，由相似三角形的对应边成比例即可求出AB的长．
课时作业
一、选择题
1.某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度，在点F处竖立一根长为1.5米的标杆DF，如图所示，量出DF的影子EF的长度为1米，再量出旗杆AC的影子BC的长度为6米，那么旗杆AC的高度为（ ）
A．6米 B．7米 C．8.5米 D．9米
答案：D
知识点：相似三角形的应用
解析：解答：∵
即
∴AC=6×1.5=9米．
故选D．
分析：本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解．
2.一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm、30cm、36cm，要估做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27cm、45cm的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边．截法有（ ）
A．0种 B．1种 C．2种 D．3种
答案：B
知识点：相似三角形的应用
解析：解答：∵两根铝材的长分别为27cm、45cm，若45cm为一边时，
则另两边的和为27cm，27＜45，不能构成三角形，
∴必须以27cm为一边，45cm的铝材为另外两边，
设另外两边长分别为x、y，则
（1）若27cm与24cm相对应时，
，
解得：x=33.75cm，y=40.5cm，
x+y=33.6+40.5=74.1cm＞45cm，故不成立；
（2）若27cm与36cm相对应时，
，
解得：x=22.5cm，y=18cm，x+y=22.5+18=40.5cm＜45cm，成立；
（3）若27cm与30cm相对应时，
27，
解得：x=32.4cm，y=21.6cm，x+y=32.4+21.6=54cm＞45cm，不成立；
故只有一种截法．
故选B．
分析：此题比较复杂，考查的是相似三角形的性质及三角形成立的条件．
先判断出两根铝材哪根为边，需截哪根，再根据相似三角形的对应边成比例求出另外两边的长，由另外两边的长的和与另一根铝材相比较即可．
3.如图，EF是△ABC的中位线，将△AEF沿中线AD方向平移到△A1E1F1的位置，使E1F1与BC边重合，已知△AEF的面积为7，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．7 B．14 C．21 D．28
答案：B
知识点：相似三角形的应用
解析：解答：∵EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，EF= BC．
∴△AEF∽△ACB．
∴．
∴△ABC的面积=28．
∴图中阴影部分的面积为28-7-7=14．
故选B．
分析：此题综合运用了三角形的中位线定理和相似三角形的判定和性质．
根据三角形的中位线定理，结合相似三角形的性质可以求得三角形ABC的面积，从而求解．
4. 小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B时，要使眼睛O，准星A，目标B在同一条直线上，如图所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星A偏离到A′，若OA=0.2米，OB=40米，AA′=0.0015米，则小明射击到的点B′偏离目标点B的长度BB′为（ ）
A．3米 B．0.3米 C．0.03米 D．0.2米
答案：B
知识点：相似三角形的应用
解析：解答：∵AA′∥BB′
∴OA：OB=AA′：BB′
∴
解得：BB′=0.3米．故选B．
分析：本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程可求出偏离的距离．
由题意可知，准星和靶是平行的，根据两三角形相似，对应边成比例列方程即可解答．
5. 一张等腰三角形纸片，底边长15cm，底边上的高长22.5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（ ）
A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张
答案：C
知识点：相似三角形的应用
解析：解答：已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是3，
所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为x，
则，解得x=4.5，
所以另一段长为22.5-4.5=18，
因为18÷3=6，所以是第六张．
故选C．
分析：本题主要考查了相似三角形的性质及等腰三角形的性质的综合运用．
根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得是第几张．
6. 如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是（ ）
A．24m B．25m C．28m D．30m
答案：D
知识点：相似三角形的应用
解析：解答：由两三角形相似可知，
解得：AP=5m
∵AP=BQ，PQ=20m．
∴AB=AP+BQ+PQ=5m+5m+20m=30m．
故选D．
分析：本题主要考查相似三角形的对应边成比例在解决实际问题中的应用．应用相似三角形可以间接地计算一些不易直接测量的物体的高度和宽度．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
由于人和地面是垂直的，即和路灯平行，构成两组相似．根据对应边成比例，列方程解答即可．
7.如图为△ABC与△DEC重迭的情形，其中E在BC上，AC交DE于F点，且AB∥DE．若△ABC与△DEC的面积相等，且EF=9，AB=12，则DF=（ ）
A．3 B．7 C．12 D．15
答案：B
知识点：相似三角形的应用
解析：解答：∵△ABC与△DEC的面积相等
∴△CDF与四边形AFEB的面积相等
∵AB∥DE
∴△CEF∽△CBA
∵EF=9，AB=12
∴EF：AB=9：12=3：4
∴面积比=9：16
设△CEF的面积为9k，则四边形AFEB的面积=7k
∵△CDF与四边形AFEB的面积相等
∴△CDF=7k
∵△CDF与△CEF是同高不同底的三角形
∴面积比等于底之比
∴DF：EF=7k：9k
∴DF=7．
故选B．
分析：本题考查的是相似三角形的性质的理解及运用．
解析：已知△CDF与四边形AFEB的面积相等，再根据相似三角形的相似比求得它们的面积关系比，从而求DF的长．
8. 如图，在长为8cm、宽为4cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（ ）
A．2cm2 B．4cm2 C．8cm2 D．16cm2
答案：C
知识点：相似三角形的应用
解析：解答：长为8cm、宽为4cm的矩形的面积是32cm2，
留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，
相似比是4：8=1：2，
因而面积的比是1：4，
因而留下矩形的面积是32×=8cm2．
故选C．
分析：本题考查相似多边形的性质．相似多边形面积之比等于相似比的平方．
利用相似多边形的对应边的比相等，对应角相等分析．
9. 如图，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m，与旗杆相距22m，则旗杆的高为（ ）
A．12m B．10m C．8m D．7m
答案：A
知识点：相似三角形的应用
解析：解答： 如图，∵ED⊥AD BC⊥AC
∴ED∥BC
∴△AED∽△ABC
∴
而AD=8，AC=AD+CD=8+22=30，ED=3.2
∴BC=
∴旗杆的高为12cm．
故选A
分析：主要利用三角形相似对应边成比例，比较简单．
要求旗杆高度BC，易证△AED∽△ABC，根据对应线段成比例，列出式子即可求出．
10.为测量被荷花池相隔的两树A、B的距离，数学活动小组设计了如图所示的测量方案：在AB的垂线AP上取两点C、E，再定出AP的垂线FE，使F、C、B在一条直线上．其中三位同学分别测量出了三组数据：
（1）AC、∠ACB；
（2）AC、CE；
（3）EF、CE、AC．
能根据所测数据，求得A、B两树距离的是（ ）
A．（1） B．（1），（2） C．（2），（3） D．（1），（3）
答案：D
知识点：相似三角形的应用
解析：解答： ∵AB⊥AP，EF⊥AP
∴AB∥EF
（1）tan∠ACB=
∴AB=ACtan∠ACB
（3）EF：AB=CE：CA
∴AB=
∴能求出A、B两树距离的条件是（1）（3）
故选D．
分析：本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程即可得出要求的量．
分析：根据三角形相似可知，要求出AB，只需求出EF即可．所以借助于（1）（3），根据AB=即可解答．
11. 如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落点恰好在离网6米的位置上，则球拍击球的高度h为（ ）
A. B. 1 C. D
答案：C
知识点：相似三角形的应用
解析：解答：∵BC⊥AD，DE⊥AD，
∴BC∥DE，
∴△ABC∽△ADE，
∵
∴h==
故选C．
分析：此题考查了两三角形相似，对应边成比例的知识，解题的关键是将实际问题转化为数学问题进行解答．本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出拍击球的高度，体现了方程的思想．易得图中的两三角形相似，利用相似三角形的对应边成比例可得h的值．
12. 兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为（ ）
A．11.5米 B．11.75米 C．11.8米 D．12.25米
答案：C
知识点：相似三角形的应用
解析：解答：设树在第一级台阶上面的部分高x米，
则，
解得x=11.5，
∴树高是11.5+0.3=11.8米．
故选C．
分析：考查相似三角形的性质和投影知识．
在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，本题中：树在第一级台阶所在的平面的影子与树在第一级台阶上面的部分，以及经过树顶的太阳光线，所成三角形与竹竿，影子光线形成的三角形相似，这样就可求出第一级台阶以上部分的树高，再加上台阶高就是树高．
13. 如图，身高1.6米的学生小李想测量学校的旗杆的高度，当他站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC=2米，BC=8米，则旗杆的高度是（ ）
A．6.4米 B．7米C．8米D．9米
答案：C
知识点：相似三角形的应用
解析：解答：设旗杆高度为h，
由题意得，h=8米．
故选C．
分析：考查相似三角形的性质和投影知识．
因为人和旗杆均垂直于地面，所以构成相似三角形，利用相似比解题即可．
14. 如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是（ ）
A．6米 B．8米 C．18米 D．24米
答案：B
知识点：相似三角形的应用
解析：解答：∵△ABP∽△CDP，
∴，
∴CD= （米）．
故选B
分析：本题综合考查了平面镜反射和相似形的知识，是一道较为简单的题，考查相似三角形在测量中的应用．
由已知得△ABP∽△CDP，则根据相似形的性质可得，解答即可．
15.如图，小芳和爸爸正在散步，爸爸身高1.8m，他在地面上的影长为2.1m．若小芳比爸爸矮0.3m，则她的影长为（ ）
A．1.3m B．1.65m C．1.75m D．1.8m
答案：C
知识点：相似三角形的应用
解析：解答：根据相同时刻的物高与影长成比例，
设小芳的影长为xm，则
解得x=1.75m．
故选C．
分析：在同一时刻物高和影长成正比，本题就是考查相似三角形的性质，对应边的比相等．
在同一时刻物高和影长成正比，即太阳光线照到两个物体上光线、物体、影子三者形成的直角三角形相似．
二、填空题
1. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，则树高AB=____
答案：5.5m．
知识点：相似三角形的应用
解析：解答：∵∠DEF=∠BCD=90°∠D=∠D
∴△DEF∽△DCB
∴
∵DE=40cm=0.4m，EF=20cm=0.2m，AC=1.5m，CD=8m，
∴
∴BC=4米，
∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5米，
故答案为：5.5．
分析：本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．
利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB．
2. 为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离树（AB）8.7m的点E处，然后观测考沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.7m，观测者目高CD=1.6m，则树高AB约是____．（精确到0.1m）
答案：5.2m
知识点：相似三角形的应用
解析：解答：由题意知∠CED=∠AEB，∠CDE=∠ABE=90°，
∴△CED∽△AEB．
∴
∴，
∴AB≈5.2米．
故答案为：5.2m．
分析：本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质就可以求出结果．
如图容易知道CD⊥BD，AB⊥BE，即∠CDE=∠ABE=90°．由光的反射原理可知∠CED=∠AEB，这样可以得到△CED∽△AEB，然后利用对应边成比例就可以求出AB．
3. 如图，身高是1.6m的某同学直立于旗杆影子的顶端处，测得同一时刻该项同学和旗杆的影子长分别为1.2m和9m，则旗杆的高度为____
答案：12m．
知识点：相似三角形的应用
解析：解答：∵同一时刻物高与影长成正比例．
设旗杆的高是xm．
∴1.6：1.2=x：9
∴x=12．
即旗杆的高是12米．
故答案为12．
分析：本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出旗杆的高度，体现了方程的思想．
利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出旗杆的高度即可．
4.三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成影子（如图所示）．现测得OA=20cm，OA′=50cm，这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是____．
答案：2：5
知识点：相似三角形的应用
解析：解答：∵
∴三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是
分析：本题考查相似三角形的性质，相似三角形的周长的比等于相似比．
由题意知三角尺与其影子相似，它们周长的比就等于相似比．
5.如图，甲，乙两楼相距20米，甲楼高20米，小明站在距甲楼10米的A处目测得点A与甲，乙楼顶B、C刚好在同一直线上，若小明的身高忽略不计，则乙楼的高度是____．
答案：60米
知识点：相似三角形的应用
解析：解答：根据题意，易得：△ABD∽△ACE，
所以
所以
解得：CE=60，所以乙楼的高度是60米．
分析：本题难度中等，考查应用相似三角形的性质解决实际问题．
由于两楼是平行的，△ABD和△ACE构成两个相似三角形，可以利用相似比解题．
三、解答题
1. 一天，数学课外活动小组的同学们，带着皮尺去测量某河道因挖沙形成的“圆锥形坑”的深度，来评估这些坑道对河道的影响，如图是同学们选择（确保测量过程中无安全隐患）的测量对象，测量方案如下：
①先测出沙坑坑沿的圆周长34.54米；
②甲同学直立于沙坑坑沿的圆周所在的平面上，经过适当调整自己所处的位置，当他位于B时恰好他的视线经过沙坑坑沿圆周上一点A看到坑底S（甲同学的视线起点C与点A，点S三点共线），经测量：AB=1.2米，BC=1.6米．
根据以上测量数据，求圆锥形坑的深度（圆锥的高）．（π取3.14，结果精确到0.1米）
答案：答案见解析
知识点：相似三角形的应用
解析：解答：取圆锥底面圆心O，连接OS、OA，则
∠O=∠ABC=90°，OS∥BC，
∴∠ACB=∠ASO，
∴△SOA∽△CBA，
∴，
∴OS=，
∵OA=5.5米，BC=1.6米，AB=1.2米，
∴OS=≈7.3米，
∴“圆锥形坑”的深度约为7.3米．
故答案为：7.3米．
分析：本题考查的是相似三角形在实际生活中的运用，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．
取圆锥底面圆心O，连接OS、OA，OS∥BC可得出△SOA∽△CBA，再由相似三角形的对应边成比例即可解答．
2. 我们知道当人的视线与物体表面互相垂直时的视觉效果最佳．如图是小明站在距离墙壁1.60米处观察装饰画时的示意图，此时小明的眼睛与装饰画底部A处于同一水平线上，视线恰好落在装饰画中心位置E处，且与AD垂直．已知装饰画的高度AD为0.66米，
求：（1）装饰画与墙壁的夹角∠CAD的度数（精确到1°）；
（2）装饰画顶部到墙壁的距离DC（精确到0.01米）．
答案：答案见解析
知识点：相似三角形的应用
解析：解答：（1）∵AD=0.66，
∴AE=AD=0.33，
在Rt△ABE中，
∵sin∠ABE=
∴∠ABE≈12°，
∵∠CAD+∠DAB=90°，∠ABE+∠DAB=90°，
∴∠CAD=∠ABE=12°．
∴镜框与墙壁的夹角∠CAD的度数约为12°．
（2）解法一：
在Rt△ACD中，
∵sin∠CAD=，
∴CD=AD，sin∠CAD=0.66×sin12°≈0.14，
解法二：
∵∠CAD=∠ABE，
∠ACD=∠AEB=90°，
∴△ACD∽△BEA，
∴
∴
∴CD≈0.14．
∴镜框顶部到墙壁的距离CD约是0.14米．
分析：本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
（1）先求出AE的长，再根据三角函数的定义求出∠ABE的度数，再通过等量代换即可求出∠CAD的度数．
（2）可根据sin∠CAD=
直接求出CD的值；利用△ACD∽△BEA，相似三角形的对应边成比例解答．
3. 图1所示的遮阳伞，伞柄垂直于水平地面，其示意图如图2、当伞收紧时，点P与点A重合；当伞慢慢撑开时，动点P由A向B移动；当点P到达点B时，伞张得最开、已知伞在撑开的过程中，总有PM=PN=CM=CN=6.0分米，CE=CF=18.0分米，BC=2.0分米、设AP=x分米．
（1）求x的取值范围；
（2）若∠CPN=60°，求x的值；
（3）设阳光直射下，伞下的阴影（假定为圆面）面积为y，求y关于x的关系式（结果保留）．
答案：答案见解析
知识点：相似三角形的应用
解析：解答：（1）∵BC=2分米，AC=CN+PN=12分米，
∴AB=AC-BC=10分米．
∴x的取值范围是：0≤x≤10．
（2）∵CN=PN，∠CPN=60°，
∴△PCN是等边三角形.
∴CP=6分米．
∴AP=AC-PC=6分米．
即当∠CPN=60°时，x=6．
（3）连接MN、EF，分别交AC于B、H．
∵PM=PN=CM=CN，
∴四边形PNCM是菱形．
∴MN与PC互相垂直平分，AC是∠ECF的平分线，
PB==6
在Rt△MBP中，PM=6分米，
∴MB2=PM2-PB2=62-（6）2=6x-x2．
∵CE=CF，AC是∠ECF的平分线，
∴EH=HF，EF⊥AC．
∵∠ECH=∠MCB，∠EHC=∠MBC=90°，
∴△CMB∽△CEH．
∴
∴
∴EH2=9MB2=9（6x-x2）．
∴y=πEH2=9π（6x-x2），
即y=-πx2+54πx．
分析：此题的难点是第（3）问，熟练运用菱形的性质、相似三角形的性质和二次函数的实际应用．
（1）根据题意，得AC=CN+PN，进一步求得AB的长，即可求得x的取值范围；
（2）根据等边三角形的判定和性质即可求解；
（3）连接MN、EF，分别交AC于B、H．此题根据菱形CMPN的性质求得MB的长，再根据相似三角形的对应边的比相等，求得圆的半径即可．
4. 小明想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：
如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD=1.2m，CE=0.8m，CA=30m（点A、E、C在同一直线上）．已知小明的身高EF是1.7m，请你帮小明求出楼高AB．（结果精确到0.1m）
答案：答案见解析
知识点：相似三角形的应用
解析：解答：
过点D作DG⊥AB，分别交AB、EF于点G、H，
则EH=AG=CD=1.2，DH=CE=0.8，DG=CA=30，
∵EF∥AB，
∴，
由题意，知FH=EF-EH=1.7-1.2=0.5，
∴，解得，BG=18.75，
∴AB=BG+AG=18.75+1.2=19.95≈20.0．
∴楼高AB约为20.0米．
分析：本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解即可，体现了转化的思想．
此题属于实际应用问题，解题的关键是将实际问题转化为数学问题进行解答；解题时要注意构造相似三角形，利用相似三角形的性质解题．
5.在一次数学测验活动中，小明到操场测量旗杆AB的高度．他手拿一支铅笔MN，边观察边移动（铅笔MN始终与地面垂直）．如示意图，当小明移动到D点时，眼睛C与铅笔、旗杆的顶端M、A共线，同时，眼睛C与它们的底端N、B也恰好共线．此时，测得DB=50m，小明的眼睛C到铅笔的距离为0.65m，铅笔MN的长为0.16m，请你帮助小明计算出旗杆AB的高度（结果精确到0.1m）．
答案：答案见解析
知识点：相似三角形的应用
解析：解答：
过点C作CF⊥AB，垂足为F，交MN于点E．
则CF=DB=50，CE=0.65，（2分）
∵MN∥AB，
∴△CMN∽△CAB．
∴，（5分）
∴AB==≈12.3．
∴旗杆AB的高度约为12.3米．（8分）
分析：本题考查的是相似三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
过点C作CF⊥AB，垂足为F，交MN于点E，再根据MN∥AB可得出△CMN∽△CAB，由相似三角形的对应边成比例即可求出AB的长．