探索勾股定理（1）
教学目标：
用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用.（重点）
2.让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法.（难点）
教法与学法指导：
这节课主要采用“自主探究--合作竞学 ( http: / / www.21cnjy.com )”型教学模式.引导学生利用用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程，让学生经历知识形成的过程动并主动进行知识建构，同时培养了学生合作探究、分析问题及解决问题的能力. 教学中出问题让学生想，设计问题让学生做，方法与规律让学生归纳，营造小组竞学的氛围. 提升强化技能，注重课堂反馈.
课前准备：多媒体课件、导学案
教学过程：
一.感悟导入
师：请教大家一个问题：宇宙中有没有外星人？
生：有……
生：没有……
师：同学们是众说纷纭.这个问题一直困扰 ( http: / / www.21cnjy.com )着我们地球人.请大家拿出导学案，阅读第一部分内容。找一个同学读，其他同学看大屏幕.（生读的同时，师演示动画）
生（读导学案）：一个神奇的图形
世界的许多科学家都曾试探着寻找“外星人” ( http: / / www.21cnjy.com )，人们为了取得与外星人的联系，想了很多方法.早在1820年，德国著名数学家高斯曾提出，可在西伯利亚的森林里伐出一片直角三角形的空地，然后在这片空地里种上麦子，以三角形的三条边为边种上三片正方形的松树林，如果有外星人路过地球附近，看到这个巨大的数学图形，便会知道：这个星球上有智慧生命.
我国数学家华罗庚也曾提出：若要沟通两个不同星球的信息交往，最好利用太空飞船带上这个图形（见右图），并发射到太空中去.
师：这个图形究竟有何神奇之处？这里面又包含着什么玄机和奥妙呢？这就是我们今天要研究的课题——1.1 探索勾股定理.（板书）
设计意图：紧扣课题，自然引入，同时渗透爱国主义教育.
二.探索定理
师：我们还是从这个神奇的图形开始吧.请同学们完成导学案第二块内容.有不明白的地方可以讨论一下.
探索内容：直角三角形的三边数量关系
如图所示：图中每个小方格代表一个单位面积.
问题1：你能说出每个图形中的正方形A、B、C的面积吗？（完成下表）
A的面积（SA） B的面积（SA） C的面积（SA）
图1-1
图1-2
图1-3
图1-4
问题2：你能发现四个图形中的正方形的面积SA、SB 、SC有什么关系吗？
问题3：若直角三角形三边长为a、b、c, 你能说出正方形A、B、C的面积和a、b、c之间的关系吗？
SA=_______, SB=_______, SC=_______.
问题4：在以上问题的基础上，你能找出直角三角形三边a、b、c之间的数量关系吗？
（生讨论并完成以上的导学案内容，师提问并评议学生答案.）
设计意图：探究活动二意在让学生通过 ( http: / / www.21cnjy.com )观察、计算、探讨、归纳进一步发现一般直角三角形的性质．由于正方形C的面积计算是一个难点，为此设计了一个交流环节.
三.验证定理
师：经过探索，我们找到了以上四个图形中直角三角形的三边满足a2+b2=c2，是不是所有的直角三角形都具有这种关系呢？
生：是.
师：肯定吗？
生：肯定.（少数同学说不一定）
师：刚才的直角三角形的直角边长都是整数，如果变成小数，还成立吗？
生：成立.
师：我还是有点不放心.我们用几何画板来验证一下吧.
（师操作几何画板，通过拖动改变直角三角形边长，并利用几何画板的测量及计算功能，验证a2+b2=c2）
设计意图：多媒体动态演示,由特殊到一般,使学生更直观、更深刻理解勾股定理.
四.得出定理
师：任意改变三角形的各边长度，只要直角不变，都存在a2+b2=c2，这就是今天我们所要学习的定理，大家说，它叫什么名字？
答：勾股定理.
师：请同学们完成导学案第三部分内容.
（生填空，师板书定理内容）
定理内容
1.内容：直角三角形_____________的平方和等于________
的平方.
2.表达式_____________________.
（a，b为直角边，c为斜边）
设计意图：进一步发现直角三角形三边关系，得到勾股定理.
五.勾股史话
师：勾股定理的实质是直角三角形三边的 ( http: / / www.21cnjy.com )关系，那为什么不叫三边定理，或直角三角形定理，而是叫勾股定理呢？这还要从很久很久以前说起.请同学们看一段动画.
（课件演示介绍勾股定理的动画片段，加深学生的理解.）
师：现在知道为什么叫勾股定理了吧？勾股定理有着悠久的历史.下面我找四个同学，分别读一下讲学稿第四部分内容：勾股史话.
生1：公元前1世纪的《周髀算经》中记载 ( http: / / www.21cnjy.com )：公元前11世纪，周公与商高的对话中提出“勾三、股四、弦五”. 勾股定理的名称由此而来.勾股定理又称“商高定理”.
生2：公元前600年左右，古希腊的毕达哥拉斯学派也发现了勾股定理，命名为“毕达哥拉斯定理” （又称“百牛定理” ），而且给出了证明.
师：毕达哥拉斯是在朋友家做客 ( http: / / www.21cnjy.com )时通过观察地板上的正方形图案，悟出了直角三角形三边的关系，从而得到了勾股定理.为什么又称“百牛定理”呢？据说毕达哥拉斯发现了勾股定理后，欣喜若狂，杀了一百头牛，大摆宴席，以示庆贺，所以又称“百牛定理”.
生3：中国最早给出定理证明的是公元3世纪三国时
的吴国数学家赵爽.
师：看屏幕，这就是赵爽证明勾股定理时所用到的
勾股圆方图，2002年世界数学家大会的会标就
使用了这个图案.
生4：勾股定理从提出到现在的两千多年中，已经找到证明400多种，由鲁密斯搜集整理的《毕达 哥拉斯》一书中就给出370种不同证法.
师：勾股定理真的可以成为数 ( http: / / www.21cnjy.com )学之最了，它的历史最悠久，证法最多，名称最多，甚至是争议也最大，现在还有一些国家都争着说勾股定理是他们首先发现的.
设计意图：了解勾股定理的历史,体会勾股定理的价值.
六.应用定理
师： 俗话说，学以致用.勾股定理有哪些用处呢？请同学们完成导学案第五部分.
例:如图，强大的台风使得一根旗杆在离地面9米处折断倒下,旗杆顶部落在离旗杆底部12米处.请问：旗杆折断之前有多高
设计意图：及时巩固勾股定理,体会勾股定理在生活中的应用.
七.拓展延伸
师：刚才同学们学的都不错。作为奖励，我做了一棵美丽的树，送给大家。
（展示课件：美丽的勾股树，按动“+，-”键，可以改变迭代的次数，拖动控制点，可以改变勾股树的形状和颜色.）
师：你能看懂以上两幅图的构造吗？你会画吗？
你能从中发现什么规律？（图中的正方形之间有什么关系？）
（生讨论，口答.）
2.小明妈妈买了一部 29 英寸(74厘米 ( http: / / www.21cnjy.com ))的电视机,小明量了屏幕的长是 58 厘米宽是 46 厘米,他觉得一定哪里搞错了 你能帮助小明解释这是为什么吗
（生讨论，口答.）
设计意图：体会数学给我们的生活带来的美感..
八.测试评价
1.求下图中字母所代表的正方形的面积.
2.已知直角三角形两边，求第三边.
（1）
（2）已知△ABC，∠C=90O，a=5，c=13，求b.
设计意图: 通过达标检测及时反馈学生对本节课知识点的掌握程度, 以便有的放矢进行后续教学.
九.反思回顾
师：通过本节课的学习，你都知道了哪些知识？
生1：我知道了勾股定理的内容，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
生2：勾股定理用式子表示就是a2+b2=c2.
生3：我还知道了勾股定理历史非常悠久，并且非常神奇，甚至可以用它联系外星人.
生4：勾股定理的用途很大，可以已知两边求第三边.
师：是否任意三角形已知两边都可以求第三边呢？
生5：必须是直角三角形.
生6：我还知道了勾股定理是中国最早发现的.
师：我们在以前的学习中知道了很多著名的发现和发明都起源于中国.在这方面你们有什么感想呢？
生7：我为我们的祖国而感到骄傲和自豪.
生8：但是现在我们国家在许多方面落后于发达国家.我们要努力赶上.
师：这几位同学说的真是太好了，掌声鼓励一下！
（生鼓掌。）
师：中国是四大文明古国之一，有着悠久的历史和 ( http: / / www.21cnjy.com )灿烂的文化.从万里长城到四大发明，从祖冲之的圆周率到商高的勾股定理，无不体现了我们中国人民的聪明才智。但是，我们不能总拿着祖先的成就作为炫耀的资本.目前的中国在许多方面还很落后.实现我们中华民族伟大复兴的重任落在了我们的肩头.我们应该怎么办？
生：好好学习，报效祖国！
师：最后，送给大家一句话.（课件播放：同学们，无数的数学奥妙等待着你们去探索.努力吧，未来伟大的数学家可能就坐在你们的中间！）
师：祝大家成功！谢谢同学们！
设计意图:培养学生语言表达归纳总结的能力和反思意识，总结研究数学问题的一般方法,形成完整的知识体系
十.作业布置
1.习题1.1 第1、2、4题
2.查阅资料，思考证明勾股定理的方法.
附:板书设计
§1.1 探索勾股定理勾股定理: 定理应用:例:1.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.2. a2+b2=c2（a，b为直角边，c为斜边）第一章 第三节 勾股定理的应用
教学目标：
1.学会应用勾股定理解决实际生活问题.
2.会将实际问题抽象成数学问题，体会数形结合思想.
3.经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法，发展学生的实践能力和创新精神.
重点: 应用勾股定理解决生活中的问题.
难点: 会将实际问题抽象成数学问题.
教学过程：
预习检测，展示目标
师，：请你完成预习检测（课件展示）:.
1．小明和爸爸妈妈十一登山，他们沿着45度的坡路走了50米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是 米.
2．如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是5米，这两株树之间的垂直距离是3 米，水平距离是 米.
2题图 3题图 4题图
3．如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是 .
4．如图，原计划从A地经C ( http: / / www.21cnjy.com )地到B地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A地到B地直接修建，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道总长为2公里，隧道造价为500万元，AC=80公里，BC=60公里，则改建后可省工程费用是多少？
答案：1. 5 2. 4 3. 18米 4. 12100万元
师：（课件展示学习目标）
慧眼观察，合作探究
小明家住在18层的高楼，一天，他与妈妈去买竹竿.
如果电梯的长.宽.高分别是4尺.3尺.12尺，那么，你能帮小明估计一下买的竹竿至多是多少尺吗？
教师活动：巡视，指导点拔学困生.
学生活动：以小组为单位解决上述问题，能独立完成的独立完成，有困难的可以合作完成，完成后由组内学困生发言，小组整体提升.
1．探究活动一
探究1：
师：一个门框的尺寸如图所示，一块长为3m，宽为2.2m的薄木板能否从门框内通过？为什么？
( http: / / www.21cnjy.com )
分析：⑴在实际问题向数学问题的转化过 ( http: / / www.21cnjy.com )程中，注意勾股定理的使用条件，即门框为长方形，四个角都是直角.⑵让学生深入探讨图中有几个直角三角形？图中标字母的线段哪条最长？⑶指出薄木板在数学问题中忽略厚度，只记长度，探讨以何种方式通过？⑷转化为勾股定理的计算，采用多种方法.⑸注意给学生小结深化数学建模思想，激发数学兴趣.
2．探究活动二
师：如图，一个3m长的梯子AB，斜靠在一 ( http: / / www.21cnjy.com )竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5m，如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子低端B也外移0.5m吗？
( http: / / www.21cnjy.com )
分析：⑴在△AOB中，已知AB=3，AO=2.5，利用勾股定理计算OB.
⑵ 在△COD中，已知CD=3，CO=2，利用勾股定理计算OD.则BD=OD－OB，通过计算可知BD≠AC.
⑶进一步让学生探究AC和BD的关系，给AC不同的值，计算BD.
3．探究活动三
师：请同学们议一议，然后动手操作（课件展示）
一个圆柱，它的高等于12厘米，底面 ( http: / / www.21cnjy.com )半径等于3厘米．在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？(π的值取3)
师：你能用制作的圆柱体来展示它爬行的路线吗？
生：积极动手，对自制的圆柱体进行展开，探究最短路线.
师：你们小组探讨一下，如何把这个问题转化为数学问题？
生：讨论后，小组展示.
师：这位同学的展示很好，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，
从A点到B 点即为最短路线.你画对了吗
生：对了
师：我们要如何计算AB的长度呢？
生:快速计算，并互相交流
师：巡视学生，对学生的计算进行表扬或指导.
师：（展示）蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
解：依题意，把圆柱的侧面展成如图所示的长方形，求最短路线问题就变成了根据 求 三角形边的问题.
生：直角
师：给出书写步骤，让学生明确如何书学步骤.
展示自我，收获快乐
师：比一比，赛一赛，看谁做的对又快（课件展示，以小组竞赛的方式做练习）.
1.如图，一座城墙高11.7米，墙外有一个宽为9米的护城河，那么一个长为15米的云梯能否到达墙的顶端？
2.如图，有一个高1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的
地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是
0.5米，问这根铁棒最长应有多长？
3.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？
运用新知，拓展创新
师:. 请同学们合作训练，看哪个小组做的对又快（课件展示）
一.提高训练
1．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距（ ）
A．50cm B．100cm C．140cm D．80cm
2．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当它把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为 （ ）
A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm
3．有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺．求竹竿高与门高．
二.能力训练
1．如图是一个三级台阶，它的每一级的长.宽和高分别为20dm.3dm.2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是_____________ dm.
2．暑假中，小明和同学们到某海岛去 ( http: / / www.21cnjy.com )探宝旅游，按照如图所示的路线探宝. 他们登陆后先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北走6km处往东一拐，仅走1km就找到了宝藏，则登陆点到埋宝藏点的直线距离为 km．
教师活动：请部分同学对自学检测题进行点评.更正；如有学生解决不了的问题，教师可适当引导点拔.
学生活动：以口答.板演等形式对自己所完成的练习进行点评.
五．归纳升华，提炼反思
师：世上无难事，只怕有心人.
1．这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？
2．对这些内容你有什么体会？与同伴进行交流．
生：（学生讨论后）1．知识：勾股定理应用：如何把实际问题转化为数学问题.
2．方法：（1） 观察—探索—转化—应用；
（2）求最短路线方法：立体图形转化为平面图形.
3．思想：（1） 转化思想；
（2） 数形结合思想．
六.当堂评价，展示自我
师：熟能生巧，业精于勤.请你快速完成下列各题(课件展示)，看谁做的对又快.(要求说出考查知识点及解题过程)
1. （湖北省恩施市）如图3 ( http: / / www.21cnjy.com )，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，上只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是( )
A．5 B．25 C．+5 D．35
( http: / / www.21cnjy.com )
2．（2013四川广安）如图所示，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC＝ 6cm，点是母线上一点且＝．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（ ）
A．（）cm B．5cm
C．cm D．7cm
分析：画出该圆柱的侧面展开图如图所示，则蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离为线段AP的长．在Rt△ACP中，AC＝，＝＝4cm，所以．
( http: / / www.21cnjy.com )
解答：B
点评：解决这类问题要善于将空间图 ( http: / / www.21cnjy.com )形转化为平面图形，采用“化曲为直”的方法，利用圆柱体的表面展开图，把求最短距离问题转化为求两点之间的线段的长度问题．
3．（2012青岛）如图，圆柱形玻璃 ( http: / / www.21cnjy.com )杯高为12cm.底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm．
( http: / / www.21cnjy.com )
七.布置作业
作业：①复习第一章勾股定理（2），思考：本章讲述了哪几个知识点？你最多能掌握哪几个？
②完成第16页-19页的复习题.
教师检查本节课课后习题的完成情况（把学生典型的错误投放到黑板上，供全体同学纠错……）
买最长的吧！
快点回家，好用它凉衣服.
糟糕，太长了，放不进去.
4
3
12
12
A
B
C
C
D
B
4
3
D
C
A
B探索勾股定理(2)
教学目标：
1.经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想.
2. 掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题.
教学重点：
用面积法验证勾股定理，应用勾股定理解决简单的实际问题.
教学难点：
验证勾股定理.
教法与学法指导：
学生上节课又已经通过测量和数格子的方法， ( http: / / www.21cnjy.com )对具体的直角三角形探索并发现了勾股定理，但没有对一般的直角三角形进行验证. 本节课是在上节课已探索得到勾股定理之后的内容，通过拼图验证勾股定理并体会其中数形结合的思想；应用勾股定理解决一些实际问题.本节课我采用的是“自主探究、当堂评价”的方法，通过拼图的方法，师生共同构证明出来勾股定理，应用勾股定理解决一些实际问题，提升能力．
课前准备：生∶四个全等的直角三角形图片 师∶制作课件
一、回顾与复习
师：上节课我们已经通过探索得到了勾股定理，请问勾股定理的内容是什么？
生：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a、b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a ＋b =c
师：上节课我们仅仅是通过测量和数格子，对具体的直角三角形探索发现了勾股定理，对一般的直角三角形，勾股定理是否成立呢？
生：成立.
活动目的：复习勾股定理内容；回顾上节课探索过程，强调仍需对一般的直角三角形进行验证，培养学生严谨的科学态度.
二、拼图验证
师：这需要进一步验证，如何验证勾股定理呢？
(只有预习的同学会一些,因此提示：利用准备好的四个全等的直角三角形图片,拼出一个正方形)
（教师可参与到学生的讨论中，发现同学们不足的地方，给予提示和指导）.
师：（利用投影机展示同学们拼的好一些的正方形）
师：这两个图形都能够证明勾股定理,并且这两 ( http: / / www.21cnjy.com )个图形的证明方法几乎一样,因此我们共同来证明一个，剩下的一个由同学们自己给证明出来.那么,我们选择哪一个呢
生：那就选图1吧！
师：（课件展示）
1.大正方形的边长为 ，
因此大正方形的面积为________．
2.大正方形由 个全等的直角三角形和
一个 组成,因此大正方形的面积还可以
表示为 .
3.以上两问表示的是同一个正方形的面积,因此这两者
存在 关系,利用这个关系便能证明出来
勾股定理了.那么你能证明出来吗
生1：边长为a+b 面积为(a+b)
生2：4个 正方形 ab 4+c
生3：存在相等关系
(a+b) =ab 4+c
师：很好了！下面我们来证明出来.
解：因为S正方形=(a+b)
S正方形=ab 4+c
所以(a+b) =ab 4+c
a +2ab+b =2ab+ c
a +b = c
活动目的：为了让学生在活动中体会图形的构成，既为勾股定理的验证作铺垫，同时也培养学生的动手、创新能力.
师：对于图2的证明方法几乎和图1的证明方法 ( http: / / www.21cnjy.com )一样，也是都表示正方形的面积，寻找相等关系，便能证明出勾股定理了.下面自己做出来,然后小组选出代表来回答.
(师巡视,多注意有困难的学生,给出适当的提示和帮助)
生2：因为S正方形=c
S正方形=ab 4+(b-a)
所以c =ab 4+(b-a) （课件展示图形）
c = 2ab+ b -2ab+a
c = a +b
即：a +b = c
活动目的：让学生利用另一个拼图独立验证勾股定理的目的是让学生再次体会数形结合的思想并加以运用,体会成功的快乐
三、追溯历史
师：这位同学证明的太好了！其实勾股定理的证明方法有400多种,下面我们就介绍几种证明方法
.
1.方法一：三国时期吴国数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，创制了一幅“勾股圆方图”， 也称为“弦图”，这是我国对勾股定理最早的证明.
2002年世界数学家大会在北京召开，这届大会会标的中央图案正是经过艺术处理的“弦图”，标志着中国古代数学成就.
2.美国总统证法
在1876年一个周末的傍晚 ( http: / / www.21cnjy.com )，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景……他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨．由于好奇心驱使他循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形……
于是这位中年人不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下
的难题.他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给
出了简洁的证明方法.
1876年4月1日，他在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法.
师：对于这个题目的证明方法几乎和图1和图2的证明方法差不多，也是都表示梯形的面积，寻找相等关系，便能证明出勾股定理了.我们课下习题中也有.
3.方法三：据传是当年毕达哥拉斯发现勾股定理时做出的证明.
将4个全等的直角三角形拼成边长为(a＋ ( http: / / www.21cnjy.com )b)的正方形ABCD，使中间留下边长c的一个正方形洞．画出正方形ABCD．移动三角形至图2所示的位置中，于是留下了边长分别为a与b的两个正方形洞．则图1和图2中的白色部分面积必定相等，所以c2=a2+b2
4.方法4：我国的“青朱出入图”, ( http: / / www.21cnjy.com ) 清楚地发现图中:小正方形与较大正方形的面积和与最大正方形的面积之间的等量关系,从而不用运算,单靠移动几块图形就直观地证出了勾股定理,真是“无字的证明”.
活动目的：介绍与勾股定理有关的历史，学生加强了对数学史的了解，培养学习数学的兴趣；既让学生得到充分的锻炼，同时也活跃了课堂气氛.
四 、例题讲解 初步应用
例题：我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一辆
地方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪,测得汽车与他
相距400m,10s后，汽车与他相距500m.
你能帮小王计算地方汽车的速度吗？
师：解：有勾股定理得ＡＢ ＝BC +AC
即：500 = BC +400
所以BC=300
1h行驶了300×6×60=108000﹙m﹚
所以它的行驶速度为108km／h
活动目的：初步运用勾股定理解决实际问题，培养学生应用数学的意识和能力；体会勾股定理的应用价值,把实际问题转化为数学问题并顺利解决.
五、延伸拓展，能力提升
1.议一议:观察下图,用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2
2.一个直角三角形的斜边为20cm ,且两直角边长度比为3:4，求两直角边的长.
生1：这两个都不满足勾股定理.
生2： =5
20 5=4
3×4=12﹙cm﹚
4×4=16﹙cm﹚
活动目的：学生通过数格子的方法可以 ( http: / / www.21cnjy.com )得出：如果一个三角形不是直角三角形，那么它的三边a,b,c不满足a2+b2=c2.通过这个结论，学生将对直角三角形三边的关系有进一步的认识，并为后续直角三角形的判别打下基础.
六、达标检测
1．若△ABC中，∠C=90°，（1）若a= ( http: / / www.21cnjy.com )5，b=12，则c= ；（2）若a=6，c=10，则b= ；（3）若a∶b=3∶4，c=10，则a= ，b= .
2．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2 m，宽为1.5 m，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木板的长为 .
3．直角三角形两直角边长分别为5 cm，12 cm，则斜边上的高为 .
4．等腰三角形的腰长为13 cm，底边长为10 cm，则面积为（ ）.
A．30 cm2 B．130 cm2 C．120 cm2 D．60 cm2
七、提高检测
5．一棵9 m高的树被风折断，树顶落在离树根3 m之处，若要查看断痕，要从树底开始爬多高？
八、知识拓展（学有余力的同学课下完成）
6．折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，
若AB=8 cm，BC=10 cm，求EC的长.
参考答案：
1．（1）13；（2）8；（3）6，8．
2．2.5m．
3．cm．
4．D．
5．4m．
7．3 cm．
活动目的：设计分层训练，既满足了不同学生的需求，同时也便于老师及时地了解学生的情况,及时给出指导与评价.
九、回顾反思 提炼升华
师：通过这节课的学习，你有什么样的收获？
生1：会证明勾股定理,了解不少方法.
生2：数形结合的思想方法
生3：会背诵常见的勾股数利于做难一些的题目. ……
活动目的：归纳出本节课的知识要点，数形结合的思想方法；了解学生对本节课的感受并进行总结；培养学生的归纳概括能力.
九、课后练习
必做题： 课本第6页习题1.2第 1，2题.
选做题： 课本第7页习题1.2第3题．
板书设计：
1.1探索勾股定理(2)
勾股定理拼图验证 追溯历史例题 5. 达标检测6.板书区
c
b
b
a
a
c
a
b
c
(b﹣a)
图1
图2
a
b
a
a
a
b
b
c
c
c
c
b
图1
图2
图4
图3
图2
图1
B
C
4000
A
500
_
b
_
a
_
a
_
c
_
b
_
c1.２ 一定是直角三角形吗
教学目标：
1．经历勾股定理的逆定理的探索过程，进一步发展推理能力；
2．掌握勾股定理的逆定理，并能进行简单应用；
3．体验生活中的数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣；
教法学法：为了调动学生学习积极性， ( http: / / www.21cnjy.com )充分体现课堂教学的主体性，本节课采用“探索式教学”，以学生为主体，教师引导，学生自主探索和小组合作相结合的方式.让学生动手操作，在讨论交流中体验学习的快乐，在合作的友好氛围中让学生更有机会体验自己与他人的想法，从而掌握知识，发展技能，获得愉快的心理体验.
教学手段：利用多媒体和实物演示等教学设备辅助教学，充分调动学生的积极性，创设和谐、轻松的学习氛围.
课前准备：圆规、直尺、量角器.
教学过程：
情景导入 明确目标：
创设情境：
师：1．直角三角形中，三边之间满足什么样的关系？
生：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
师：2．如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是否就是直角三角形呢？
生：尝试回答，是．
自主学习 合作探究
探究活动一 勾股定理的逆定理及勾股数的概念
内容1：探究
师：下面的每组数分别是一个三角形的三边长，①5，12，13；②7，24，25；③8，15，17；请回答下面两个问题：
1．这三组数都满足吗？
生1: 它们都满足．
2．分别以每组数为三边作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
生:学生分为４人一组，每个小组可以任选其中的一组数．
【设计意图】：通过学生的合作探究，得出“若一个三角形的三边长，满足，则这个三角形是直角三角形”这一结论；在活动中体验出数学结论的发现总是要经历观察、归纳、猜想和验证的过程，同时遵循由“特殊→一般→特殊”的发展规律．
从上面的分组实验很容易得出如下结论：
如果一个三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.
内容2：说理
师：提问：有的同学认为测量结果可能有误差，不同意这个发现.你认为这个发现正确吗？你能给出一个更有说服力的理由吗？
生1:上一课时“议一议”活 ( http: / / www.21cnjy.com )动的结论：锐角三角形和钝角三角形中，任意两边的平方和都不等于第三边的平方，因此，以3,4,5为边长的三角形不是锐角三角形和钝角三角形，一定是直角三角形．
【设计意图】：让学生明确，仅仅基于测量结果得到的结论未必可靠，需要进一步通过说理等方式使学生确信结论的可靠性，同时明晰结论：
如果一个三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形．
【注意事项】：为了让学生确认该结论，需要进行说理，有条件的班级，还可利用几何画板动画演示，让同学有一个直观的认识．
即时练习1：
1．下列哪几组数据能作为直角三角形的三边长？请说明理由．
①9，12，15； ②15，36，39； ③12，35，36； ④12，18，22
解答：①②
2．一个三角形的三边长分别是，则这个三角形的面积是（ ）
A 250 B 150 C 200 D 不能确定
解答：B
【设计意图】：通过练习，加强对勾股定理及勾股定理逆定理的认识及应用．
师：因为，并且９，１２，１５都是正整数，所以我们将满足的三个正整数，称为勾股数．
师：请同学们列举出几组勾股数．
生１：３，４，５；５，１２，１３；
生２：６，８，１０；７，２４，２５；
师：请同学们观察，３，４，５与６，８，１０有什么关系？
生：６，８，１０分别是是３，４，５的二倍．
师：我们因此可以做出怎样的猜想？
生：将一组勾股数同时扩大相同的倍数，得到的还是勾股数．
师：很好，实际上，将直角三角形的三边同时扩大相同的倍数，得到的还是直角三角形．
师：刚才，我们在验证②15，36，39能否作为直角三角形的三边长时，计算量比较大，那么，利用上面的结论，我们是否有更简单的方法呢？
生：有，因为15，36，39都 ( http: / / www.21cnjy.com )是３的倍数，所以我们可以先验证５，１２，１３是否能作为直角三角形的三边长就可以了，从而可以减少计算量，提高解题速度．
探究活动二 应用举例
例. 一个零件的形状如图2所示，按规定这个零件中都应是直角.工人师傅量得这个零件各边尺寸如图3所示，这个零件符合要求吗？
师：给出解答过程．
解：符合要求．
，
又，
即时练习2：
1．如图4，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1， 图中有几个直角三角形，你是如何判断的？与你的同伴交流．
2．如图5，哪些是直角三角形，哪些不是，说说你的理由？
图4 图5
１．解答：4个直角三角形，△ABE，△DEF，△BCF分别有一个角为正方形的内角，是直角；△BEF中，可以计算出,,,从而可得,△BEF也是直角三角形．
师：点拨：判别一个三角形是直角三角形的方法有：
⑴定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形．
⑵根据勾股定理的逆定理．
２．解答：④⑤是直角三角形，①②③⑥不是直角三角形
生1:我通过检验三边平方关系得出结论．
生2:我通过观察这些边与网格线所成角的大小得出结论．
【设计意图】：第一题考查学生充分利用所学知识解决问题时，考虑问题要全面，不要漏解；第二题在于考查学生如何利用网格进行计算，从而解决问题．
三 、总结知识 拓展提高：
师：通过本节课的学习
1.你学到了哪些知识点？
2.你学到了哪些方法？
生1：我会利用三角形三边数量关系判断一个三角形是直角三角形；
生2：满足的三个正整数，称为勾股数；
【设计意图】：鼓励学生结合本节课的学习谈自己 ( http: / / www.21cnjy.com )的收获和感想，体会到勾股定理及其逆定理的广泛应用及它们的悠久历史；敢于面对数学学习中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功经验，进一步体会数学的应用价值，发展运用数学的信心和能力，初步形成积极参与数学活动的意识．
达标测试：
1．如图，在中，于，，则是（ ）．
A 等腰三角形 B 锐角三角形
C 直角三角形 D 钝角三角形
解答：C
2．将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是（ ）
A 直角三角形 B 锐角三角形
C 钝角三角形 D 不能确定
解答：A
3．一艘在海上朝正北方向航行的轮船， ( http: / / www.21cnjy.com )航行240海里时方位仪坏了，凭经验，船长指挥船左传90°，继续航行70海里，则距出发地250海里，你能判断船转弯后，是否沿正西方向航行？
解答：由题意画出相应的图形
AB=240海里,BC=70海里,，AC=250海里;
在△ABC中， =(250+240)(250-240)=4900==
即∴△ABC是Rt△
答:船转弯后,是沿正西方向航行的．
【设计意图】：将较难的题 ( http: / / www.21cnjy.com )目分解于无形，从而轻而易举的突破难点；本题的设置，为学生掌握解决难题的方法指明了方向；利用勾股定理逆定理解决实际问题，进一步巩固该定理．
板书设计：
1.2一定是直角三角形吗
勾股定理的逆定理及勾股数的概念内容1：探究如果一个三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形满足的三个正整数，称为勾股数 探究活动二 应用举例解：符合要求.， 又， 即时练习达标测试
图3
图2
①
②
③
⑥
⑤
④
F
D
A
B
C
E
A
北
C
B第一章勾股定理回顾与思考
教学目标：
1．让学生回顾本章的知识，同时重温这些知识尤其是勾股定理的获得和验证的过程，体会勾股定理及其逆定理的广泛应用．
2. 在回顾与思考的过程中，提高解决问题，反思问题的能力．
3．在反思和交流的过程中，体验学习带来的无尽的乐趣．通过对勾股定理历史的再认识，培养爱国主义精神，体验科学给人来带来的力量．
教学过程:
一、情境引入
勾股定理是我们数学史的奇 ( http: / / www.21cnjy.com )迹， 通过第一章的学习，我们已经比较完整地研究了这个先人给我们留下来的宝贵的财富，这节课，我们将通过回顾与思考中的几个问题更进一步了解勾股定理的历史，勾股定理的应用．
二、知识梳理
本章知识要点及结构：
（第1—6题由学生独立思考完成，小组代表展示）
1．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用和分别表示直角三角形的直角边和斜边，那么__________．
2．勾股定理各种表达式：
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边也分别为，则=_________，=_________，=_________．
3．勾股定理的逆定理：
在△ABC中，若三边满足___________，则△ABC为___________．
4．勾股数：
满足___________的三个___________，称为勾股数．
5．几何体上的最短路程：将立体 ( http: / / www.21cnjy.com )图形的________展开，转化为_________上的路程问题，再利用___________两点之间，___________解决最短线路问题．
6．如何判断一个三角形是直角三角形，举例说明．
判断一个三角形是直角三角形可以从角、边两个方面去判断．
（1）从定义即从角出发去判断一个三角形是直角三角形．
例如：①在△ABC中，，根据三角形的内角和定理，可得，根据定义可判断△ABC是直角三角形．
②在△ABC中，，由三角形的内角和定理可知，，，，△ABC是直角三角形．
（2）从边出发来判断一个三角形是直角三角形．其实从边来判断直角三角形它的理论依据就是判定直角三角形的条件（即勾股定理的逆定理）．
例如：①△ABC的三条边分别为，而，根据勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形，但这里要注意的是b所对的角．
②在△ABC三条边的比为，△ABC是直角三角形．
7．建立本章的知识结构图．
学生：（小组内展示自己总结的知识框图，相互交流完善知识框图；每个小组选取一名代表，展示本组的知识框图．）
三边的关系 --勾股定理→历史、应用
直角三角形
直角三角形的判别→应用
三、自主探究
探究一：利用勾股定理求边长
已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长的平方．
解：（1）当两直角边为3和4时，第三边长的平方为25；
（2）当斜边为4，一直角边为3时，第三边长的平方为7．
探究二：利用勾股定理求图形面积：
1．求出下列各图中阴影部分的面积．
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
图（1）阴影部分的面积为＿＿＿＿；（答案：1）
图（2）阴影部分的面积为＿＿＿＿；（答案：81）
图（3）阴影部分的面积为＿＿＿＿；（答案：5）
2． 已知Rt△ABC中，，若，求Rt△ABC的面积．
探究三：利用勾股定理逆定理判定△ABC的形状或求角度
1. 在△ABC中，的对边分别为，且，则（ ）.
（A）为直角 （B）为直角 （C）为直角 （D）不是直角三角形
解：，∴．故选（A）.
2．已知△ABC的三边为a，b，c，有下列各组条件，判定△ABC的形状．
（1）；
（2）．
解：（1）（2）均为直角三角形．
探究四：勾股定理及逆定理的综合应用：
B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东方向以每小时8 n mile的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15 n mile的速度前进，2小时后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34 n mile，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？
解：甲船航行的距离为BM=（n mile），
乙船航行的距离为BP=（n mile）．
∵，∴，
∴△MBP为直角三角形，∴，∴乙船是沿着南偏东方向航行的．
四、拓展提升
师：展示例1. 如图沿AE折叠矩形，点D恰好落在 BC边上的
点F处，已知AB =8cm，BC = 10cm，求EC的长.
生：合作交流：
解： ∵点F、D关于AE对称
∴ ΔAFE ≌ ΔAD E
∴ AF=AD ，EF =ED ∠AFE = ∠ ADE ∴FC =4cm
∵四边形ABCD是矩形 在 Δ CFE 中
∴BC=AD AB =CD ∠C = ∠ ADE =90° 设EC =xcm 则DE=EF=（8-x）cm
又∵AB =8cm BC =10cm ∵EF =EC +FC2
∴ AF=10cm CD =8cm ∴ （8-x）2 = x2+42
在Rt Δ ABF中 解得x=3
BF= 答：EC的长为3cm.
例2. 一个零件的形状如图，按 ( http: / / www.21cnjy.com )规定这个零件中∠A应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AB = 4,AD = 3， CD = 12 , BC=13，∠BDC=90°,这个零件符合要求吗？
师：点拨指导
生：积极思考，合作交流
变式一:
在四边形ABCD中,∠DAB=90°，AB=4，AD=3， CD=12，BC=13，求三角形ABC的面积.
变式二:
如图∠DAB=90°,AB=4,AD=3,BC=13,DC=12,求此图的面积.
五、课堂检测
1．分别以下列四组数为一个三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的边长：（1）6、8、10；（2）5、12、13；（3）8、15、17；（4）4、5、6其中能构成的直角三角形的有（）。
A．4组 B．3组 C．2组 D．l组
2．在△ABC中，∠C＝90°，若c＝10，a∶b＝3∶4，则ab＝ ．
3．等腰△ABC的面积为12cm2，底上的高AD＝3cm，则它的周长为＿＿＿．
4．国旗杆的绳子垂到地面时，还多了1m，拉着绳子下端离开旗杆5m时，绳子被拉直且下端刚好接触地面，试求旗杆的高．
六、收获园地
内容：师生相互交流：
1.本章知识要点及在学习中用到了哪些数学思想方法？
2．你在学习过程中是否积极参与？是否与同伴进行了有效的合作交流？
教师总结并展示：
勾股定理很重要，数形结合解法妙，
面积助解不可少，隐含条件要想到，
不见直角三角形，自己动手来构造．
七、布置作业
课本复习题第1，2，4，11，12，13题
目的：
进一不体会巩固勾股定理及逆定理，及其在解决问题时的用法和注意事项
_
(
3
)
2
1
A
C
D
B
A
C
D
B
A
C
D
B
