2023-2024学年重庆市乌江新高考协作体高二（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年重庆市乌江新高考协作体高二（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线过、两点，则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
2.抛物线的焦点到准线的距离为( )
A. B. C. D.
3.已知点为抛物线：上一点，为抛物线的焦点，则( )
A. B. C. D.
4.已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点，则( )
A. B. C. D.
5.已知，是抛物线上两点，当线段的中点到轴的距离为时，的最大值为( )
A. B. C. D.
6.两圆的半径分别是方程的两个根，圆心距为，则两圆的位置关系是( )
A. 相交 B. 外离 C. 内含 D. 外切
7.在棱长为的正方体中，已知为线段的中点，点和点分别满足，，其中，，则下列说法不正确的是( )
A. 当时，三棱锥的体积为定值
B. 当时，四棱锥的外接球的表面积是
C. 的最小值为
D. 存在唯一的实数对，使得平面
8.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，若离心率，则椭圆的离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列方程能够表示圆的是( )
A. B.
C. D.
10.下列结论正确的是( )
A. 平面内与两个定点，的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．
B. 椭圆的离心率越大，椭圆就越圆．
C. 方程表示的曲线是椭圆．
D. 与的焦距相同．
11.在棱长为的正方体中，点为正方体表面上的一动点，则下列说法中正确的有( )
A. 当为棱的中点时，则四棱锥的外接球的表面积为
B. 使直线与平面所成的角为的点的轨迹长度为
C. 若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是
D. 点是线段的中点，当点在平面内，且时，点的轨迹为一个圆
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆方程为，则圆的半径为______．
13.已知椭圆的一个焦点为，若椭圆上存在点，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段相切于线段的中点，则该椭圆的离心率为______．
14.如图，已知椭圆，其焦距为，过椭圆长轴上一动点作直线交椭圆于、，直线、交于点，已知，则椭圆的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某游乐园中有一座摩天轮如图所示，摩天轮所在的平面与地面垂直，摩天轮为东西走向地面上有一条北偏东为的笔直公路，其中摩天轮近似为一个圆，其半径为，圆心到地面的距离为，其最高点为点正下方的地面点与公路的距离为甲在摩天轮上，乙在公路上为了计算方便，甲乙两人的身高、摩天轮的座舱高度和公路宽度忽略不计
如图所示，甲位于摩天轮的点处时，从甲看乙的最大俯角的正切值等于多少？
当甲随着摩天轮转动时，从乙看甲的最大仰角的正切值等于多少？
16.本小题分
直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点其中点在轴上方．
若，求直线的倾斜角；
若原点到直线的距离为，求以线段为直径的圆的方程．
17.本小题分
在图所示的平面多边形中，四边形为菱形，，，与均为等边三角形分别将，，，沿着，，，翻折，使得，，，四点恰好重合于点，得到四棱锥，．
若，证明：．
若，二面角的余弦值为，求的值．
18.本小题分
法国数学家加斯帕尔蒙日是世纪著名的几何学家，他创立了画法几何学，推动了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础，根据他的研究成果，我们定义：给定椭圆：，则称圆心在原点，半径是的圆为“椭圆的伴随圆”，已知椭圆的一个焦点为，其短轴的一个端点到焦点的距离为．
若点为椭圆的“伴随圆”与轴正半轴的交点，，是椭圆的两相异点，且轴，求的取值范围．
在椭圆的“伴随圆”上任取一点，过点作直线，，使得，与椭圆都只有一个交点，试判断，是否垂直？并说明理由．
19.本小题分
唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登上望烽火，黄昏饮马傍交河，”诗中隐含着一个有趣的“将军饮马”问题，这是一个数学问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使得总路程最短？在平面直角坐标系中，将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即为回到军营．
Ⅰ若军营所在区域为：，求“将军饮马”的最短总路程；
Ⅱ若军营所在区域为为：，求“将军饮马”的最短总路程．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为、，
所以直线的斜率．
故选：．
由直线过的两点的坐标，可得直线的斜率．
本题考查过两点的直线的斜率的求法，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：抛物线可化为，
因为，所以，
所以抛物线的焦点到准线的距离为．
故选：．
把抛物线化为标准形式，求出的值，即可得出抛物线的焦点到准线的距离．
本题考查了抛物线的标准方程应用问题，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：将代入，得，
所以抛物线：，焦点，准线方程为，
由抛物线的定义知．
故选：．
利用点在抛物线上及抛物线的定义即可求解．
本题考查抛物线方程的求法，抛物线的简单性质的应用，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：双曲线的焦点坐标，
抛物线的准线过双曲线的一个焦点，
所以，可得．
故选：．
求出双曲线的焦点坐标，然后利用抛物线的定义，求解即可．
本题考查抛物线的简单性质的应用，双曲线的焦点坐标的求法，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：是抛物线的焦点
，准线方程，
设，，
线段的中点到轴的距离为，
，当且仅当经过抛物线的焦点时取等号，
此时，
．
故选：．
根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，结合线段的中点到轴的距离为，求出，即可求解的最大值．
本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，弦长的求法，抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：两圆的半径分别为方程的两根，
两圆的半径之和，半径之积为，
故两个半径分别为和，
半径的差，
两圆的位置关系是内含．
故选：．
根据两圆位置关系与圆心距，两圆半径，的数量关系间的联系即可求解．
本题主要考查两圆的位置关系，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：对于，当时，为中点，又为的中点，，
平面，平面，平面，
当点在线段上移动时，其到平面的距离不变，
三棱锥的体积为定值，故A正确；
对于，当时，取，交点，则四棱锥为正四棱锥，
平面，
设四棱锥的外接球的球心为，半径为，则在直线上，
，，，，
解得，四棱锥的外接球的表面积为，故B正确；
对于，将问题转化为在平面内求解的最小值，
作关于线段的对称点，过作，交，于，，如图，
，当且仅当与重合时取等号，
，
，
，
，
的最小值为，故C错误；
对于，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
，，，
平面，，，
，
解得舍或，
存在唯一的实数对，使得平面，故D正确．
故选：．
由线面平行的判定可知平面，知三棱锥底面积和高均为定值，故A正确；根据正棱锥外接球的球法，可构造关于外接球半径的方程，求得后知B正确；将中问题转化为在平面内求解的最小值，作关于线段的对称点，将问题转化为长度的求解，根据角度和长度关系可确定C正确；以为坐标原点建立空间直角坐标系，假设线面垂直可构造方程组求得，，可知D正确．
本题考查三棱锥的体积、四棱锥外接球、线面平行、线面垂直的判定与性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
8.【答案】
【解析】解：因为，所以，
由椭圆的定义得：，解得，
因为，所以，
两边同除以得，解得 ，
因为 ，所以，
所以该离心率的取值范围是．
故选：．
由题意可知，结合椭圆的定义解得，再由求解．
本题主要考查椭圆的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆的方程的判断，是基础题．
利用圆的标准方程与一般方程判断即可．
【解答】
解：是圆的标准方程，所以A正确；
不是圆的方程，是双曲线方程，所以不正确；
化为，是圆的方程，所以C正确；
，不满足圆的一般方程，所以不正确；
故选：．
10.【答案】
【解析】解：平面内与两个定点，的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆，错误，当距离和等于或小于两定点距离时，不是椭圆；
椭圆的离心率，离心率越大，与的悬殊越大，椭圆就越扁，故B错误；
方程可化为，表示的曲线是椭圆，故C正确；
椭圆与的焦距都是，焦距相同，故D正确．
故选：．
由椭圆的定义判断；由椭圆离心率与椭圆的关系判断；由椭圆的标准方程判断；求出两椭圆的焦距判定．
本题考查椭圆的几何性质，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于：设球心到正方形的中心的距离为，外接球的半径为，
由根据题意可得，
解得，，所以四棱锥的外接球的表面积为，故A正确；
对于，直线与平面所成角为，
若点在平面和平面内，，最大，不成立；
在平面内，点的轨迹是，
在平面内，点的轨迹是，
在平面时，作平面，如图，
作平面，，，
，，，
点的轨迹是以为圆心，以为半径的四分之一圆，
点的轨迹长度为，
点的轨迹总长度为，故B正确；
对于，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设，，，，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
平面，，，
，
当时，等号成立，故C错误；
对于，易证平面，记与平面交于点，
可得，，设，
则，，，
，显然在上为增函数，
由，为定值，故可得的轨迹是以为圆心的一个圆，故D正确．
故选：．
设球心到正方形的中心的距离为，外接球的半径为，根据题意可得，求解可判断；根据直线与平面所成的角为，结合正方体的特征判断；建立空间直角坐标系，求出的坐标，计算判断；由已知可得平面，可得结论判断．
本题考查命题真假的判断，考查点的轨迹问题，空间向量等基础知识，考查运算求解能力，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：圆的标准方程为，
所以圆的半径．
故答案为：．
由圆的一般方程可得它的标准方程，进而求出圆的半径．
本题考查圆的半径的求法，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：如图所示，
设椭圆的左焦点为，
以椭圆短轴为直径的圆与线段相切于线段的中点，
切点为的中点，，
．
设，，
则，，．
．
，又，
化为．
该椭圆的离心率．
故答案为：．
如图所示，设椭圆的左焦点为，由于以椭圆短轴为直径的圆与线段相切于线段的中点，切点为的中点，可得，设，，可得，，又，可得该椭圆的离心率．
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、圆的切线的性质、三角形的中位线定理、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
14.【答案】
【解析】解：对于椭圆上任一点，，
则，可得，
可知，，
所以，
由题意可知：直线的斜率不为，但可以不存在，
设：，，，
联立方程，消去得，
则，
可得
，
可知直线：，直线，
联立方程，消去可得，
则，整理得，即，
又因为焦距为，可得，
所以椭圆离心率为．
故答案为：．
根据椭圆方程可证：对于椭圆上任一点，，均有，设：，，，联立方程利用韦达定理可证，进而根据直线的交点整理可得，即可求离心率．
本题考查椭圆的离心率的求法，直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
15.【答案】解：如图所示，设公路所在直线为，过点作的垂线，垂直为，．
因为圆的半径为，圆心到地面的距离为，所以．
从甲看乙的最大俯角与相等，由题意得，，
则；
如图所示，设甲位于圆上的点处，直线垂直于，
且交圆于点，射线可以看成是射线绕着点按逆时针方向旋转角度得到．
过点正下方的地面点向作垂线，垂足为．
当取得最大值时，即为从乙看甲的最大仰角．
由题意得：，
其中，表示点和点构成的直线的斜率．
当直线的斜率取得最小值时，取最大值．
因为点在单位圆上，
所以当直线与单位圆相切时，斜率取得最大值或最小值．
设过点的直线方程为：即，解得，
则直线的斜率最小值为，代入可得取最大值是．
【解析】作辅助线，再解直角三角形即可；
由题得当取得最大值时，即为从乙看甲的最大仰角，再结合平面几何相关知识求的最大值即可．
本题考查解三角形的实际应用问题，属于中档题．
16.【答案】解：设，则，所以，
又因为，所以，
所以，
所以直线的倾斜角为；
设直线的方程为，，，的中点为，
联立方程，消去得：，则，
所以，，
所以，，
所以圆心，半径，
因为原点到直线的距离为，所以，所以，
当时，圆心为，半径，以线段为直径的圆的方程为，
当时，圆心为，半径，以线段为直径的圆的方程为，
所以以线段为直径的圆的方程为或．
【解析】由抛物线性质结合已知条件即可求解；
设出直线的方程，联立直线和抛物线的方程，然后利用设而不求求出圆心和半径，结合原点到直线的距离为，从而求出的值即可．
本题考查了抛物线的性质和直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
17.【答案】解：证明：，为的中点，
由题可知，，，，
又，平面，
取，则，
平面，，．
解：连接，由题意得平面，
过点作，垂足为，则平面，
以为坐标原点，，所在直线分别为轴、轴，建立空间直角坐标系，如图，
由，得，从而，
则，
则，
，．
设平面的法向量为，
则，令，得．
平面的一个法向量为，
二面角的余弦值为，
，解得．
【解析】推导出为的中点，，，从而平面，推导出，由平面，得，由此能证明．
连接，过点作，垂足为，则平面，以为坐标原点，，所在直线分别为轴、轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．
本题考查线面垂直的判定与性质、二面角的余弦值等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
18.【答案】解：由椭圆的焦点的坐标，可得，再由短轴的一个端点到焦点的距离为，可得，
所以，
可得椭圆的方程为：；
所以，
由题意可得椭圆的“伴随圆”的方程为，可得，
设，则，因为在椭圆上，，
所以，
可得，
因为，
所以时，最小，且最小值为，
当，最大，且最大值为，
所以；
设上点，则，
当，时，则直线，若由有一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率为时，显然得，
当直线得，斜率存在且不为时，当时，设与椭圆只有一个交点的直线的斜率为，
则直线的方程为，代入椭圆的方程，，
，
整理可得：，，
设直线，的斜率分别为，，
可得，
所以直线，垂直．
【解析】由椭圆的焦点坐标，可得的值，再由题意可得的值，进而求出的值，求出椭圆的方程及“伴随圆”的方程，由题意可知的坐标，设的坐标，由题意可知的坐标，进而求出的表达式，再由点的横坐标的范围，求出的取值范围；
由题意设的坐标，代入“伴随圆”的方程，可知的横纵坐标的关系，分直线，的斜率存在和不存在两种情况讨论，设直线的方程，与椭圆的方程联立，由判别式等于，可得参数的关系，求出直线，的斜率之积的代数式，将的坐标代入整理，可得两条直线的斜率之积为，即可证得两条直线互相存在．
本题考查求椭圆的方程及“伴随圆”的方程的求法，直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
19.【答案】解：Ⅰ 若军营所在区域为：，
圆：的圆心为原点，半径为，作图如下：
设将军饮马点为，到达营区点为，为关于直线的对称点，
因为，所以，则总路程，
要使得路程最短，只需要最短，即点到军营的距离最短，
即点到的最短距离，且为；
Ⅱ若军营所在区域为：，
对于，在，时为，令，得，令，则，
图象为连接点和的线段，根据对称性得到的图象如图所示的菱形，：为这个菱形的内部包括边界，
作图如下：
由图可知，最短路径为连接点和的连线，交直线于点，饮马最佳点为，
所以点到区域最短距离，
即“将军饮马”最短总路程为．
【解析】Ⅰ设关于直线对称的点的坐标，则到圆心的距离减去半径即为将军饮马”的最短总路程；即最短距离为，求出即可；
Ⅱ由题意如图所示：最短路径为连接点和的连线，由题意求出即可．
本题考查点关于直线的对称点的求法，线段和的最小值的求法，属于中档题．
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