2023-2024学年重庆市第十八中八年级（下）入学数学试卷（含解析）

2023-2024学年重庆十八中八年级（下）入学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标( )
A. B. C. D.
2.每到傍晚祥和广场都会有很多小朋友拿着泡泡机吹泡泡玩，其泡泡的厚度大约为毫米，这个数字用科学记数法表示为( )
A. 毫米 B. 毫米
C. 毫米 D. 毫米
3.若分式的值为零，则的值为( )
A. B. C. D. 不存在
4.下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
5.某多边形的内角和是其外角和的倍，则此多边形的边数是( )
A. B. C. D.
6.已知、满足等式，，则，的大小关系是( )
A. B. C. D.
7.为创建“绿意蓬勃校园”，学校购买了一批树苗，已知购买银杏树树苗花费元，购买枫树树苗花费元，其中枫树树苗平均每棵的价格是银杏树树苗平均每棵价格的，且购买银杏树树苗的数量比购买枫树树苗的数量少棵，求买了多少棵银杏树树苗？若设买了棵银杏树树苗，则可列方程为( )
A. B.
C. D.
8.若关于的分式方程的解为正整数，且关于的不等式组至多有五个整数解，则符合条件的所有整数的取值之和为( )
A. B. C. D.
9.如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，：：，则长为( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，已知和都是等腰三角形，，，交于点，连接，下列结论：；；平分；，其中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.计算： ______．
12.若等腰三角形的一个角为，则其顶角的度数为______．
13.若代数式有意义，则的取值范围为______．
14.若是一个完全平方式，则的值是______．
15.已知，则______．
16.在如图所示的网格中，、、都在格点上，连结、，则 ______
17.如图，在中，，，，是的平分线，若、分别是和上的动点，则的最小值是______．
18.如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为，满足，则称该四位数为“和百数”例如：四位数，，是“和百数”；又如四位数，，不是“和百数”若一个“和百数”为，则这个数为______；若一个“和百数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被整除，则满足条件的数的最大值是______．
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
计算：
；
20.本小题分
化简：；
解方程：．
21.本小题分
尺规作图并完成证明：如图，点是上一点，，，．
尺规作图：作的平分线，交于点；
证明：．
证明： ______，
，
______．
在和中，
，
≌．
______．
又是的角平分线，
______
22.本小题分
沙坪坝区中小学丰富多彩的校本课程正如火如荼开展某校开设了“人工智能，剪纸扎染，诗意人生，影视配音”四种传统热门课程，每个学生必须且只能选择一门课程现随机选取部分学生进行调查，并根据统计数据绘制了如下两幅尚不完整的统计图请你根据图中信息解答下列问题：
本次抽取的学生总人数是______人， ______；
补全条形统计图；
求出扇形统计图中圆心角的度数．
23.本小题分
如图是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形如图
观察图请你写出，，之间的等量关系是______；
根据中的结论，若，，求的值；
拓展应用：若，求的值．
24.本小题分
为迎接“六一”儿童节，某儿童品牌玩具专卖店购进了、两种玩具，其中类玩具的进价比玩具的进价每个多元，经调查：用元购进类玩具的数量与用元购进类玩具的数量相同
求、两类玩具的进价分别是每个多少元？
该玩具店共购进了、两类玩具共个，若玩具店将每个类玩具定价为元出售，每个类玩具定价元出售，且全部售出后所获得利润不少于元，则商店至少购进类玩具多少个？
25.本小题分
在中，，，过点作直线，点在直线上，连接、，且，过点作交于点．
如图，请问和有怎样的数量关系，并证明；
如图，直线交直线于点，求证：；
已知，在直线绕点旋转的过程中，当时，请直接写出的长度．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：点关于轴的对称点坐标为．
故选：．
根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．
本题考查了关于轴、轴对称点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
2.【答案】
【解析】解：．
故选：．
用科学记数法表示较小的数，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂．
本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
3.【答案】
【解析】解：由分式的值为零，得
且．
解得，
故选：．
分式的值为的条件是：分子为；分母不为两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
4.【答案】
【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，正确，故D符合题意．
故选：．
由同底数幂的乘法、除法，积的乘方，单项式乘单项式，合并同类项的运算法则，即可判断．
本题考查同底数幂的乘法、除法，积的乘方，单项式乘单项式，合并同类项，掌握以上知识点是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：设多边形的边数为，根据题意，得
，
解得．
则这个多边形的边数是．
故选：．
根据，解方程就可以求出多边形的边数．
本题考查了多边形的内角与外角，解题的关键是利用多边形的内角和公式并熟悉多边形的外角和为．
6.【答案】
【解析】解：，
，
．
故选：．
利用作差法判断即可．
此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
7.【答案】
【解析】解：设买了棵银杏树树苗，则购买棵枫树树苗，
根据题意得．
故选：．
设买了棵银杏树树苗，则购买棵枫树树苗，根据“枫树树苗平均每棵的价格是银杏树树苗平均每棵价格的”即可列出方程．
本题主要考查了分式方程的应用，准确找出等量关系是解决问题的关键．
8.【答案】
【解析】解：化简不等式组为，
解得：，
不等式组至多有五个整数解，
，
，
将分式方程的两边同时乘以，得
，
解得：，
分式方程的解为正整数，
是的倍数，
，
或或，
，
，
，
或，
符合条件的所有整数的取值之和为，
故选：．
分别求出分式方程与一元一次不等式组的解，再由已知得到，是的倍数，由分式方程增根的情况可得到，结合所求的解情况即可求出满足条件的．
本题考查分式方程的解、一元一次不等式组的解；熟练掌握分式方程的解法、一元一次不等式组的解法，对分式方程切勿遗漏增根的情况是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：如图，在上截取，连接，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
周长为，
，
，
：：，
，
故选：．
由“”可证≌，可得，由“”可证≌，可得，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：如图，过作于点，于点，
，
，
在和中，
，
≌，
，，故正确；
，
，
，
，
，
，故正确；
≌，
，，
，，
，
平分，
，
，
，故正确；
没有足够的条件证明，
不一定平分，故不正确；
故选：．
过作于点，于点，证明≌，利用全等三角形的性质一一判断即可．
本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．
11.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：．
直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
12.【答案】或
【解析】解：当角为顶角，顶角度数即为；
当为底角时，顶角．
故答案为：或．
等腰三角形一个角为，没说明是顶角还是底角，所以有两种情况．
本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，属于基础题，若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
13.【答案】
【解析】解：由题意可知：，
，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件即可求出答案．
本题考查二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，本题属于基础题型．
14.【答案】
【解析】解：，
这两个数是、，
，
即．
故答案为：．
先根据乘积二倍项确定出这两个数是和，再根据完全平方公式：，求出的值即可．
本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的倍，就构成了一个完全平方式．此题解题的关键是利用乘积项来确定这两个数．
15.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
故答案为：．
根据已知可得，从而得，然后先求出的值即可解答．
本题考查了分式的值，把已知的式子变成它的倒数的形式是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：如图，作交于点，在图中小正方形的顶点取点，连接，，过作交于点，
由勾股定理得，，，，
则，
为等腰直角三角形，
，
又，
，
，，，
≌，
，
．
故答案为：．
作关于竖直边的对称线段，连接，根据勾股定理分别求出、、，根据勾股定理的逆定理得到为等腰直角三角形，再由全等三角形的判定和性质得出，结合图形计算即可．
本题考查的勾股定理的逆定理，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：过点作于点，过点作于点，交于点，连接，此时取最小值，如图所示
在中，，，，
，
是的平分线，
，
在和中，
，
≌，
．
，，
，
即，
，
故答案为：．
过点作于点，过点作于点，交于点，连接，此时取最小值，根据勾股定理可求出的长度，再根据、即可得出，进而可得出比例，代入数据即可得出的长度，此题得解．
本题考查了勾股定理、轴对称中的最短路线问题以及平行线的性质，找出点、的位置是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：是“和百数”，
，解得，
这个数为；
是“和百数”，
，
，
一个“和百数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被整除，
是整数，
各数位上的数字均不为，
，
，
当，时，不符合题意，舍去，
当，时，，即，
，，
此为满足条件时最大值，
满足条件的数为，
故答案为：；．
根据新定义“和百数”，，解得，则这个数为；根据题意可得，则，继而得到是整数，求，时，，即，，即可得到满足条件的数．
本题考查了新定义背景下整式的运算，理解题意是解题的关键．
19.【答案】解：原式
；
原式
．
【解析】先根据平方差公式和单项式乘多项式进行计算，再合并同类项即可；
先根据二次根式的乘法法则进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可．
本题考查了整数的混合运算和二次根式的混合运算，能正确根据整式的运算法则和二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
20.【答案】解：简：
；
，
，
，
，
，
，
检验：把代入方程，左边，左边右边，且分母不为，
是原方程的解．
【解析】通分后相减即可；
去分母后计算即可．
本题考查了分式的计算及分式方程计算，掌握通分约分及去分母是解题关键．
21.【答案】 等腰三角形三线合一
【解析】解：作图如下，
证明：，
，
．
在和中，
，
≌．
．
又是的角平分线，
等腰三角形三线合一．
故答案为：，，，，等腰三角形三线合一．
以任意长度为半径，点为圆心画圆弧，交两边于两点，分别以这两个点为圆心，大于两点之间距离的一半为半径画圆弧，交于一点，连接和该点，延长线交交于点，即为所求；
根据平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质可得答案．
本题考查尺规作图、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质；熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
22.【答案】
【解析】解：本次抽样调查的样本容量是人，
故答案为：；
，
，
故答案为：．
根据题意，得人，补图如下：
根据题意，得．
利用项目的人数除以其所占的百分比即可得到结论，用项目人数除以样本容量计算即可．
根据，补全统计图即可．
利用扇形的知识计算求解可得到结论．
此题考查了扇形统计图，条形统计图，读懂统计图，从不同的统计表和统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
23.【答案】
【解析】解：由图可知：大正方形的面积为，或，
；
根据中的结论，可得：
，
把，代入，
，
或；
设，，，，
，
，
，
，，
．
故的值为．
从整体和个体两方面分析大正方形的面积解答；
代入中结论计算即可；
设，，解得 ，，再结合中结论解答．
本题考查完全平方公式的几何背景，理解图形中各部分面积之间的关系是解题关键．
24.【答案】解：设类玩具的进价为元，则类玩具的进价是元
由题意得，
解得，
经检验是原方程的解．
所以元
答：类玩具的进价是元，类玩具的进价是元；
设购进类玩具个，则购进类玩具个，
由题意得：，
解得．
答：至少购进类玩具个．
【解析】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用．解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的数量关系．准确的解分式方程或不等式是需要掌握的基本计算能力．
设的进价为元，则的进价是元；根据用元购进类玩具的数量与用元购进类玩具的数量相同这个等量关系列出方程即可；
设购进类玩具个，则购进类玩具个，结合“玩具店将每个类玩具定价为元出售，每个类玩具定价元出售，且全部售出后所获得利润不少于元”列出不等式并解答．
25.【答案】解：；理由如下：
，，
，
，
；
证明：如图，在直线上取点，连接，使，
，即，
，
，
，
，
，，，
≌，
，，，
由勾股定理得，，
，
；
解：的长为或理由如下：
由题意知，分两种情况求解；
如图，
，，
，
，，
，
，，
，
，
，
由勾股定理得；
如图，
同理可得，，
，，
，，
，，
，
由勾股定理得，
，
，
，
由勾股定理得；
综上所述，的长为或．
【解析】由等腰三角形的判定与性质可证；
如图，在直线上取点，连接，使，则，证明≌，则，，，由勾股定理得，，由，可得；
由题意知，分两种情况求解；如图，则，，，，，，由，可得，由勾股定理求即可；如图，同理计算求解即可．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，含的直角三角形等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，含的直角三角形是解题的关键．
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