2023-2024学年重庆市万州中学高一（下）入学数学试卷（含解析）

2023-2024学年重庆市万州中学高一（下）入学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.( )
A. B. C. D.
4.函数在上存在零点，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5.“”是“函数在区间上单调递增”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知函数，将函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，则的值可以是( )
A. B. C. D.
7.设函数，则( )
A. 是偶函数，且在单调递增 B. 是奇函数，且在单调递减
C. 是偶函数，且在单调递增 D. 是奇函数，且在单调递减
8.已知函数的图像与直线有个不同的交点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则( )
A. B.
C. D.
10.已知正数，满足，则下列选项正确的是( )
A. 的最小值是 B. 的最大值是
C. 的最小值是 D. 的最大值是
11.已知函数的最小正周期为，则( )
A. 的图像关于直线对称 B. 在上单调递增
C. 在内有个零点 D. 在上的值域为
12.定义在上的函数，对任意的，，都有，且函数为偶函数，则下列说法正确的是( )
A. 关于直线对称
B. 在上单调递增
C.
D. 若，则的解集为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数，若，则实数 ______．
14.已知函数且的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中实数，满足，则的最小值为 ．
15.已知函数的图象与轴的交点为，且在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围是______．
16.已知函数的部分图象如图所示，则满足条件的最小正整数为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
求值：已知
化简
若是第二象限角，且，求的值．
18.本小题分
已知，，，．
求的值；
求的值．
19.本小题分
已知函数，满足．
Ⅰ求的解析式；
Ⅱ将的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍纵坐标不变，再将得到的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域．
20.本小题分
如图为某市拟建的一块运动场地的平面图，其中有一条运动赛道由三部分构成：赛道的前一部分为曲线段，该曲线段为函数在的图象，且图象的最高点为；赛道的中间部分为长度是的水平跑道；赛道的后一部分是以为圆心的一段圆弧．
求，和的值；
若要在圆弧赛道所对应的扇形区域内建一个矩形草坪，如图所示记，求矩形草坪面积的最大值及此时的值．
21.本小题分
已知函数对于任意实数，，恒有，且当时，，．
求在区间上的最大值和最小值；
若在区间上不存在实数，满足，求实数的取值范围．
22.本小题分
已知函数，若对于其定义域中任意给定的实数，都有，就称函数满足性质．
已知，判断是否满足性质，并说明理由；
若满足性质，且定义域为．
已知时，，求函数的解析式并指出方程是否有正整数解？请说明理由；
若在上单调递增，判定并证明在上的单调性．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意可得或，
则．
故选：．
先求出的补集，然后结合集合交集运算可求．
本题主要考查了集合补集及交集运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：根据题意，命题“，”为存在量词命题，
其否定是“，”．
故选：．
根据题意，由于存在量词命题的否定是全称量词命题，分析可得答案．
本题考查命题的否定，注意存在量词命题和全称量词命题的关系，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：原式．
故选：．
可得出：原式，然后根据两角差的余弦公式即可求出答案．
本题考查了三角函数的诱导公式，两角差的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：根据条件可知，
解得或，
故选：．
根据函数零点判定定理可得，解出不等式即可
本题考查函数零点判定定理，考查不等式的解法，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由题知，且，设，
则函数开口向上且对称轴为，
所以在上单调递增，为增函数，
所以．
要使在上单调递增，则，即，
所以，要使对恒成立，
所以，
所以．
综上，．
所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件，
故选：．
根据复合函数的单调性之间的关系由对数函数初步确定的范围，再结合基本不等式和充分必要条件判断．
本题以充分必要条件的判断为载体，主要考查了复合函数单调性的应用，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：函数，将函数的图象向右平移个单位后得到，
所以，
整理得，
当时，．
故选：．
直接利用三角函数关系式的平移变换和诱导公式的应用求出等量关系式，进一步求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，三角函数的诱导公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性与单调性的综合，考查复合函数单调性的求法，是中档题．
求出的取值范围，由定义判断为奇函数，利用对数的运算性质变形，再判断内层函数的单调性，由复合函数的单调性得答案．
【解答】
解：由，得．
又
，
为奇函数；
由
，
．
可得内层函数的图象如图，
在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．
又对数函数是定义域内的增函数，
由复合函数的单调性可得，在上单调递减．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：如图，作函数的大致图像实线，
平移直线，由可得，，
，
故当时，直线与曲线相切；
当时，直线经过点，且与曲线有个不同的交点；
当时，直线经过点，且与的图像有个不同的交点．
由图分析可知，当时，的图像与直线有个不同的交点．
故选：．
作函数的大致图像实线，平移直线，数形结合得出实数的取值范围．
本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想与分类讨论思想的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，
则，
故，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
，故D正确．
故选：．
由已知利用任意角的三角函数的定义可求的值，进而利用诱导公式，二倍角公式，同角三角函数基本关系式即可求解．
本题考查了任意角的三角函数的定义，诱导公式，二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于：，，，
则，当且仅当，即时，等号成立，故A正确；
对于：，，，，当且仅当时等号成立，
，即，故的最大值为，故B正确；
对于：，，，即，，
，
当时，的最小值为，故C错误；
对于：，，，即 ，，
，
当时，的最大值为，故D正确．
故选：．
利用基本不等式和二次函数的图象与性质，逐一分析选项，即可得出答案．
本题考查基本不等式的应用和二次函数的图象与性质，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：，
因为的最小正周期为，
所以，
故，
对于，令，
则函数对称轴方程为，
当时，，故A正确；
对于，令，解得，，
则函数单调递增区间为，
所以在上单调递增，又，故B错误；
对于，令，得，得，
若，则可取，，，即此时函数有个零点，故C错误；
对于，由，得，，
所以，故D正确．
故选：．
利用倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，再利用正弦型函数的性质解决选项中的相关问题．
本题主要考查三角函数的周期性，考查转化能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：因为对任意的，，都有，
所以函数在上单调递增，又因为函数为偶函数，
所以函数关于直线对称，所以函数关于直线对称，A正确；
根据函数在上单调递增，且关于直线对称，
可得函数在上单调递减，B错误；
因为函数在上单调递减，
所以，且，所以，C正确；
由可得，，则结合函数的单调性和对称性可得，
时，，时，，时，，
所以由，可得或，
解得或，D正确．
故选：．
先根据单调性的定义判断函数单调性，再结合对称性得出单调性，从而判断，，选项，结合函数值及不等式解法判断选项．
本题主要考查抽象函数及其应用，考查运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为，
所以，即为奇函数，
因为在上单调递增，
若，则，
所以，即．
故答案为：．
先判断函数的单调性及奇偶性，结合单调性及奇偶性即可求解．
本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在函数求值中的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了指数型函数过定点问题，考查了基本不等式的应用，是中档题．
先令，求出点的坐标，代入一次函数得，由题意可知，，所以，再利用基本不等式即可求出结果．
【解答】
解：函数，
令，得：，此时，
所以函数的图象恒过定点，
又点在一次函数的图象上，
，即，
又实数，满足，
，，
，
当且仅当即时，等号成立，
即，时，取得最小值，
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：依题意得，，
得，
因为，
所以，
则，
因为，
所以，
要使函数在区间上有且仅有一个零点，
则，
解得，
则的取值范围是．
故答案为：．
由，求出，再结合余弦型函数的零点个数进行列不等式即可．
本题考查了余弦函数的图象和性质的应用，考查了函数思想，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：由图知，最小正周期，
所以，
将点代入，有，
所以，，即，，
取，则，所以，
所以，，
所以不等式可化为，
所以或，
即或，
所以，或，，
解得，或，，
取，因为，所以有或，
所以最小正整数为．
故答案为：．
结合函数图象及，的几何意义，求得其值，从而知的解析式，原不等式可化为，即或，再结合余弦函数的图象与性质，解之即可．
本题考查三角函数的图象与性质，理解和的含义，熟练掌握余弦函数的图象与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：化简，得；
，
，是第三象限角，．
．
【解析】利用诱导公式化简函数的解析式即可．
然后正弦函数值，然后利用同角三角函数基本关系式求解即可．
本题考查三角函数化简求值，同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力．
18.【答案】解：因为，
所以，
又，
所以，；
因为，
所以，
所以，
又，
所以，
又，
所以．
【解析】由已知结合同角基本关系即可求解；
由已知先利用同角基本关系求出，再由已知结合两角差的正切公式可求，进而可求．
本题主要考查了和差角公式，同角基本关系在三角化简求值中的应用，属于中档题．
19.【答案】解：Ⅰ函数，
即
由于满足，故--，
故有，，，
Ⅱ将的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍纵坐标不变，可得的图象；
将得到的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．
在上，，，
故在上的值域为
【解析】Ⅰ由题意，利用三角恒等变换，化简函数的解析式．
Ⅱ由题意，利用函数的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，得出结论．
本题主要考查三角恒等变换，函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
20.【答案】解：由题意可得，
则，故，
将点代入，得，
所以，又，所以，
从而可得曲线段的解析式为．
令，可得，所以，
所以，则，
，
由，可知，
又易知当矩形草坪的面积最大时，点在弧上，故，
由，
则，，
所以矩形草坪的面积为
，
又，所以，
故当，即时，，
矩形草坪面积取得最大值．
【解析】根据三角形函数的图像性质求值；
由题意，表示出，，，从而得到矩形草坪面积的表达式，由三角恒等变形求最值．
本题考查三角函数性质应用，属于中档题．
21.【答案】解：由题可知函数的定义域为，令，得，解得，
令，得，所以，所以为奇函数，
任取，，且，则，
因为当时，，所以，即，
因为为奇函数，所以，则，即，
所以在上单调递增，
所以在上的最大值为，最小值为，
因为，令，得，
因为为奇函数，所以，
所以在上的最大值为，最小值为．
由知为奇函数，所以，
由得，即，
又在上单调递增，所以，即，
因为不存在，使得，所以，，
因为抛物线开口向上，所以，解得，
所以的取值范围是．
【解析】通过赋值法证明函数为奇函数且单调递增，可求函数在区间上的最大值和最小值；
利用中的结论，不等式等价于，在区间上无解，即在区间上恒成立，利用二次函数性质求解．
本题主要考查抽象函数及其应用，考查函数最值的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：因为不恒成立，
所以不满足性质；
当时，，
此时，
又当时，，所以，
所以；
假设方程有正整数解，
则，
要使上式能成立，则必有，，，
所以，
明显为单调递增函数，
又当时，，
当时，，
故方程没有正整数解；
证明：任取，则，
则，
因为在上单调递增，且，
所以，
所以，
即
所以在上单调递增．
【解析】直接根据性质列式计算验证即可；
通过可求得函数的解析式，先假设方程有正整数解，然后列方程找到矛盾即可；
任取，计算判断的正负即可证明．
本题考查函数的单调性的性质以及应用，注意性质的含义，属于中档题．
第1页，共1页