2023-2024学年云南省昭通市教研联盟高一（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年云南省昭通市教研联盟高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. 或
C. D.
2.的终边在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.函数的定义域为( )
A. 或 B.
C. D. 且
4.设，则“是合数”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.不等式的解集是，则的值是( )
A. B. C. D.
6.年，安徽省广德市王氏制扇技艺被列人第五批国家级非遗代表性项目名录如图是王氏明德折扇的一款扇面，若该扇形的中心角的弧度数为，外弧长为，内弧长为，则连接外弧与内弧的两端的线段长均为( )
A.
B.
C.
D.
7.已知函数的图象在上连续，则的解集为( )
A. B. C. D.
8.已知定义在上的函数，满足，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，则下列不等式中错误的是( )
A. B. C. D.
10.若函数是定义在上的偶函数，当时，，则( )
A. B. 当时，
C. D. 的解集为
11.已知，是幂函数图像上的任意两点，则以下结论正确的是( )
A. B.
C. D.
12.对于任意两个正数，，记曲线直线，，轴围成的曲边梯形的面积为，并约定和，德国数学家莱布尼茨最早发现关于，下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.命题“，”的否定是______．
14.已知实数，，且，则的最小值是______．
15.艾宾浩斯遗忘曲线是年由艾宾浩斯提出的，其描述了人类大脑对新事物遗忘的规律，该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响设初次记忆后经过了小时，那么记忆率近似的满足某学生学习一段课文，若在学习后不复习，天后记忆率为，天后记忆率为，则该学生在学习后不复习，小时后记忆率约为______保留两位小数．
16.若集合中恰有个元素，则称函数是“阶准偶函数”已知函数是“阶准偶函数”，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算；
已知，求的值．
18.本小题分
已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，求的值；
若，求值
19.本小题分
已知一次函数满足．
求的解析式；
若，求的值．
20.本小题分
已知定义域为的函数是奇函数．
求，的值．
判断的单调性不必证明．
若存在，使成立，求的取值范围．
21.本小题分
中华人民共和国乡村振兴促进法中指出：全面实施乡村振兴战略，开展促进乡村产业振兴、人才振兴、文化振兴、生态振兴、组织振兴，推进城乡融合发展为深入践行习近平总书记提出“绿水青山就是金山银山”的理念，围绕“产业发展生态化，生态建设产业化”思路某乡镇为全力打造成“生态特色小镇”，调研发现：某种农作物的单株产量单位：与肥料费用单位：元满足如下关系：，其它总成本为单位：元，已知这种农作物的市场售价为每千克元，且供不应求，记该单株农作物获得的利润为单位：元．
求的函数关系式；
当投入的肥料费用为多少元时，该单株农作物获得的利润最大？最大利润是多少元？
22.本小题分
已知函数，其中为常数．
若在区间上单调递减，求实数的取值范围；
已知，若函数在上有且仅有一个零点，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，，
所以．
故选：．
求出集合，，根据交集的定义计算即可．
本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：，
的终边在第二象限，
所以的终边在第二象限．
故选：．
根据终边相同的角的定义，化简即可．
本题考查了终边相同的角的定义应用问题，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：由题知，解得或，
即函数的定义域为或．
故选：．
由题意得，解不等式可得解．
本题考查函数的定义域，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为最小的合数是，
但时，不一定是合数，
故，则“是合数”是“”的充分不必要条件．
故选：．
由已知结合合数的概念检验充分必要条件即可判断．
本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为不等式的解集是，
所以，和是方程的根，
所以，即，，
则．
故选：．
由题意得，，和是方程的根，然后结合方程的根与系数关系即可求解．
本题主要考查了二次不等式与二次方程转化关系的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由题知，内弧对应扇形的半径为，
设连接外弧与内弧的两端的线段长均为，则，所以，
连接外弧与内弧的两端的线段长均为．
故选：．
由扇形的弧长公式求解即可．
本题考查弧长公式，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由题知，，
解得，
所以，
易知单调递增，
所以，即，
令得，
令，得，
所以，
即的解集为．
故选：．
首先由分段函数的图象在上连续可得，再分类讨论解不等式即可．
本题主要考查了分段函数的单调性，考查了对数不等式的解法，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：令，则，解得；
令，则，解得，
令，则，解得，
令，，则，解得，
令，，则，解得，
观察可知，．
故选：．
先求出，的值，进而可得，，的值，观察即可得解．
本题考查抽象函数及其运用，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
所以，A错误；
由可得，，B错误；
由，可得，C正确；
由可知，，
故，D正确．
故选：．
由已知结合不等式性质检验选项A，，，举出反例检验检验选项C．
本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：是上的偶函数，
当 时，，所以，故A错误；
当时，，，故B正确；
，故C正确；
当时，由，得，
又函数的图象关于轴对称，所以的解集为，故D正确．
故选：．
由时，可得，则可判断；当时，，，再结合奇偶性可得的解析式，则可判断；结合选项的解析即可求，则可判断；当时，由，得，再由奇偶性可得的解集，则可判断．
本题主要考查了函数的奇偶性在函数求值，不等式求解中的应用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：，是幂函数图像上的任意两点，
幂函数的定义域为，
对于，，，
函数在单调递增，，
，即，故A正确；
对于，，，
函数在单调递减，，，，即，
，即，故B错误；
对于，幂函数在上单调递增，，
，，即，，故C正确；
对于，，，
由于，
则有，故D正确．
故选：．
利用幂函数的单调性判断；利用作差法判断．
本题考查函数单调性的性质以及应用，涉及不等式的性质，考查运算求解能力，是基础题．
12.【答案】
【解析】解：由题意，所以，
当时，，
当时，，
当时，，
当或时，也成立，
综上所述，；
对于：，
所以，故A正确；
对于：，
且，所以，故B正确；
对于：如图，因为曲边梯形的面积总小于对应梯形的面积，
所以，
即，故C错误；
对于：取，，则，故D错误．
故选：．
根据确定出的结果，然后分类讨论、、、或时的结果，由此确定出的解析式，再根据解析式逐项分析即可．
本题考查函数新定义，对学生分析与总结问题的能力要求较高，所以难题．
13.【答案】，
【解析】解：命题“，”的否定是：，．
故答案为：，．
存在改任意，将结论取反，即可求解．
本题主要考查命题的否定，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为实数，，且，即，
则，
当且仅当，即，时取等号．
故答案为：．
由已知利用乘法，结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：由题可 ，
所以，
故小时后的记忆率约为 ．
故答案为：．
根据已知条件确定，满足的条件，再求目标函数的值．
本题考查了函数的实际应用，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：根据题意，函数是“阶准偶函数”，
则集合中恰有个元素，
当时，函一段部分为，，
注意到函数本身具有偶函数性质，
故集合中不止有两个元素；
当时，根据“阶准偶函数”的定义得的可能取值为或，
为，，故，方程无解，
当 ，解得或，
故要使得集合中恰有个元素，
则需要满足，即，
当时，函数，的取值为，为，
根据题意得：，
解得或，满足恰有两个元素，故满足条件．
综上，实数的取值范围是．
故答案为：．
根据题意分类讨论，时，其中有部分具有偶函数性质，不符合题意；时，根据分段函数的解析式通过方程的解，确定的范围．
本题属于新概念题，考查了函数的奇偶性及分类讨论思想，属于中档题．
17.【答案】解：原式
；
因为，
所以，
所以，
所以．
【解析】根据分数指数幂的运算、对数运算，特殊角的三角函数值求解出结果；
先计算出的值，然后通过立方和公式求解出结果．
本题主要考查了指数及对数的运算性质，属于基础题．
18.【答案】解：由题意知，
；
原式，
又，
原式．
【解析】先根据三角函数定义求解出，，的值，然后利用诱导公式化简原式并求解出结果；
先根据诱导公式化简原式，然后根据齐次式的运算结合的值求解出结果．
本题主要考查了三角函数的定义及诱导公式，同角基本关系的应用，属于中档题．
19.【答案】解：设．
则，
于是有，解得，．
知，则，．
，，
．
【解析】设，利用比较系数方法即可；，由此即可求值．
本题考查函数的性质，函数解析式，属于中档题．
20.【答案】解：因为函数是定义在上的奇函数，
所以，即，所以，又因为，
所以，将代入，整理得，
当时，有，即，
又因为当时，有，所以，所以．
经检验符合题意，所以，．
由知：函数，
函数在上是减函数．
因为存在，使成立，
又因为函数是定义在上的奇函数，
所以不等式可转化为，又因为函数在上是减函数，
所以，所以，令，
由题意可知：问题等价转化为，又因为，
所以，即的取值范围为．
【解析】首先由是奇函数可知，得出，后面再根据当时，有恒等式成立即可求出．
将表达式变形为，根据复合函数单调性即可判断．
结合函数奇偶性、单调性将不等式转换为，由题意问题等价于，由此即可得解．
本题主要考查了函数的奇偶性及单调性的综合应用，还考查了存在性问题与最值关系的转化，属于中档题．
21.【答案】解：由题意可得，，
所以函数的函数关系式为；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
又，，所以，
当时，，
当且仅当，即时等号成立，此时，
综上：当投入的肥料费用为元时，单株农作物获得的利润最大为元．
【解析】根据利润毛收入成本可得结果；
分段求出最大值，在两者中的更大的为最大值．
本题考查了函数在生活中的实际运用，也考查了二次函数的性质、基本不等式的应用，属于中档题．
22.【答案】解：令，因为为定义域内的单调递减函数，
若满足在区间上单调递减，则在上单调递增即可，
当时，在上单调递减，不符合题意；
当时，为开口向下的二次函数，所以不可能在上单调递增；
当时，只需满足，解得，
综上所述，实数的取值范围为；
因为在上有且仅有一个零点，
所以在上有且仅有一个零点，
记，
当时，，且，均在上单调递增，
所以在上单调递增，
所以，，所以，
所以在上有唯一零点，符合条件；
当时，，
的对称轴为，所以在上单调递增，
所以在上单调递增，
若满足题意只需，所以，解得；
当时，，
的对称轴为，所以在上单调递增，
所以在上单调递增，
若满足题意只需，所以，解得；
综上所述，的取值范围是．
【解析】根据复合函数单调性的判断方法确定出的单调性，由此列出不等式求解出结果；
先化简函数得到，然后根据的范围进行分类讨论，结合函数的单调性以及零点的存在性定理求解出的取值范围．
本题主要考查了复合函数单调性的应用，还考查了由函数的零点个数求解参数范围，属于中档题．
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