2023-2024学年山东省济宁市重点中学高一（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年山东省济宁市重点中学高一（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题：，，则命题的否定是( )
A. ：， B. ：，
C. ：， D. ：，
3.已知克糖水中含有克糖，再添加克糖假设全部溶解，糖水变甜了将这一事实表示成一个不等式为( )
A. B. C. D.
4.已知点在角的终边上，则的值为( )
A. B. C. D.
5.函数的图象大致为( )
A. B. C. D.
6.已知，若，则实数为( )
A. 或 B. 或 C. 或 D.
7.已知，，，则，，的大小关系正确的是( )
A. B. C. D.
8.定义在上的函数满足：是奇函数，且函数的图象与函数的交点为，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知集合，则( )
A. B.
C. D.
10.下列说法正确的是( )
A. 与的终边相同
B. 若，则
C. 若是第二象限角，则是第一象限角
D. 已知某扇形的半径为，面积为，那么此扇形的弧长为
11.教材中用二分法求方程的近似解时，设函数来研究，通过计算列出了它的对应值表：
分析表中数据，则下列说法正确的是( )
A.
B. 方程有实数解
C. 若精确度到，则近似解可取为
D. 若精确度为，则近似解可取为
12.已知函数为自然对数的底数，则( )
A. 函数至少有个零点
B. 函数至多有个零点
C. 当时，若，则
D. 当时，方程恰有个不同实数根
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数在上单调递增，若，则实数的取值范围为______．
14.已知，若，则 ______．
15.已知，，若不等式恒成立，则的最大值为______．
16.立德学校为了表彰在体育运动会上表现优秀的班级，特制作了一批奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，其中扇形的半径为，，，，则 用表示，据调研发现，当最长时，该奖杯比较美观，此时的值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知集合，．
当时，求；
若，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数，不等式的解集是．
求的解析式；
若存在，使得不等式有解，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知角是第二象限角，它的终边与单位圆交于点．
若，求的值；
若，求的值．
20.本小题分
某呼吸机生产企业本年度计划投资固定成本万元引进先进设备，用于生产救治新冠患者的无创呼吸机，每生产单位：百台另需投入成本万元，当年产量不足百台时，万元；当年产量不小于百台时，万元，据以往市场价格，每百台呼吸机的售价为万元，且依据疫情情况，预测该年度生产的无创呼吸机能全部售完．
求年利润万元关于年产量百台的函数解析式；利润销售额一投入成本固定成本
当年产量为多少时，年利润最大？并求出最大年利润．
21.本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期以及单调递减区间；
设函数，求函数在上的最大值、最小值．
22.本小题分
定义在上的奇函数，当时，，其中，，且，其中是自然对数的底，．
求的值；
当时，求函数的解析式；
若存在，满足，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，，
则．
故选：．
根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：命题：，，则命题的否定是：：，．
故选：．
存在改任意，将结论取反，即可求解．
本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：这一事实表示成一个不等式为：，
证明如下：，，
则，即．
，
故选：．
先表示不等式，再结合作差法证明，即可求解．
本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为点在角的终边上，
所以，
则．
故选：．
由已知利用任意角的三角函数的定义可求的值，进而利用两角和的正切公式即可求解．
本题主要考查了任意角的三角函数的定义以及两角和的正切公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：根据题意，可得，为奇函数，
因为函数图象关于原点对称，所以、不符合题意，
因为、两项中有一项符合题意，且，可知项符合题意，不正确．
故选：．
根据为奇函数，排除选项A、，再用特殊值验证，可得正确答案．
本题考查函数图象的判断，函数的奇偶性以及特殊点的位置，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：，，
当时，，求得．
当时，，求得．
综上可得，实数．
故选：．
由题意，利用分段函数的解析式，分类讨论，求出实数的值．
本题主要考查分段函数的应用，求函数的值，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：，，
，，
又，
．
故选：．
利用对数函数的单调性求解．
本题主要考查了三个数比较大小，考查了对数函数的性质，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：是奇函数，
的图象关于成中心对称，
又的图象也关于成中心对称，
的图象与函数的交点为，，，
，
，
故选：．
依题意，可得的图象与的图象均关于成中心对称，从而可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：集合，
，，则B正确，A错误；
，C正确；
，D正确．
故选：．
根据元素与集合的关系判断，；根据集合间的运算判断，．
本题考查集合的运算，考查元素与集合的关系，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为，，即与的终边相同，A正确；
若，则，B错误；
是第二象限角，则不是第一象限角，C错误；
若扇形的半径为，面积为，则，即此扇形的弧长为，D正确．
故选：．
结合角的概念及扇形的弧长及面积公式检验各选项即可判断．
本题主要考查了角的概念的应用，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：函数显然在上单调递增，最多有一个零点，
又，，
函数的零点在区间内，即方程有实数解，故B正确，
函数在区间内没有零点，即，故A错误，
，，
函数的零点在区间内，又，
若精确度到，则近似解可取为，故C正确，
函数的零点在区间内，且，
若精确度为，则近似解不能取，故D错误．
故选：．
根据二分法逐个判断各个选项即可．
本题主要考查了二分法的定义和应用，函数了函数与方程的数学思想，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：作出函数和函数的图象如图所示：
当时，函数只有个零点，
当时，函数有个零点，
当时，函数只有个零点，故选项A正确，B错误；
当时，因为每一段单增，且，所以函数为增函数，故选项C正确；
当时，，，，当时，该方程有两个解，
当时，该方程有两个解，所以方程有个不同的解，故选项D正确．
故选：．
作出函数和函数的图象，观察图象逐项分析即可得出答案．
本题考查了分段函数的性质、分类讨论思想、数形结合思想，作出图象是关键，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：函数在上单调递增，
若，则，
解得．
故答案为：．
由已知结合函数的单调性即可求解．
本题主要考查了函数单调性在不等式求解中的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：已知，
又，
则，，，
则．
故答案为：．
由两角和与差的三角函数，结合同角三角函数的关系求解．
本题考查了两角和与差的三角函数，重点考查了同角三角函数的关系，属基础题．
15.【答案】
【解析】解：，，不等式恒成立，
恒成立，
又，当且仅当，即当时等号成立，
，
的最大值为．
故答案为：．
题意转化为恒成立，利用基本不等式求解，即可得出答案．
本题考查函数恒成立问题，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：作交于，交于，且，
则，则，．
设，作交于，交于，
因为，所以，
，所以，
所以，即，
所以，
所以
，
因为，所以当，即时，最大．
故答案为：．
作交于，交于，由垂径定理可得，，再作交于，交于，设，解三角形即可求出；由勾股定理可求出，即可知时，最大．
本题考查了三角函数在实际生活中的应用，属于中档题．
17.【答案】解：由可得，，
即，
解得或，
即或，
当时，，
或，
或；
或，，
显然，
若，则或，
解得或，
即实数的取值范围．
【解析】先求出集合，，再利用集合的基本运算求解；
显然，由列出不等式，求出的取值范围即可．
本题主要考查了分式不等式的解法，考查了集合的基本运算，属于基础题．
18.【答案】解：因为不等式的解集是，
所以，且，是一元二次方程的两个实数根，
可得得，
所以．
由，得，即．
令，，
由题可知有解，即即可．
当时，，显然不合题意．
当时，图象的对称轴为直线．
当时，在上单调递减，
所以，解得；
当时，在上单调递增，
所以，解得．
综上，的取值范围是．
【解析】由已知结合二次不等式与二次方程的转化关系及方程的根与系数关系可求，，进而可求函数解析式；
由已知结合存在性问题与最值关系的转化即可求解．
本题考查一元二次不等式的解，二次函数与一元二次方程，二次函数与一元二次不等式的关系，二次函数的图象及性质等，属于中档题．
19.【答案】解：角是第二象限角，它的终边与单位圆交于点，
若，则，则，
可得原式．
由题意，，又，
则，两边平方，可得，，
，
联立，可得，，．
【解析】利用诱导公式，三角函数定义即可求值；利用两角和差公式，同角关系即可求值．
本题考查诱导公式，三角函数定义，两角和差公式的应用，属于基础题．
20.【答案】解：当时，，
当时，，
所以；
当时，，
所以当时，，
当时，
，
当且仅当，即时取等号，此时取得最大值为，
综上，当年产量为百台时，年利润最大，最大年利润为万元．
【解析】本题考查了根据实际问题建立函数模型的问题，涉及到分段函数的性质以及基本不等式的应用，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
对与分类，分别求出对应的，由此即可求解；
根据分段函数的性质分别求出最大值，比较即可求解．
21.【答案】解：，
故函数的最小正周期为，
令，，整理得，，
故函数的单调递减区间为，．
，
由于，
故，
设，当时，函数取得最小值为，
当时，函数取得最大值为．
【解析】首先利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出最小正周期和单调递减区间；
利用关系式的变换和换元法的应用求出最大值和最小值．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质，换元法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
22.【答案】解：因为在上是奇函数，当时，，
所以，即，解得；
当时，，，
又因为是奇函数，所以；
当时，，，
又因为是奇函数，则，
因为是定义上的奇函数，则，
所以；
若，则由，得，且，
所以；
若，则由，得，而，，
所以等式不成立．
若，则由，得，即，且，
所以，
综上，的取值范围是，．
【解析】根据奇函数的定义与性质列方程求出的值；
根据奇函数的性质求出和时，的解析式即可；
由函数解析式，根据的范围分类讨论，分别得出的关系，把化为的函数，从而得出取值范围．
本题考查了函数的奇偶性应用问题，也考查了函数值的取值范围问题，是难题．
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