2023-2024学年上海市长宁区高一（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年上海市长宁区高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题3分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若与互为相反数，则有( )
A. B. C. D.
2.设函数的零点为，则( )
A. B. C. D.
3.了解某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防该细菌、病毒引起的疾病传播有重要的意义科研团队在培养基中放入一定量某种菌落进行研究，设经过时间单位：，菌落的覆盖面积为单位：团队提出如下假设：当时，；随的增加而增加，且增加的速度越来越快则下列选项中，符合团队假设的模型是( )
A. B.
C. D.
4.已知函数的定义域为．
：是上的严格增函数；
：任意，，都有，且当时，恒有；
：当时，都有．
下列关于的充分条件的判断中，正确的是( )
A. 、都是 B. 是，不是 C. 不是，是 D. 、都不是
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.已知集合，集合，则______．
6.若，则 ______．
7.不等式的解集为 ．
8.根式的指数幂形式为______．
9.陈述句“或”的否定形式是______．
10.若幂函数的图像经过点，则函数的定义域为______．
11.若时，指数函数的值总大于，则实数的取值范围是______．
12.已知，若，则 ______．
13.若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围是______．
14.已知，方程的解集为______．
15.已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，则不等式的解集为______．
16.已知，若对于任意实数，均存在，使得，则实数的取值范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知，．
求证：，并指出等号成立的条件；
若，求的最小值．
18.本小题分
设集合，．
若，试用区间表示集合、；
若，求实数的取值范围．
19.本小题分
为了鼓励消费，某地发放了以“爱购”为主题的消费券，一张消费券价值元，使用方式为：消费满元后，结账时该券抵元．
商家在中秋节期间举行促销活动，每件商品按原价折销售若买一件原价为元的商品，则在结账时使用了一张消费券后，还应付多少元？
小明在商家选购时看中了一件元的商品和一件打折的特价商品，但特价商品的折扣不能与消费券同时使用，若该特价商品原价的范围在元，试判断小明是否会使用消费券？并说明理由．
20.本小题分
已知函数，其中．
判断函数的奇偶性，并说明理由；
若函数在区间上是严格增函数，求实数的取值范围．
21.本小题分
设函数在区间上有定义，若对任意，都存在使得：，则称函数在区间上具有性质．
判断函数在上是否具有性质，并说明理由；
若函数在区间上具有性质，求实数的取值范围；
设，若存在唯一的实数，使得函数在上具有性质，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
，
，
．
故选：．
由已知条件列出方程，利用对数的积的法则求出．
本题考查对数的四则运算法则、考查当真数互为倒数时，对数互为相反数，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：函数的零点为，，，
，
又数在上连续，
函数的零点在区间内．
故选：．
通过，，可得 ，故函数的零点在区间内，得到结果．
本题主要考查了函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：根据题意，对于，，即函数的定义域为，值域为，、、、均符合；
对于随的增加而增加，且增加的速度越来越快，即函数为增函数，且增加的速度越来越快，符合，、、均不符合．
故选：．
通过分析不同函数的增减性快慢，即可进行得到结果．
本题主要考查了根据实际问题选择函数模型，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：根据题意，对于：任意，，都有，
令，则有，
再令，有，变形可得，
则函数为奇函数；
设，有，
则有，
必有，
故函数是上的严格增函数，
则是的充分条件；
对于，由于该命题不能表示任意性，不符合单调性的定义，故不是的充分条件；
故选：．
根据题意，对于：先分析函数的奇偶性，结合奇偶性、单调性的定义分析可得是的充分条件；对于，利用单调性的定义可得不是的充分条件；综合可得答案．
本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数的奇偶性、单调性，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，，
，
故答案为：．
由集合交集的定义直接写出答案即可．
本题考查了集合的化简与运算，属于基础题．
6.【答案】
【解析】【解答】
解：，则．
故答案为：．
【分析】
本题考查了对数式化为指数式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
把对数式化为指数式即可得出．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了求一元二次不等式的解集问题，属于基础题．
先求对应方程的实数根，再写出不等式的解集．
【解答】
解：方程的实数根是，；
不等式的解集为，
故答案为：，
8.【答案】
【解析】解：，
．
故答案为：．
根据有理数指数幂的运算性质求解．
本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，属于基础题．
9.【答案】且
【解析】解：命题为全称命题，则“或”的否定形式为且，
故答案为：且．
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
10.【答案】
【解析】解：幂函数的图像经过点，
，
解得，
，
函数的定义域为．
故答案为：．
把点的坐标代入幂函数的解析式，求出的值，进而求出函数的定义域．
本题主要考查了幂函数的定义和性质，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：依题意，在上恒成立，
则，解得．
故答案为：．
由指数函数的性质可知，进而得解．
本题考查指数函数的图象及性质，考查运算求解能力，属于基础题．
12.【答案】或
【解析】解：函数，，
当时，，解得，合题意；
当时，，解得舍负，
当时，，解得，不舍题意．
综上，或．
故答案为：或．
当时，；当时，；当时，，由此能求出结果．
本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
13.【答案】
【解析】解：方程可变形为，由于方程在上有解，
而当时，，
所以，
解得，
即实数的取值范围是．
故答案为：．
先将方程变形为变形为，再利用程在上有解，可得的不等式，从而可确定实数的取值范围．
本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，考查了对数函数的图象和性质，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：当时，则；
当时，则；
当时，则．
综上所述，原方程的解集为．
故答案为：．
分、、三种情况讨论，去绝对值符号，解原方程即可．
本题主要考查绝对值不等式的解法，属于基础题．
15.【答案】或
【解析】解：函数是定义在上的奇函数，
函数的图象关于原点对称，
当时，，
由题意得的图象如图：
由图知不等式的解集为或．
故答案为：或．
由题意画简图，由图易得结果．
本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：因为函数在定义域上单调递增，
函数在上单调递减，在上单调递增，
要使对任意实数，总存在实数，使得，即函数的值域为，
当时，在，上单调递增，在上单调递减，
当时，，时，，
则只需，解得；
当时，在，上单调递增，
当时，，时，，
则只需要，解得，
又，所以．
综上可得，即实数的取值范围是．
故答案为：．
首先分析各段函数的单调性，依题意只需函数的值域为，分和两种情况讨论，分别求出函数在各段的最大小值，即可得到不等式，解得即可．
本题主要考查分段函数的性质，属中档题．
17.【答案】证明：因为，
所以，
当且仅当，时，不等式中等号成立．
解：，
当且仅当，即或时，不等式中等号成立．
所以的最小值为．
【解析】作差法证明即可；
构造基本不等式，利用基本不等式解决即可．
本题主要考查不等式的证明，考查转化能力，属于中档题．
18.【答案】解：当时，由得，解得，所以．
由得，则有，解得，所以；
由得，解得，
所以，
由得，则或，
由于，
所以，解得．
所以实数的取值范围是．
【解析】当时，解出集合、；
求出集合，根据已知，得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围．
本题主要考查集合的包含关系，属于基础题．
19.【答案】解：由题意原价为元的商品打折后本应付元，
若在结账时使用了一张消费券后，则还应付元；
设特价商品原价为，，小明按特价商品打折方式购买、使用优惠券购买所花费的钱分别为，，
则，，
所以，
即，
所以小明不会使用消费券，而会选择按特价商品打折方式购买．
【解析】由题意直接打折、优惠券叠加使用计算即可；
分别计算出小明按特价商品打折方式购买、使用优惠券购买所花费的钱，通过作差比较大小即可判断．
本题主要考查了函数的实际应用，属于中档题．
20.【答案】解：为奇函数，理由如下：
当时，定义域为，，
当时，的定义域为，，
综上，为奇函数；
当时，，在区间上是严格增函数，即单调递增，符合题意；
当时，根据对勾函数单调性可知，若函数在区间上是严格增函数，
则，即，
综上，的取值范围为．
【解析】结合函数奇偶性的定义对是否为进行分类讨论即可求解；
由已知结合基本初等函数的单调性对进行分类讨论即可求解．
本题主要考查了函数的奇偶性的判断及由单调性求解参数范围，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．
21.【答案】解：由已知得对任意，都存在使得，即函数，的值域为，值域的子集，
因为的值域为，的值域为，显然不是的子集，即函数在上不具有性质；
函数在区间的值域为，函数在上的值域为，
要使函数具有性质，只需，解得，即的取值范围为；
由题意的值域为，
因为，所以的对称轴，且开口向下，
所以的最大值为，又，，
当，即时，的值域为，要满足题意，只需，解得，，符合题意；
当，即时，的值域为，要满足题意，只需，解得，所以符合题意，
综上，的取值为，．
【解析】原式可化为对任意，都存在使得，即函数的值域为值域的子集即可，据此逐问求解．
本题考查新定义问题，以及函数的单调性、最值等性质的应用，属于中档题．
第1页，共1页