2023年湖南省普通高中学业水平合格性考试仿真试卷（专家版三）
科目：数学
（试题卷）
注意事项：
1.答题前，请考生先将自己的姓名 准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名 准考证号 考室和座位号；
2.必须在答题卡上答题，在草稿纸 试题卷上答题无效；
3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；
4.请勿折叠答题卡，保证字体工整 笔迹清晰 卡面清洁.
本试题卷包括选择题 填空题和解答题三部分，共4页.时量90分钟，满分100分
一 选择题：本大题共18小题，每小题3分，满分54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 计算（ ）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
2. 已知集合，则（ ）
A B. C. D.
3. 为虚数单位，若，则（ ）
A. 5 B. 7 C. 9 D. 25
4. 如图，在平面直角坐标系中，是函数图象的最高点，是的图象与轴的交点，则的坐标是（ ）
A. B. C. D.
5. 样本数据的第80百分位数是（ ）
A 4 B. 6 C. 7 D. 8
6. 现有以下两项调查：①从40台刚出厂的大型挖掘机中抽取4台进行质量检测；②在某校800名学生中，型 型 B型和型血的学生依次有人.为了研究血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为40的样本.完成这两项调查最适宜采用的抽样方法分别是（ ）
A. ①②都采用简单随机抽样
B ①②都采用分层随机抽样
C. ①采用简单随机抽样，②采用分层随机抽样
D. ①采用分层随机抽样，②采用简单随机抽样
7. 如图，已知幂函数在上图象分别是下降，急速上升，缓慢上升，则（ ）
A. B.
C. D.
8. 函数的零点是（ ）
A. 2 B. C. -2 D. 2或-1
9. 已知直线是三条不同的直线，平面是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则平面
C. 若，且，则
D. 若，且，则
10. 已知函数，若，则（ ）
A. 8 B. 7 C. 2 D. 0.5
11. 已知为虚数单位，是关于的方程的一个根，则实数（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
12. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
13. 计算（ ）
A. B. C. D.
14. 已知，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
15. 已知点是边长为2的正三角形的重心，则（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
16. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为5，弧长为的扇形，则此圆锥的侧面积和体积分别是（ ）
A B. C. D.
17. 有10种不同的零食，每可食部分包含的能量（单位：）如下：
这10个数据组成总体，则总体平均数和总体标准差分别是（ ）
A. B. 130，16 C. 130，17 D.
18. 对于函数的图象与性质，有下面四个结论：①函数的最小正周期为；②在上是增函数；③若，则；④若，则.则其中所有正确结论的编号是（ ）
A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④
二 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
19. 命题“，都有”的否定是___________.
20. 已知，若函数的最大值为2，则__________.
21. 现有五件产品，其中一等品和次品各1件，二等品3件.从中任取2件，则取出的2件都是二等品的概率是__________.
22. 如图，在长方体中，，一小虫从顶点出发沿长方体的表面爬到顶点，则小虫走过的最短路线的长为__________.
三 解答题：本大题共3小题，每题10分，满分30分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
23. 甲 乙两人准备参加某电视台举办的地理知识抢答赛.比赛规则为：每轮比赛每人随机在题库中抽取一道题作答，答对得1分，答错或不答得0分，最后得分多的获胜.为了在比赛中取得比较好的成绩，甲 乙两人在比赛前进行了针对性训练，训练后的答题情况如下表：
甲 乙
练习题目个数 120 120
答错个数 24 20
若比赛中每个人回答正确与否相互之间没有影响，且用频率代替概率.
（1）估计甲 乙两人在比赛时答对题的概率；
（2）设事件“某轮比赛中甲得1分或乙得1分”，求.
24. 如图，在直三棱柱中，，且.
（1）求直三棱柱的表面积与体积；
（2）求证：平面，并求出到平面的距离.
25. 已知函数，且函数的图象经过点.
（1）求实数的值；
（2）求函数的最小值和最大值.2023年湖南省普通高中学业水平合格性考试仿真试卷（专家版三）
科目：数学
（试题卷）
注意事项：
1.答题前，请考生先将自己的姓名 准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名 准考证号 考室和座位号；
2.必须在答题卡上答题，在草稿纸 试题卷上答题无效；
3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；
4.请勿折叠答题卡，保证字体工整 笔迹清晰 卡面清洁.
本试题卷包括选择题 填空题和解答题三部分，共4页.时量90分钟，满分100分
一 选择题：本大题共18小题，每小题3分，满分54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 计算（ ）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值直接进行计算即可.
【详解】因为，
故选：D.
2. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合的交运算进行运算即可.
【详解】因为集合，
则，
故选：B.
3. 为虚数单位，若，则（ ）
A. 5 B. 7 C. 9 D. 25
【答案】A
【解析】
【分析】化简复数，再进行求模计算即可.
【详解】因为，
所以，
故选：A.
4. 如图，在平面直角坐标系中，是函数图象的最高点，是的图象与轴的交点，则的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由向量加法以及正弦函数对称中心（零点）即可得解.
【详解】由题意以及题图可知，所以.
故选：B.
5. 样本数据的第80百分位数是（ ）
A. 4 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据百分位数的计算公式进行计算即可.
【详解】依题，，
则第4个数和第5个数的平均数，
即为所求，
故选：C.
6. 现有以下两项调查：①从40台刚出厂的大型挖掘机中抽取4台进行质量检测；②在某校800名学生中，型 型 B型和型血的学生依次有人.为了研究血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为40的样本.完成这两项调查最适宜采用的抽样方法分别是（ ）
A. ①②都采用简单随机抽样
B. ①②都采用分层随机抽样
C. ①采用简单随机抽样，②采用分层随机抽样
D. ①采用分层随机抽样，②采用简单随机抽样
【答案】C
【解析】
【分析】由简单随机抽样、分层随机抽样的概念即可判断.
【详解】由题意对于①，40台刚出厂的大型挖掘机被抽取的可能性一样，故为简单随机抽样，
对于②，为了研究血型与色弱的关系，说明某校800名学生被抽取的可能性要按照血型比例分层抽取，故为分层随机抽样.
故选：C.
7. 如图，已知幂函数在上的图象分别是下降，急速上升，缓慢上升，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由幂函数在内的单调性以及增长速度和指数幂的关系即可判断.
【详解】由题意结合图象可知.
故选：B.
8. 函数的零点是（ ）
A. 2 B. C. -2 D. 2或-1
【答案】A
【解析】
【分析】由题意令可得关于的方程，进而求解.
【详解】由题意令，因为，所以，即.
故选：A.
9. 已知直线是三条不同的直线，平面是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则平面
C. 若，且，则
D. 若，且，则
【答案】D
【解析】
【分析】由点线面的位置关系逐一判断即可.
【详解】若，则可以是平行，也可以是相交或异面，故A错误；
若，则平面，或平面，故B错误；
要证，实际上还缺少相交这个条件，
否则可取相交于，，且，又，所以，但此时不平行，矛盾，故C错误；
对于D，若，且，则存在，使得，
又因为，所以，
同理存在，且相交（因为是两个不同的平面），使得，
又因为，所以，
因为，，，且相交，
所以，故D正确.
故选：D.
10. 已知函数，若，则（ ）
A. 8 B. 7 C. 2 D. 0.5
【答案】A
【解析】
【分析】分类讨论结合指对互换求解的值即可.
【详解】当时，，所以若，则只能，
所以，所以满足题意.
故选：A.
11. 已知为虚数单位，是关于的方程的一个根，则实数（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】由题意将代入方程，整理并根据复数为0的条件即可得解.
【详解】由题意，整理得，所以，解得.
故选：C.
12. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由平方关系、商数关系化成关于的齐次式即可求解.
【详解】由题意，因为，
所以
故选：B.
13. 计算（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用诱导公式进行变形后，根据两角和的余弦公式进行化简再计算即可.
【详解】因为
，
故选：D.
14. 已知，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由不等式的性质即可得解.
【详解】因为，所以，，
所以.
故选：D.
15. 已知点是边长为2的正三角形的重心，则（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】C
【解析】
【分析】以线段的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，根据题意求得的坐标，结合向量的数量积的坐标运算公式，即可求解.
【详解】如图所示，以线段的中点为坐标原点，以线段所在的直线为轴，线段的垂直的平分线为轴，建立平面直角坐标系，
因为的边长为，可得，
又因为为的重心，可得，所以，
则.
故选：C.
16. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为5，弧长为的扇形，则此圆锥的侧面积和体积分别是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接由扇形面积公式得圆锥侧面积，进一步得圆锥底面圆半径以及高即可求得圆锥体积.
【详解】由扇形面积公式得此圆锥的侧面积为，
圆锥底面圆的半径为，又圆锥母线长为5，所以圆锥的高为，
所以圆锥的体积为.
故选：C.
17. 有10种不同的零食，每可食部分包含的能量（单位：）如下：
这10个数据组成总体，则总体平均数和总体标准差分别是（ ）
A. B. 130，16 C. 130，17 D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，结合数据的平均数和方差的计算公式，准确计算，即可求解.
【详解】由题意，根据平均数的计算公式，
可得，
又由方差的公式，可得：，
所以总体标准差为.
故选：A.
18. 对于函数图象与性质，有下面四个结论：①函数的最小正周期为；②在上是增函数；③若，则；④若，则.则其中所有正确结论的编号是（ ）
A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④
【答案】B
【解析】
【分析】由正切函数的图象和性质逐一判断每个结论即可求解.
【详解】①函数最小正周期为，故①错误；
②当时，，
关于单调递增，在定义域内单调递增，
所以在上是增函数，故②正确；
对于③若，则，解得，故③正确；
对于④，若，则，解得，故④错误.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：判断④的关键是根据函数单调性列出不等式组验算即可顺利得解.
二 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
19. 命题“，都有”的否定是___________.
【答案】，有
【解析】
【分析】由命题的否定的定义求解．
【详解】题“，都有”的否定是：．
故答案为：．
20. 已知，若函数的最大值为2，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】由辅助角公式得函数最大值，进而列方程即可求解.
【详解】由题意，其中，
所以，
又因为，所以.
故答案为：.
21. 现有五件产品，其中一等品和次品各1件，二等品3件.从中任取2件，则取出的2件都是二等品的概率是__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用古典概型概率计算公式进行计算即可.
【详解】从5件产品中取出2件的事件总数为个，
取出的两件都是二等品的事件总数为个，
故所求概率为，
故答案为：.
22. 如图，在长方体中，，一小虫从顶点出发沿长方体的表面爬到顶点，则小虫走过的最短路线的长为__________.
【答案】
【解析】
【分析】分三种情况，利用平面展开图求解可得.
【详解】
如图，若小虫爬行路线经过棱，则最短路程为；
若小虫爬行路线经过棱，则最短路程为；
若小虫爬行路线经过棱，则最短路程为.
综上所述，小虫走过的最短路线的长为.
故答案为：.
三 解答题：本大题共3小题，每题10分，满分30分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
23. 甲 乙两人准备参加某电视台举办的地理知识抢答赛.比赛规则为：每轮比赛每人随机在题库中抽取一道题作答，答对得1分，答错或不答得0分，最后得分多的获胜.为了在比赛中取得比较好的成绩，甲 乙两人在比赛前进行了针对性训练，训练后的答题情况如下表：
甲 乙
练习题目个数 120 120
答错个数 24 20
若比赛中每个人回答正确与否相互之间没有影响，且用频率代替概率.
（1）估计甲 乙两人在比赛时答对题的概率；
（2）设事件“某轮比赛中甲得1分或乙得1分”，求
【答案】（1）甲 乙两人在比赛时答对题的概率分别为
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题中条件计算出频率，用频率代替概率即可；
（2）根据互斥事件的概率加法公式进行计算即可.
【小问1详解】
由题意，可以估计甲在比赛时答对题的概率为：
，
乙在比赛时答对题的概率为：
.
【小问2详解】
设事件“某轮比赛中甲得1分”，事件“某轮比赛中乙得1分”，
则事件，
所以.
（或）.
24. 如图，在直三棱柱中，，且.
（1）求直三棱柱的表面积与体积；
（2）求证：平面，并求出到平面的距离.
【答案】（1）表面积为，体积为
（2）证明见解析，
【解析】
【分析】（1）根据题意，结合表面积和体积公式进行计算即可；
（2）根据线面平行的判定定理进行证明即可；过点作，垂足为，则平面，即为所求，Rt中，解出即可.
【小问1详解】
因为，
所以，
则直三棱柱的表面积为
，
其体积.
【小问2详解】
证明：因为平面平面，
所以平面.
过点作，垂足为.
由题意得，又，
所以平面，
又平面，则，
所以，又,
平面,平面,
所以平面，
在Rt中，
,
所以到平面的距离为.
25. 已知函数，且函数的图象经过点.
（1）求实数的值；
（2）求函数的最小值和最大值.
【答案】（1）
（2）函数的最小值为2，最大值为6
【解析】
【分析】（1）将点代入函数的解析式，求实数的值即可；
（2）将函数的解析式经过变量代换，转化为一元二次函数形式，求最值即可；
【小问1详解】
由题意，将点代入函数的解析式，
得：，即，解得.
【小问2详解】
由换底公式得：，
所以函数，
令，因为，所以.
设，
显然函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，
即函数的最小值为2，最大值为6.
