莆田一中2023-2024学年高二数学期初考试试卷
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. “”是“，成立”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知等差数列的前项和为，若，，则当取最大值时，的值为（ ）
A. 6 B. 7 C. 6或7 D. 7或8
4. 若函数在 区间内存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（ ）
A B. 2 C. D.
6. 已知圆锥的母线为6，底面半径为1，把该圆锥截成圆台，使圆台的下底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为，则圆台的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知a，b，，且，，，其中e是自然对数的底数，则（ ）
A. B.
C. D.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 已知为函数的导函数，当时，有恒成立，则下列不等式一定成立的是（ ）
A B.
C. D.
10. 已知数列满足．若对，都有成立，则整数的值可能是（ ）
A. B. C. 0 D. 1
11. 双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线.平分该点与两焦点连线的夹角.已知分别为双曲线的左，右焦点，过右支上一点作直线交轴于点，交轴于点.则（ ）
A. 的渐近线方程为 B. 点的坐标为
C. 过点作，垂足为，则 D. 四边形面积最小值为4
三 填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.
12. 若椭圆上的点到焦点距离的最大值是最小值的2倍，则该椭圆的离心率为_________．
13. 在边长为的正方形铁皮的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底铁皮箱.当箱底边长为__________时，箱子容积最大.
14. 已知函数，若总存在两条不同的直线与函数图象均相切，则实数a的范围为_______．
四 解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15 设函数.
（1）求函数的极值；
（2）若时，，求的取值范围.
16. 已知数列满足，．
（1）设，求证:数列是等比数列;
（2）求数列的前项和．
17. 如图，在三棱柱中，所有棱长均为2，，．
（1）证明：平面平面．
（2）求平面与平面的夹角的正弦值．
18. 设椭圆的左右焦点分别为是该椭圆C的右顶点和上顶点，且，若该椭圆的离心率为
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线l与椭圆C交于两点，且与x轴交于点若直线与直线的倾斜角互补，求的面积的最大值.
19 已知函数
（1）若函数的最小值为0，求的值；
（2）证明：莆田一中2023-2024学年高二数学期初考试试卷
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意，求出直线的斜率，从而得出结果．
【详解】依题意，是直线的一个方向向量，
所以直线的斜率，
所以直线的倾斜角为．
故选：C．
2. “”是“，成立”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由不等式恒成立，可求得，即可得出答案.
【详解】因为，成立，则，即.
所以，“”是“，成立”的充分不必要条件.
故选：A.
3. 已知等差数列前项和为，若，，则当取最大值时，的值为（ ）
A. 6 B. 7 C. 6或7 D. 7或8
【答案】C
【解析】
【分析】先求出通项公式，利用前n项和的定义即可判断出取最大值时，的值.
【详解】设等差数列的公差为d，
因为，，
所以，
解得：，所以.
要使取最大值，只需把所有正项都加上，
所以，
所以.
记最大.
故选：C.
4. 若函数在 区间内存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用导数求出函数的极小值为，由题意可知，再由求得的值，数形结合可得出实数的取值范围.
【详解】解：由题意，，
当或时，；当时，.
故在，上是增函数，在上是减函数，
所以，函数的极小值为.
作其图象如图，
令得，解得或，
结合图象可知，解得，.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数在区间上存在最值求参数，解本题的关键就是弄清楚函数的极小值点在区间内，通过求得，数形结合得出实数所满足的不等式组，综合性较强.
5. 已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出的坐标，利用点到平面距离的向量求法计算作答.
【详解】依题意，，所以点P到平面的距离为.
故选：D
6. 已知圆锥的母线为6，底面半径为1，把该圆锥截成圆台，使圆台的下底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为，则圆台的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆锥、圆台的轴截面，求出圆台母线长，利用公式求圆台的侧面积.
【详解】作出圆锥、圆台的轴截面，如图所示，
圆锥的母线为，底面半径，圆台上底面半径，
由三角形相似可得，解得，
则圆台母线长，
圆台的侧面积为.
故选：C
7. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】当直线斜率存在时，设直线方程，联立方程组，结合根与系数关系可得，进而求得取值范围，当斜率不存在是，可得，两点坐标，进而可得的值.
【详解】当直线斜率存在时，设直线方程为，，，
联立方程，得，恒成立，
则，，
，，
，
所以，
当直线斜率不存在时，直线方程为，
所以，，
，
综上所述：，
故选：B.
8. 已知a，b，，且，，，其中e是自然对数的底数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，，然后分别利用导数判断两个函数的单调性，利用其单调性可求得答案.
【详解】∵a，b，，，，，
令，，，
当时，，在上单调递减，
令，，，当时，，
所以在上单调递增，即，
∴，即，
∴.
故选：D
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 已知为函数的导函数，当时，有恒成立，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】构造函数，其中，利用导数分析函数在上的单调性，结合单调性逐项判断即可.
【详解】构造函数，其中，则，
所以，函数在上为减函数，
对于AB选项，，即，可得，A错B对；
对于CD选项，，即，D对，C无法判断.
故选：BD.
10. 已知数列满足．若对，都有成立，则整数的值可能是（ ）
A. B. C. 0 D. 1
【答案】BC
【解析】
【分析】根据数列以及构造不等式可得对都成立；分别对为奇数和偶数时进行分类讨论即可求得的取值范围并得出结果.
详解】由可得，
若对，都有成立，即，
整理可得，所以对都成立；
当为奇数时，恒成立，所以，即；
当为偶数时，恒成立，所以，即；
所以的取值范围是，则整数的值可能是.
故选：BC
11. 双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线.平分该点与两焦点连线的夹角.已知分别为双曲线的左，右焦点，过右支上一点作直线交轴于点，交轴于点.则（ ）
A. 的渐近线方程为 B. 点的坐标为
C. 过点作，垂足为，则 D. 四边形面积的最小值为4
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据方程，可直接求出渐近线方程，即可判断A项；由已知可得，进而结合双曲线方程，即可得出点的坐标，即可判断B项；根据双曲线的光学性质可推得，点为的中点.进而得出，结合双曲线的定义，即可判断C项；由，代入利用基本不等式即可求出面积的最小值，判断D项.
【详解】对于A项，由已知可得，，所以的渐近线方程为，故A项正确；
对于B项，设，则，整理可得.
又，所以，所以有，解得，所以点的坐标为，故B项错误；
对于C项，如上图，显然为双曲线的切线.
由双曲线的光学性质可知，平分，延长与的延长线交于点.
则垂直平分，即点为的中点.
又是的中点，所以，，故C项正确；
对于D项，，
当且仅当，即时，等号成立.
所以，四边形面积的最小值为4，故D项正确.
故选：ACD.
【点睛】思路点睛：C项中，结合已知中，给出的双曲线的光学性质，即可推出.
三 填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.
12. 若椭圆上的点到焦点距离的最大值是最小值的2倍，则该椭圆的离心率为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据椭圆的性质可知，点到焦点距离的最大值为，最小值为，代入条件即可求解.
【详解】依题意，由图象的性质可知，
点到焦点距离的最大值为，最小值为，
所以，化简得，即离心率，
故答案：.
13. 在边长为的正方形铁皮的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底铁皮箱.当箱底边长为__________时，箱子容积最大.
【答案】4
【解析】
【分析】根据题意得到箱子的容积，然后根据单调性求最值即可.
【详解】设箱底边长为cm，箱子的容积为，
则，，
令，解得，，解得，
所以函数上单调递增，上单调递减，
当时，容积取得最大值，为16.
故答案为：4.
14. 已知函数，若总存在两条不同的直线与函数图象均相切，则实数a的范围为_______．
【答案】
【解析】
【分析】将有两条公切线转化为与直线有两个不同交点，后利用导数研究函数单调性与极值情况画出大致图象，即可得答案.
【详解】设切线在上的切点分别为.
因.则切线方程可表示为：
，也可表示为：，其中.
则.则总存在两条不同的直线与函数图象均相切，
等价于与直线有两个不同交点.，则.
令在上单调递增，
在上单调递减，则.
注意到，，可得大致图象如下，则.
故答案为：
四 解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15. 设函数.
（1）求函数的极值；
（2）若时，，求的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据极值的定义，结合导数的性质进行求解即可；
（2）根据函数的最值性质进行求解即可.
【小问1详解】
，
当时，在上单调递增，无极值，
当时，由，得，由，得
则在上单调递减，在上单调递增，
则当时，取得极小值，无极大值，
所以当时，函数无极值，
当时，函数有极小值，无极大值；
【小问2详解】
由（1）知当时，在上单调递增，符合题意，
当时，在上单调递增，符合题意，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
等价于，得.
综上的取值范围是
16. 已知数列满足，．
（1）设，求证:数列是等比数列;
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）将变形为，得到为等比数列，
（2）由（1）得到的通项公式，用错位相减法求得
【详解】（1）由，，可得，
因为则，，可得是首项为，公比为的等比数列，
（2）由（1），由，可得，
，
，
上面两式相减可得：
，
则．
【点睛】数列求和的方法技巧：
(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．
(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．
(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．
(4) 裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和.
17. 如图，在三棱柱中，所有棱长均为2，，．
（1）证明：平面平面．
（2）求平面与平面的夹角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）取中点，证明，再利用线面垂直、面面垂直的判定推理作答.
（2）利用（1）中信息作出平面与平面所成二面角的平面角，再借助直角三角形求解作答.
【小问1详解】
三棱柱的所有棱长均为2，取中点，连接，，则，
由，，得为等边三角形，则，
显然，而，则，有，
又，平面，于是平面，而平面，
所以平面平面．
【小问2详解】
在三棱柱中，平面平面，
因此平面与平面的夹角的正弦值与平面与平面的夹角的正弦值相等，
由（1）知平面，平面，则，过作于点，连接，有，
平面，于是平面，而平面，则，
因此为平面与平面所成二面角的平面角，
显然，而，则，从而，
所以平面与平面的夹角的正弦值为．
18. 设椭圆的左右焦点分别为是该椭圆C的右顶点和上顶点，且，若该椭圆的离心率为
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线l与椭圆C交于两点，且与x轴交于点若直线与直线的倾斜角互补，求的面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件中离心率已知，结合建立方程组求得，得到椭圆的标准方程；
（2）根据两条直线的倾斜角互补，建立斜率关系，并用坐标进行表示.然后设定直线方程与椭圆联立后消元化简，并表示根与系数的关系，代入前式，确定直线所过定点，再分别利用弦长公式及点到直线的距离公式表示三角形面积，通过换元构造基本不等式求得面积的最值.
【小问1详解】
由题可得，，
所以 因为椭圆的离心率为所以，结合椭圆中可知，所以椭圆C的标准方程为
【小问2详解】
，设
因为直线与直线的倾斜角互补，
所以可知，
即，
化简得
设直线，
将代入上式，
整理可得
且由消元化简可得
，
所以，代入上式
由，
解得
所以
因为点到直线PQ的距离，
且
所以
令，则
所以，.
当且仅当，时取等号.
所以的面积的最大值为
【点睛】（1）倾斜角互补，可转化为斜率和为0；
（2）圆锥曲线中面积最值问题，通常都是把面积表示出来，用基本不等式求最值.
19. 已知函数
（1）若函数的最小值为0，求的值；
（2）证明：
【答案】（1）；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）按与分类，利用导数探讨单调性确定最小值即得.
（2）利用导数结合不等式性质，分段证明不等式成立.
【小问1详解】
函数定义域为，求导得，
若，则，函数在上单调递增，无最小值，不合题意；
若，则当时，，当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
则当时，取得最小值，即有，解得，
所以.
【小问2详解】
①先证明当时，，
设，求导得，当时，，
则函数在上单调递减，当时，，即，
而当时，，因此
设，，求导得，
函数在上单调递增，则当时，；
令，求导得，当时，，当时，，
则函数在上递减，在上递增，
因此当时，取得最小值，从而，
于是；
②当时，，
而，则，于是，
设，求导得，函数在上单调递增，
则，因此在上单调递增，则当时，，
即，于是，
所以不等式恒成立.
