山西省运城市康杰中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题（含解析）

康杰中学2023—2024年第二学期
高一年级（开学考试）数学试题
一、单选题
1．（ ）
A． B． C． D．
2．已知全集，，则集合为（ ）
A． B． C． D．
3．我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，问这块田的面积为多少？（ ）
A．240平方步 B．120平方步 C．80平方步 D．60平方步
4．已知，都是锐角，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
6．定义在上的函数为奇函数，且为偶函数，当时，，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
7．已知正实数满足，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数，若关于x的方程有6个不同的实数根，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知实数a，b满足，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．给出下列说法，正确的有（ ）
A．函数单调递增区间
B．若一扇形弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为
C．命题“，”的否定形式是“，”
D．已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是
11．已知函数，将图象上所有点的横坐标都缩短到原来的，再把所得图象向右平移个单位后得到函数的图象，则（ ）
A．是奇函数 B．在区间上的值域为
C．在区间上单调递增 D．点是的图象的一个对称中心
12．设集合是实数集的子集，如果满足：，使得，则称为集合的一个聚点.在下列集合中，以0为一个聚点的集合有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．已知，则的值为 ．
14．已知函数，若，则实数的值为 ．
15．已知，，且满足，则的最小值为 .
16．已知函数是偶函数，若函数无零点，则实数的取值范围为 .
四、解答题
17．（1）化简：；
（2）化简：．
18．已知集合，集合．
(1)若集合B的真子集有且只有1个，求实数a的值；
(2)若，求实数a的取值范围．
19．已知函数的最小正周期为T．若，且的图象关于直线对称.
(1)求函数的单调增区间；
(2)求函数在区间上的最值.
20．函数.
(1)若的解集是或，求不等式的解集；
(2)当时，求关于的不等式的解集.
21．后疫情时代，全民健康观念发生很大改变．越来越多人注重通过摄入充足的水果，补充维生素，提高自身免疫力．郑州某地区适应社会需求，利用当地的地理优势，发展种植某种富含维生素的珍稀果树．经调研发现：该珍稀果树的单株产量W（单位：千克）与单株用肥量x（单位：千克）满足如下关系：已知肥料的成本为10元/千克，其他人工投人成本合计元．若这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求．记该果树的单株利润为（单位：元）．
(1)求的函数关系式；
(2)当单株施用肥料为多少千克时，该果树的单株利润最大，并求出最大利润．
22．已知函数满足，有．
(1)求的解析式；
(2)若，函数，且，，使，求实数a的取值范围．
试卷第1页，共3页
1．A
【分析】根据终边相同的角的三角比相同求解即可.
【详解】，
故选：A.
2．C
【分析】利用韦恩图即可得解.
【详解】因为，
又，所以.
故选：C.
3．B
【分析】由已知利用扇形的面积公式即可计算得答案.
【详解】因为扇形田的弧长30步，其所在圆的直径是16步，根据扇形的面积公式可得这块田的面积（平方步）.
故选：B
4．B
【分析】利用同角三角函数关系得到和，再利用凑角法，正弦和角公式求出答案.
【详解】因为，都是锐角，所以，
故，
又，所以，
所以
.
故选：B
5．D
【分析】根据点在图象上求出的值，根据五点作图法求出的值，进而得到函数解析式，从而算出.
【详解】由图可知，点在图象上，所以，则，
又知点在的增区间上，所以；
由五点作图法可知，，解得，
所以，
则，
故选：D．
6．A
【分析】根据函数的奇偶性以及已知条件，求得的周期；再根据函数的周期性，结合奇偶性即可求得函数值.
【详解】因为为奇函数，所以，因为为偶函数，所以，即，
从而，得 ，
所以以4为周期的周期函数，
，
，
所以．
故选：A
7．A
【分析】由题意构造函数，结合指数函数单调性以及定点画出函数图象即可得解.
【详解】由题意，
所以令，
所以问题等价于比较的图象分别与的图象三个交点横坐标的大小关系，
而均过点，
则由指数函数单调性可知，的图象分别与的图象三个交点横坐标如图所示：
则.
故选：A.
8．A
【分析】因为，所以或，只需的图象与直线有3个交点，据此即可求解.
【详解】因为，
所以或，因为关于x的方程有6个不同的实数根，
所以的图象与直线和直线有6个不同的交点，
如图的图象与直线有3个交点，
所以只需的图象与直线有3个交点，
所以.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于因为，所以或，只需的图象与直线有3个交点的分析.
9．ACD
【分析】根据不等式的性质,结合作差法逐个选项判断即可.
【详解】对A，因为，故，故A正确；
对B，因为，故，故B错误；
对C，，因为，
则，故，故C正确；
对D，易得为增函数，且，故，故D正确.
故选：ACD
10．BCD
【分析】由复合函数的单调性可判断A选项；利用扇形的面积公式可判断B选项；利用存在量词命题的否定可判断C选项；利用二次不等式恒成立可判断D选项.
【详解】对于A选项，对于函数，有，
即，即，解得，
所以，函数的定义域为，
内层函数的增区间为，减区间为，
外层函数为上的减函数，
由复合函数的单调性可知，函数函数单调递增区间为，A错；
对于B选项，若一扇形弧长为，圆心角为，其弧度为，
扇形的半径为，故该扇形的面积为，B对；
对于C选项，由存在量词命题的否定可知，
命题“，”的否定形式是“，”，C对；
对于D选项，若命题“，”为真命题，则，解得，D对.
故选：BCD.
11．CD
【分析】根据图象变换结合诱导公式可得，再根据余弦函数性质逐项分析判断.
【详解】将图象上所有点的横坐标都缩短到原来的，得到，
再把所得图象向右平移个单位后，得到，
对于选项A：显然的定义域为，且，
可知是偶函数，故A错误；
对于选项B：若，则，可得，
所以，故B错误；
对于选项C：若，则，且在内单调递减，
所以在区间上单调递增，故C正确；
对于选项D：，所以点是的图象的一个对称中心，故D正确；
故选：CD.
12．BC
【分析】根据给出的聚点定义逐项进行判断即可得出答案．
【详解】对于A，集合中的元素除了第一项0之外，其余的都至少比0大，
则当的时候，不存在满足得的x， 0不是集合的聚点，A不是；
对于B，集合中的元素，对于任意的，取，当时，，
则0是集合的聚点，B是；
对于C，，，对于任意的，由，得，
于是对于任意的，取，当时，，
则0是集合的聚点，C是；
对于D，，，因此当时，不存在满足的，
则0不是集合的聚点，D不是.
故选：BC
【点睛】思路点睛：集合新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数的性质结合，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决.
13．
【分析】由同角三角函数的基本关系式化简求值即可.
【详解】，
因为，所以.
故答案为：.
14．3
【分析】根据分段函数的定义，分别在和范围内求出使时实数的值即可.
【详解】当时，，解得（舍）；
当时，，解得或（舍），
所以实数的值为3，
故答案为：3.
15．4
【分析】根据得到，将化为，根据均值不等式即可求解.
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
16．
【分析】根据函数的奇偶性求出k的值，即得的表达式，函数无零点，即无实数解，令，即将问题转化为的图象与直线无交点，进而求出的范围，即可求得答案.
【详解】由题意知函数是偶函数，
故对于，有，
即，
故，
故，由于，故；
函数无零点，即无实数解，
即无实数解，
令，则的图象与直线无交点；
而，
由于在R上单调递减，故在R上单调递减，
当x趋向于无穷大时，无限趋近于0，且，故，且可无限接近于1，
当x趋向于负穷大时，趋近于正无穷大，
故，
故要使得的图象与直线无交点，需满足，
即实数的取值范围为，
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题考查了函数奇偶性的应用以及零点问题，解答的关键在于将函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，即可解决.
17．（1）17；（2）
【分析】（1）由指数、对数运算性质运算即可；（2）由诱导公式化简即可求解.
【详解】（1）
．
（2）
.
18．(1)
(2)
【分析】（1）由判别式为0可得；
（2）由得，然后对分类讨论可得；
【详解】（1）集合B元素个数为1．，
即，解得：；
（2）∵，∴
对集合B讨论：
当时，即时，，满足条件；
当时，即，此时，满足条件；
当时，要满足条件，必有，
由根与系数的关系有：，此方程组无解，不满足条件舍去
综上所述，实数a的取值范围是
19．(1)，
(2)最小值为2，最大值为3
【分析】（1）利用辅助角公式化简函数的解析式，然后通过对称性和周期得到，然后求解单调区间．
（2）由的取值范围，求出的取值范围，然后根据正弦函数的性质求解函数的值域即可．
【详解】（1）∵，
由函数的最小正周期T满足，得，解得，
又因为函数图象关于直线对称，所以，
所以，所以，所以，
由，，得，
∴函数的单调增区间为，.
（2）∵，∴，，
由，∴当或时，，当时，
20．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用已知解集求出参数，解不含参数的不等式即可.
（2）分类讨论求解不等式即可.
【详解】（1）由题意得的解集是或，故的解是或，由韦达定理得，，解得，，故求的解集即可，解得，
（2）由得，故求的解集即可，
，开口向上，化简得，
令，解得或，
当时，，此时解集为，
当时，解得，此时令，解得，
当时，解得，此时令，解得，
综上当时，，当时，.
21．(1)
(2)当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元
【分析】（1）用单株产量乘以水果的市场售价减去肥料的成本、人工投人成本得出该果树的单株利润；
（2）利用配方法、基本不等式求出的最大值可得答案．
【详解】（1）由题可知
，
；
（2）由（1）得
，
当时，；
当时，；
（当且仅当时，即时等号成立）
因为，所以当时，，
所以当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元.
22．(1)
(2)
【分析】（1）通过列方程组的方法来求得的解析式；
（2）先求得的值域，利用换元法，结合函数的单调性求得的值域，由此列不等式来求得的取值范围.
【详解】（1），
将x替换成，得，
联立两式，，解得．
（2）因为在上单调递增，
所以，
对于，不妨取，
则，
因为，所以，，
则，即，故在上单调递增，
又在上单调递增，且在上恒成立，
所以在上单调递增，
因为，，所以在上单调递增，且恒成立，
所以在上单调递增，
则，，
因为，，使，
所以的值域是的值域的子集．
故，即，解得（负值舍去），
所以．
【点睛】求解两个函数相等的恒成立、存在性问题，可以转化为两个函数值域的包含关系，列不等式来进行求解.求解对钩型函数的单调性、值域等问题，可以先判断出函数的单调性，从而求得函数的值域（或最值）.
答案第1页，共2页
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