第二单元圆柱和圆锥(知识精讲+典题精练)讲义2023-2024学年六年级下册数学苏教版（含解析）
文档属性
| 名称 | 第二单元圆柱和圆锥(知识精讲+典题精练)讲义2023-2024学年六年级下册数学苏教版（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 261.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-02 13:10:17 | ||
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文档简介
第二单元圆柱和圆锥(知识精讲+典题精练)
2023-2024学年六年级下册数学重难点单元培优讲义
(苏教版)
1．圆柱的侧面积、表面积和体积
【知识点归纳】
圆柱的侧面积＝底面的周长×高，用字母表示：
S侧＝Ch（C表示底面的周长，h表示圆柱的高），或S侧＝2πrh
圆柱的底面积＝πr2
圆柱的表面积＝侧面积+两个底面积，用字母表示：
S表＝2πr2+2πrh
圆柱的体积＝底面积×高，用字母表示：
V＝πr2h．
2．圆锥的体积
【知识点归纳】
圆锥体积＝×底面积×高，用字母表示：
V＝Sh＝πr2h，（S表示底面积，h表示高）
3．圆锥的特征
【知识点归纳】
圆锥是由一个底面和一个侧面两部分组成的，它的底面是一个圆，侧面是一个曲面．
4．关于圆锥的应用题
【知识点归纳】
以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．
圆锥的性质：圆锥的底面是一个圆，圆锥的轴截面都是等腰三角形，圆锥侧面展开图是扇形．
圆锥的高：圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的距离叫做圆锥的高．
底面周长＝2πr，
圆锥的表面积由侧面积和底面积两部分组成，全面积（S）＝S侧+S底．
一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的．
圆锥体积公式：V＝Sh，其中S是圆柱的底面积，h是圆柱的高，r是圆柱的底面半径．
一．选择题（共7小题）
1．如图中甲是用20个硬币堆成的，底面是个圆形，面积是5.4cm2，它的高度是4cm；再用这20个硬币重新堆成乙图，乙的高度（ ）
A．大于4cm B．等于4cm C．小于4cm D．无法判断
2．如图，圆柱形容器内的沙子（阴影）占容器容积的（ ）内正好倒满。
A． B． C． D．
3．如图，一个拧紧瓶盖的瓶子里装了一些水，根据图中数据（ ）
A． B． C． D．
4．将直角三角形沿一条直角边旋转，得到的立体图形是（ ）
A． B． C． D．
5．一个圆柱体的体积是50立方厘米，如果圆柱的底面半径扩大到原来的2倍，高不变（ ）
A．100立方厘米 B．150立方厘米
C．200立方厘米 D．400立方厘米
6．一个高为6cm的圆锥，沿高切开，表面积增加了12cm2，这个圆锥的体积是（ ）cm3。
A．24π B．8π C．2π D．6π
7．下面四个立体图形，体积相等的有（ ）
A．①② B．①③ C．③④ D．①④
二．填空题（共7小题）
8．把一个圆锥从顶点沿高将它切成两半，表面积增加了48cm2，已知圆锥的底面周长是25.12cm，那么这个圆锥的体积是 cm3。
9．有一张长方形硬纸板（如图），如果将它沿图中虚线剪开，把其中一个直角三角形绕它的一条直角边旋转一周，这个立体图形的体积最小是 立方厘米。
10．两个大小相同的量杯中盛有同样多的水。将等底等高的圆柱、圆锥形零件分别放入两个量杯中，量杯水面刻度如图所示，则圆锥的体积是 立方厘米，原来每个量杯盛水 毫升。
11．如图是一个长方形，它以AB为轴旋转一周，得到的立体图形是 ，它的体积是 cm3。
12．如图所示，把底面直径为8cm的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体。这个长方体的表面积比原来增加80cm2，这个圆柱的高是 cm，长方体的体积是 cm3。
13．把一根圆柱形钢材切削成一个最大的圆锥，切削掉部分的体积为12dm3，这根圆柱形钢材的体积是 dm3。
14．如图所示，把底面半径是3厘米，高是9厘米的圆柱形木料沿着直径截成两个半圆柱 平方厘米。
三．判断题（共8小题）
15．圆柱的体积比与它等底等高的圆锥的体积多。
16．如果圆锥的高是圆柱的高的3倍，那么它们的体积相等． ．
17．若圆锥的体积等于圆柱体积的，则圆锥和圆柱一定等底等高。
18．一个直角三角形绕着其中一条边旋转一周，不一定能得到一个圆锥。
19．手工课上，小雨把圆柱体橡皮泥捏成长方体，体积变小了。
20．把一个圆柱削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是圆锥体积的2倍．
21．两个等体积等高的长方体和圆柱，它们的底面积一定相等。
22．一个圆柱和一个圆锥等底、等高，且它们的体积相差36立方米，则圆锥的体积是12立方米。
四．计算题（共2小题）
23．求圆锥的体积。
24．计算如图所示图形的表面积。
五．应用题（共7小题）
25．某工地有一个近似圆锥形的沙堆，量得它的底面周长是18.84m，高是1.2m。如果每立方米沙子重1.6t（得数保留整数）
26．学校把一个底面直径是6米，高是0.4米的圆锥形沙堆，填铺到一个长6米，可以铺多厚？
27．如图所示，一块长方形硬纸板，刚好能做成一个圆柱形笔筒（连接处忽略不计）
28．一个圆柱形水池装满水，它的底面积是12.56平方米，深3米，长方体的水面高是多少米？
29．从古代一直到近代，匠人们打铁时，用火将铁烧红变软，最后放到凉水里迅速冷却，以增加铁的硬度，击打成与它底面大小相同的圆锥形状，然后完全没入一底面积为31.4平方分米的长方体容器里淬火（损耗忽略不计）
30．一个圆柱形粮仓，高10m，现在需要把这个粮仓加高4m2，加高后粮仓的容积是多少立方米？
31．如图放置的是一个上面是圆锥形下面是圆柱形的容器。此时容器内的液面高度是12厘米，当把这个容器倒过来时，从尖部到液面的高是多少厘米？
第二单元圆柱和圆锥(知识精讲+典题精练)-2023-2024学年六年级下册(苏教版)
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．【答案】B
【分析】甲乙两图都是由20个硬币堆成的，厚度一样，所以乙的高等于甲的高。
【解答】解：因为两个图形的高都有20个硬币，所以乙图的高等于甲图的高。
故选：B。
【点评】解答此题关键是理解两个图形的高就是硬币的厚度和。
2．【答案】D
【分析】先利用圆柱的容积公式V＝Sh，求出圆柱内沙子的体积，再利用圆锥的体积公式V＝Sh，分别计算出各选项中圆锥的容积即可进行选择。
【解答】解：沙子的体积占圆柱容积的是：
16×π×（10÷8）2÷3
＝16π×25÷8
＝π
A：×π×（16÷2）2×10
＝π×64×10
＝π
所以把圆柱内的沙子倒入此圆锥中不能倒满；
B：×π×（10÷2）5×12
＝π×25×12
＝100π
所以把圆柱内的沙子倒入此圆锥中能倒满，但还有剩余；
C：×π×
＝π×16×16
＝π
所以把圆柱内的沙子倒入此圆锥中能倒满，但还有剩余；
D：根据图形可知此圆锥与题干中的圆柱等底等高，所以它的容积等于圆柱的容积的，正好倒满。
故选：D。
【点评】此题考查圆柱的体积是它等底等高的圆锥的体积的3倍。
3．【答案】C
【分析】因为把瓶盖拧紧后，瓶子无论正放还是倒放，瓶子里水的体积不变，通过观察图形可知，这个瓶子的容积相当于高是（16﹣14+10）厘米，以瓶子的底面为底面的圆柱的体积，根据圆柱的体积公式：V＝Sh，当圆柱的底面积不变时，圆柱体积和高成正比例，所以瓶中水的体积与瓶子容积的比等于水的高与圆柱高的比，据此解答即可。
【解答】解：10：（16﹣14+10）
＝10：12
＝5：6
＝
答：瓶中水的体积占瓶子容积的。
故选：C。
【点评】此题主要考查圆柱体积公式的灵活运用，关键是明确：当圆柱的底面积不变时，圆柱体积和高成正比例。
4．【答案】C
【分析】根据圆锥的定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥；由此解答。
【解答】解：根据圆锥的定义，直角三角形绕着一条直角边旋转一周。故选：C。
【点评】此题考查的目的是使学生掌握圆锥的特征。
5．【答案】C
【分析】因为圆柱的体积＝πr2h，其中π是定值，若h不变，则圆柱的体积与r2成正比例，所以r扩大到原来的2倍，则r2扩大到原来的22＝4倍，即体积扩大到原来的4倍，据此即可解答问题。
【解答】解：根据题干分析可得：如果高不变，底面半径扩大到原来的2倍2＝8倍，
50×4＝200（立方厘米）
答：得到的圆柱的体积是200立方厘米。
故选：C。
【点评】此题考查了圆柱的体积公式和正比例的性质的灵活应用。
6．【答案】C
【分析】根据题意可知，把这个圆锥沿高切开，得到两个半圆锥，表面积增加了12平方厘米，表面积增加的是两个切面的面积，每个切面的底等于圆锥的底面直径，每个切面的高等于圆锥的高，根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，那么a＝2S÷h，据此求出圆锥的底面直径，再根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。
【解答】解：12÷2＝6（平方厘米）
5×2÷6
＝12÷4
＝2（厘米）
×π×（2÷2）8×6
＝×π×1×6
＝8π（立方厘米）
答：圆锥的体积是2π立方厘米。
故选：C。
【点评】此题考查的目的是理解掌握圆锥的特征及应用，三角形的面积公式、圆锥的体积公式及应用。
7．【答案】D
【分析】因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以当圆柱与圆锥的体积相等，底面积也相等时，圆柱的高是圆锥高的。据此解答即可。
【解答】解：12×＝8
所以体积相等是①和④。
故选：D。
【点评】此题考查的目的是理解掌握等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用。
二．填空题（共7小题）
8．【答案】301.44。
【分析】根据圆锥的特征可知，把一个圆锥从顶点沿高将它切成两半，表面积增加了48平方厘米，表面积增加的是两个完全一样的三角形的面积，每个三角形的底等于圆锥的底面直径，每个三角形的高等于圆锥的高，根据圆的周长公式：C＝πd，那么d＝C÷π，据此可以求出圆锥的底面直径，根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，那么h＝2S÷a，据此可以求出圆锥的高，然后根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式求出这个圆锥的体积。
【解答】解：25.12÷3.14＝8（厘米）
48÷5×2÷8
＝48÷2
＝6（厘米）
3.14×（2÷2）2×4
＝3.14×16×6
＝50.24×7
＝301.44（立方厘米）
答：这个圆锥的体积是301.44立方厘米。
故答案为：301.44。
【点评】此题考查的目的是理解掌握圆锥的特征及应用，三角形的面积公式、圆的周长公式、圆锥的体积公式及应用，关键是熟记公式。
9．【答案】37.68。
【分析】根据圆锥的特征可知，以较长的直角边为轴旋转形成圆锥的底面半径是3厘米，高是4厘米；以较段的直角边为轴旋转形成圆锥的底面半径是4厘米，高是3厘米；根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式求出两个圆锥的体积，然后进行比较即可。
【解答】解：×3.14×32×7
＝×4.14×9×4
＝37.68（立方厘米）
×3.14×52×3
＝×3.14×16×5
＝50.24（立方厘米）
37.68＜50.24
答：这个立体图形的体积最小是37.68立方厘米。
故答案为：37.68。
【点评】此题考查的目的是理解掌握圆锥的特征及应用，圆锥的体积公式及应用，关键是熟记公式。
10．【答案】120；380。
【分析】当圆柱和圆锥等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，圆锥的体积是圆柱体积的，把圆柱的体积看作单位“1”，圆锥的体积比圆柱少（1﹣），放入圆锥后上升部分水的体积比放入圆柱后上升部分水的体积少（740﹣500）毫升，根据量÷对应的分率＝单位“1”表示出圆柱的体积，圆锥的体积＝圆柱的体积×，原来量杯中水的体积＝水和圆锥的总体积﹣圆锥的体积，据此解答。
【解答】解：740﹣500＝240（毫升）
240毫升＝240立方厘米
240÷（1﹣）×
＝240÷×
＝240××
＝360×
＝120（立方厘米）
120立方厘米＝120毫升
500﹣120＝380（毫升）
答：圆锥的体积是120立方厘米，原来每个量杯盛水380毫升。
故答案为：120；380。
【点评】掌握等底等高的圆锥和圆柱之间的体积关系，并利用分数除法表示出圆柱的体积是解答题目的关键。
11．【答案】圆柱，150.72。
【分析】通过观察图形可知，以AB为轴旋转一周得到一个底面半径的4厘米，高是3厘米的圆柱，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。
【解答】解：3.14×42×3
＝3.14×16×6
＝50.24×3
＝150.72（立方厘米）
答：得到的立体图形是圆柱，它的体积是150.72立方厘米。
故答案为：圆柱，150.72。
【点评】此题考查的目的是理解掌握圆柱的特征及应用，圆柱的体积公式及应用，关键是熟记公式。
12．【答案】10，502.4。
【分析】根据圆柱体积公式的推导过程可知，把一个圆柱切拼成一个近似长方体，这个长方体的表面积比圆柱的表面积增加了长方体左右两个面的面积，长方体左右面的长等于圆柱的高，宽等于圆柱的底面半径。已知这个长方体的表面积比原来增加80平方厘米，由此可以求出圆柱的高，然后根据圆柱的体积公式：V＝Sh，把数据代入公式解答。
【解答】解：80÷2÷（8÷7）
＝40÷4
＝10（厘米）
3.14×（7÷2）2×10
＝4.14×16×10
＝50.24×10
＝502.4（立方厘米）
答：圆柱的高是10cm，圆柱的体积是502.4cm4。
故答案为：10，502.4。
【点评】此题考查的目的是理解掌握圆柱体积公式的推导过程，以及圆柱体积公式的灵活运用。
13．【答案】18。
【分析】根据圆柱体积是与它等底等高的圆锥体积的3倍，那么切削掉部分的体积就是圆柱体积的，据此解答。
【解答】解：12÷＝18（dm2）
答：这根圆柱形钢材的体积是18dm3。
故答案为：18。
【点评】本题考查的是圆柱和圆锥体积的计算，掌握圆柱体积是与它等底等高的圆锥体积的的关系是解答关键。
14．【答案】108。
【分析】根据题意可知，把这个圆柱沿底面直径和高切开，两个半圆柱的表面积之和比原来的圆柱表面积增加两个切面的面积，每个切面的长等于圆柱的高，每个切面的宽等于圆柱的底面直径，根据长方形的面积公式：S＝ab，把数据代入公式解答。
【解答】解：9×（3×8）×2
＝9×3×2
＝54×2
＝108（平方厘米）
答：两个半圆柱的表面积之和比原来的圆柱表面积增加108平方厘米。
故答案为：108。
【点评】此题考查的目的是理解掌握圆柱表面积的意义及应用，长方形的面积公式及应用。
三．判断题（共8小题）
15．【答案】×
【分析】因为圆柱的体积等于和它等底等高的圆锥的体积的3倍，把圆锥的体积看作单位“1”，圆柱的体积则是3，根据求一个数比另一个数多（或少）几分之几的计算方法，用“（大数﹣小数）÷单位“1”的量”，则为（3﹣1）÷1＝2倍；得出结论。
【解答】解：（3﹣1）÷5＝2
因此圆柱的体积比与它等底等高的圆锥的体积多2倍。
故答案为：×。
【点评】解答此题的关键是应根据圆柱和它等底等高的圆柱锥体积的关系，进行分析、解答即可得出结论。
16．【答案】见试题解答内容
【分析】圆柱的体积＝底面积×高，圆锥的体积＝×底面积×高，由此根据体积公式即可推理解答．
【解答】解：圆柱与圆锥的体积不仅与它的高有关，还与它们的底面积有关，那么它们的体积相等”才成立，
所以原题说法错误．
故答案为：×．
【点评】此题考查了圆柱与圆锥的体积公式的灵活应用，要求小学生要注意数学语言的严密性和准确性．
17．【答案】×
【分析】等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，若圆锥的体积等于圆柱体积的，则圆锥和圆柱不一定等底等高。据此判断。
【解答】解：若圆锥的体积等于圆柱体积的，则圆锥和圆柱不一定等底等高。
因此，题干中的结论是错误的。
故答案为：×。
【点评】此题考查的目的是理解掌握等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用。
18．【答案】√
【分析】根据圆锥的定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥，由此解答。
【解答】解：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥，不能得到一个圆锥。
故答案为：√。
【点评】本题考查了圆锥的特征。
19．【答案】×
【分析】把圆柱体橡皮泥捏成长方体，只是形状发生了变化，体积不变。
【解答】解：手工课上，小雨把圆柱体橡皮泥捏成长方体。原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】本题考查了体积的认识及应用。
20．【答案】√
【分析】圆柱的体积是和它等底等高的圆锥体积的三倍，把圆柱削成最大的圆锥，则圆锥与圆柱等底等高，削去了两个圆锥的体积．也就是削去部分的体积是圆锥体积的2倍．
【解答】解：V圆柱＝3V圆锥
（V圆柱﹣V圆锥）÷V圆锥
＝2V圆锥÷V圆锥
＝7
答：削去部分的体积是圆锥体积的2倍．
所以原题的说法正确．
故答案为：√．
【点评】解答此题应明确等底等高的圆柱是圆锥的体积的3倍，是解答此题的关键．
21．【答案】√
【分析】运用V＝Sh进行解答即可。
【解答】解：长方体体积＝S长方体底面积×高
圆柱体积＝S圆柱底面积×高
因为体积、高相等；
所以它们的底面积相等。题干说法正确。
故答案为：√。
【点评】本题考查了V＝Sh公式的灵活运用。
22．【答案】×
【分析】等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍，已知它们的体积相差36立方米，则圆锥的体积是体积之差的，由此计算得出圆锥的体积进行判断。
【解答】解：36×＝18（立方米）
所以圆锥的体积是18立方米，原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】此题考查了等底等高的圆柱与圆锥体积的倍数关系的灵活应用。
四．计算题（共2小题）
23．【答案】100.48立方米。
【分析】根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。
【解答】解：2.14×（25.12÷3.14÷2）7×6
＝3.14×16×6
＝100.48（立方米）
答：这个圆锥的体积是100.48立方米。
【点评】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
24．【答案】244.92平方厘米。
【分析】根据圆柱的表面积公式：S表＝S侧+S底×2，把数据代入公式解答。
【解答】解：2×3.14×5×10+3.14×36×2
＝188.4+5.14×9×2
＝188.5+56.52
＝244.92（平方厘米）
答：这个圆柱的表面积是244.92平方厘米。
【点评】此题主要考查圆柱表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
五．应用题（共7小题）
25．【答案】18吨。
【分析】要求这堆沙子的重量，先求得沙堆的体积，沙堆的形状是圆锥形的，利用圆锥的体积计算公式V＝πr2h求得体积，进一步再求沙堆的重量，问题得解。
【解答】解：×5.14×（18.84÷3.14÷2）7×1.2
＝×3.14×72×1.8
＝3.14×9×8.4
＝11.304（立方米）
11.304×1.5≈18（吨）
答：这堆沙约有18吨。
【点评】此题主要考查圆锥的体积计算公式V＝πr2h，运用公式计算时不要漏乘。
26．【答案】0.2米。
【分析】根据圆锥的体积＝底面积×高÷3，求出圆锥的体积，再根据长方体体积＝长×宽×高，高＝长方体体积÷长÷宽，据此解答。
【解答】解：3.14×（6÷2）×（6÷2）×2.4÷3÷8÷3.14
＝3.768÷5÷3.14
＝0.8（米）
答：可以铺0.2米厚。
【点评】本题考查的是圆锥的体积，熟记公式是解答关键。
27．【答案】1570立方厘米。
【分析】由图可知，圆柱形笔筒的底面周长与底面直径的和等于41.4厘米，圆柱形笔筒的高等于底面直径的2倍；据此先求出圆柱形笔筒的底面直径，进一步求出高，即可求出这个笔筒的体积。
【解答】解：圆柱形笔筒的底面直径：
41.4÷（3.14+7）
＝41.4÷4.14
＝10（厘米）
圆柱形笔筒的高：
10×3＝20（厘米）
圆柱形笔筒的体积：
3.14×（10÷2）8×20
＝78.5×20
＝1570（立方厘米）
答：这个笔筒的体积为1570立方厘米。
【点评】本题考查了圆柱的体积的计算，求出圆柱的底面直径是解答本题的关键。
28．【答案】1.57米。
【分析】把圆柱形水池装满水，然后倒进长方体水池里，只是形状改变了，但水的体积没有变．首先根据圆柱的容积公式：V＝Sh，求出圆柱形水池的容积，再除以长方体的底面积就是这时水的深度，据此即可解答。
【解答】解：12.56×3÷（8×4）
＝37.68÷24
＝1.57（米）
答：长方体的水面高是1.57米。
【点评】此题属于长方体和圆柱的体积的实际应用，解答此题主要分清所求物体的形状，根据长方体和圆柱的体积的计算方法解决问题。
29．【答案】45厘米。
【分析】根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，圆锥的体积公式：V＝πr2h，那么h＝V÷÷πr2，把数据代入公式解答。
【解答】解：31.4平方分米＝3140平方厘米
3140×1.5÷÷（4.14×102）
＝4710×3÷（3.14×100）
＝14130÷314
＝45（厘米）
答：这个圆锥的高是45厘米。
【点评】此题主要考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
30．【答案】175.84立方米。
【分析】侧面积就增加 50.24m2，用侧面积除以增加的高4米，求出底面周长，再由底面周长求出底面积，用底面积乘总高度即可求出加高后粮仓的容积。
【解答】解：50.24÷4＝12.56（米）
12.56÷3.14÷8＝2（米）
2×4×3.14＝12.56（平方米）
10+4＝14（米）
12.56×14＝175.84（立方米）
答：加高后粮仓的容积是175.84立方米。
【点评】掌握圆柱的表面积公式和体积公式是解题关键。
31．【答案】22厘米。
【分析】因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以当圆柱与圆锥的体积相等，底面积也相等时，圆柱的高是圆锥高的，也就是圆柱部分高（15×）厘米的水倒入圆锥容器中正好倒满，然后再加上圆柱部分剩下水的高即可。
【解答】解：15+（12﹣15×）
＝15+（12﹣2）
＝15+7
＝22（厘米）
答：当把这个容器倒过来时，从尖部到液面的高是22厘米。
【点评】此题考查的目的是理解掌握等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用。
2023-2024学年六年级下册数学重难点单元培优讲义
(苏教版)
1．圆柱的侧面积、表面积和体积
【知识点归纳】
圆柱的侧面积＝底面的周长×高，用字母表示：
S侧＝Ch（C表示底面的周长，h表示圆柱的高），或S侧＝2πrh
圆柱的底面积＝πr2
圆柱的表面积＝侧面积+两个底面积，用字母表示：
S表＝2πr2+2πrh
圆柱的体积＝底面积×高，用字母表示：
V＝πr2h．
2．圆锥的体积
【知识点归纳】
圆锥体积＝×底面积×高，用字母表示：
V＝Sh＝πr2h，（S表示底面积，h表示高）
3．圆锥的特征
【知识点归纳】
圆锥是由一个底面和一个侧面两部分组成的，它的底面是一个圆，侧面是一个曲面．
4．关于圆锥的应用题
【知识点归纳】
以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．
圆锥的性质：圆锥的底面是一个圆，圆锥的轴截面都是等腰三角形，圆锥侧面展开图是扇形．
圆锥的高：圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的距离叫做圆锥的高．
底面周长＝2πr，
圆锥的表面积由侧面积和底面积两部分组成，全面积（S）＝S侧+S底．
一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的．
圆锥体积公式：V＝Sh，其中S是圆柱的底面积，h是圆柱的高，r是圆柱的底面半径．
一．选择题（共7小题）
1．如图中甲是用20个硬币堆成的，底面是个圆形，面积是5.4cm2，它的高度是4cm；再用这20个硬币重新堆成乙图，乙的高度（ ）
A．大于4cm B．等于4cm C．小于4cm D．无法判断
2．如图，圆柱形容器内的沙子（阴影）占容器容积的（ ）内正好倒满。
A． B． C． D．
3．如图，一个拧紧瓶盖的瓶子里装了一些水，根据图中数据（ ）
A． B． C． D．
4．将直角三角形沿一条直角边旋转，得到的立体图形是（ ）
A． B． C． D．
5．一个圆柱体的体积是50立方厘米，如果圆柱的底面半径扩大到原来的2倍，高不变（ ）
A．100立方厘米 B．150立方厘米
C．200立方厘米 D．400立方厘米
6．一个高为6cm的圆锥，沿高切开，表面积增加了12cm2，这个圆锥的体积是（ ）cm3。
A．24π B．8π C．2π D．6π
7．下面四个立体图形，体积相等的有（ ）
A．①② B．①③ C．③④ D．①④
二．填空题（共7小题）
8．把一个圆锥从顶点沿高将它切成两半，表面积增加了48cm2，已知圆锥的底面周长是25.12cm，那么这个圆锥的体积是 cm3。
9．有一张长方形硬纸板（如图），如果将它沿图中虚线剪开，把其中一个直角三角形绕它的一条直角边旋转一周，这个立体图形的体积最小是 立方厘米。
10．两个大小相同的量杯中盛有同样多的水。将等底等高的圆柱、圆锥形零件分别放入两个量杯中，量杯水面刻度如图所示，则圆锥的体积是 立方厘米，原来每个量杯盛水 毫升。
11．如图是一个长方形，它以AB为轴旋转一周，得到的立体图形是 ，它的体积是 cm3。
12．如图所示，把底面直径为8cm的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体。这个长方体的表面积比原来增加80cm2，这个圆柱的高是 cm，长方体的体积是 cm3。
13．把一根圆柱形钢材切削成一个最大的圆锥，切削掉部分的体积为12dm3，这根圆柱形钢材的体积是 dm3。
14．如图所示，把底面半径是3厘米，高是9厘米的圆柱形木料沿着直径截成两个半圆柱 平方厘米。
三．判断题（共8小题）
15．圆柱的体积比与它等底等高的圆锥的体积多。
16．如果圆锥的高是圆柱的高的3倍，那么它们的体积相等． ．
17．若圆锥的体积等于圆柱体积的，则圆锥和圆柱一定等底等高。
18．一个直角三角形绕着其中一条边旋转一周，不一定能得到一个圆锥。
19．手工课上，小雨把圆柱体橡皮泥捏成长方体，体积变小了。
20．把一个圆柱削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是圆锥体积的2倍．
21．两个等体积等高的长方体和圆柱，它们的底面积一定相等。
22．一个圆柱和一个圆锥等底、等高，且它们的体积相差36立方米，则圆锥的体积是12立方米。
四．计算题（共2小题）
23．求圆锥的体积。
24．计算如图所示图形的表面积。
五．应用题（共7小题）
25．某工地有一个近似圆锥形的沙堆，量得它的底面周长是18.84m，高是1.2m。如果每立方米沙子重1.6t（得数保留整数）
26．学校把一个底面直径是6米，高是0.4米的圆锥形沙堆，填铺到一个长6米，可以铺多厚？
27．如图所示，一块长方形硬纸板，刚好能做成一个圆柱形笔筒（连接处忽略不计）
28．一个圆柱形水池装满水，它的底面积是12.56平方米，深3米，长方体的水面高是多少米？
29．从古代一直到近代，匠人们打铁时，用火将铁烧红变软，最后放到凉水里迅速冷却，以增加铁的硬度，击打成与它底面大小相同的圆锥形状，然后完全没入一底面积为31.4平方分米的长方体容器里淬火（损耗忽略不计）
30．一个圆柱形粮仓，高10m，现在需要把这个粮仓加高4m2，加高后粮仓的容积是多少立方米？
31．如图放置的是一个上面是圆锥形下面是圆柱形的容器。此时容器内的液面高度是12厘米，当把这个容器倒过来时，从尖部到液面的高是多少厘米？
第二单元圆柱和圆锥(知识精讲+典题精练)-2023-2024学年六年级下册(苏教版)
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．【答案】B
【分析】甲乙两图都是由20个硬币堆成的，厚度一样，所以乙的高等于甲的高。
【解答】解：因为两个图形的高都有20个硬币，所以乙图的高等于甲图的高。
故选：B。
【点评】解答此题关键是理解两个图形的高就是硬币的厚度和。
2．【答案】D
【分析】先利用圆柱的容积公式V＝Sh，求出圆柱内沙子的体积，再利用圆锥的体积公式V＝Sh，分别计算出各选项中圆锥的容积即可进行选择。
【解答】解：沙子的体积占圆柱容积的是：
16×π×（10÷8）2÷3
＝16π×25÷8
＝π
A：×π×（16÷2）2×10
＝π×64×10
＝π
所以把圆柱内的沙子倒入此圆锥中不能倒满；
B：×π×（10÷2）5×12
＝π×25×12
＝100π
所以把圆柱内的沙子倒入此圆锥中能倒满，但还有剩余；
C：×π×
＝π×16×16
＝π
所以把圆柱内的沙子倒入此圆锥中能倒满，但还有剩余；
D：根据图形可知此圆锥与题干中的圆柱等底等高，所以它的容积等于圆柱的容积的，正好倒满。
故选：D。
【点评】此题考查圆柱的体积是它等底等高的圆锥的体积的3倍。
3．【答案】C
【分析】因为把瓶盖拧紧后，瓶子无论正放还是倒放，瓶子里水的体积不变，通过观察图形可知，这个瓶子的容积相当于高是（16﹣14+10）厘米，以瓶子的底面为底面的圆柱的体积，根据圆柱的体积公式：V＝Sh，当圆柱的底面积不变时，圆柱体积和高成正比例，所以瓶中水的体积与瓶子容积的比等于水的高与圆柱高的比，据此解答即可。
【解答】解：10：（16﹣14+10）
＝10：12
＝5：6
＝
答：瓶中水的体积占瓶子容积的。
故选：C。
【点评】此题主要考查圆柱体积公式的灵活运用，关键是明确：当圆柱的底面积不变时，圆柱体积和高成正比例。
4．【答案】C
【分析】根据圆锥的定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥；由此解答。
【解答】解：根据圆锥的定义，直角三角形绕着一条直角边旋转一周。故选：C。
【点评】此题考查的目的是使学生掌握圆锥的特征。
5．【答案】C
【分析】因为圆柱的体积＝πr2h，其中π是定值，若h不变，则圆柱的体积与r2成正比例，所以r扩大到原来的2倍，则r2扩大到原来的22＝4倍，即体积扩大到原来的4倍，据此即可解答问题。
【解答】解：根据题干分析可得：如果高不变，底面半径扩大到原来的2倍2＝8倍，
50×4＝200（立方厘米）
答：得到的圆柱的体积是200立方厘米。
故选：C。
【点评】此题考查了圆柱的体积公式和正比例的性质的灵活应用。
6．【答案】C
【分析】根据题意可知，把这个圆锥沿高切开，得到两个半圆锥，表面积增加了12平方厘米，表面积增加的是两个切面的面积，每个切面的底等于圆锥的底面直径，每个切面的高等于圆锥的高，根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，那么a＝2S÷h，据此求出圆锥的底面直径，再根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。
【解答】解：12÷2＝6（平方厘米）
5×2÷6
＝12÷4
＝2（厘米）
×π×（2÷2）8×6
＝×π×1×6
＝8π（立方厘米）
答：圆锥的体积是2π立方厘米。
故选：C。
【点评】此题考查的目的是理解掌握圆锥的特征及应用，三角形的面积公式、圆锥的体积公式及应用。
7．【答案】D
【分析】因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以当圆柱与圆锥的体积相等，底面积也相等时，圆柱的高是圆锥高的。据此解答即可。
【解答】解：12×＝8
所以体积相等是①和④。
故选：D。
【点评】此题考查的目的是理解掌握等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用。
二．填空题（共7小题）
8．【答案】301.44。
【分析】根据圆锥的特征可知，把一个圆锥从顶点沿高将它切成两半，表面积增加了48平方厘米，表面积增加的是两个完全一样的三角形的面积，每个三角形的底等于圆锥的底面直径，每个三角形的高等于圆锥的高，根据圆的周长公式：C＝πd，那么d＝C÷π，据此可以求出圆锥的底面直径，根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，那么h＝2S÷a，据此可以求出圆锥的高，然后根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式求出这个圆锥的体积。
【解答】解：25.12÷3.14＝8（厘米）
48÷5×2÷8
＝48÷2
＝6（厘米）
3.14×（2÷2）2×4
＝3.14×16×6
＝50.24×7
＝301.44（立方厘米）
答：这个圆锥的体积是301.44立方厘米。
故答案为：301.44。
【点评】此题考查的目的是理解掌握圆锥的特征及应用，三角形的面积公式、圆的周长公式、圆锥的体积公式及应用，关键是熟记公式。
9．【答案】37.68。
【分析】根据圆锥的特征可知，以较长的直角边为轴旋转形成圆锥的底面半径是3厘米，高是4厘米；以较段的直角边为轴旋转形成圆锥的底面半径是4厘米，高是3厘米；根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式求出两个圆锥的体积，然后进行比较即可。
【解答】解：×3.14×32×7
＝×4.14×9×4
＝37.68（立方厘米）
×3.14×52×3
＝×3.14×16×5
＝50.24（立方厘米）
37.68＜50.24
答：这个立体图形的体积最小是37.68立方厘米。
故答案为：37.68。
【点评】此题考查的目的是理解掌握圆锥的特征及应用，圆锥的体积公式及应用，关键是熟记公式。
10．【答案】120；380。
【分析】当圆柱和圆锥等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，圆锥的体积是圆柱体积的，把圆柱的体积看作单位“1”，圆锥的体积比圆柱少（1﹣），放入圆锥后上升部分水的体积比放入圆柱后上升部分水的体积少（740﹣500）毫升，根据量÷对应的分率＝单位“1”表示出圆柱的体积，圆锥的体积＝圆柱的体积×，原来量杯中水的体积＝水和圆锥的总体积﹣圆锥的体积，据此解答。
【解答】解：740﹣500＝240（毫升）
240毫升＝240立方厘米
240÷（1﹣）×
＝240÷×
＝240××
＝360×
＝120（立方厘米）
120立方厘米＝120毫升
500﹣120＝380（毫升）
答：圆锥的体积是120立方厘米，原来每个量杯盛水380毫升。
故答案为：120；380。
【点评】掌握等底等高的圆锥和圆柱之间的体积关系，并利用分数除法表示出圆柱的体积是解答题目的关键。
11．【答案】圆柱，150.72。
【分析】通过观察图形可知，以AB为轴旋转一周得到一个底面半径的4厘米，高是3厘米的圆柱，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。
【解答】解：3.14×42×3
＝3.14×16×6
＝50.24×3
＝150.72（立方厘米）
答：得到的立体图形是圆柱，它的体积是150.72立方厘米。
故答案为：圆柱，150.72。
【点评】此题考查的目的是理解掌握圆柱的特征及应用，圆柱的体积公式及应用，关键是熟记公式。
12．【答案】10，502.4。
【分析】根据圆柱体积公式的推导过程可知，把一个圆柱切拼成一个近似长方体，这个长方体的表面积比圆柱的表面积增加了长方体左右两个面的面积，长方体左右面的长等于圆柱的高，宽等于圆柱的底面半径。已知这个长方体的表面积比原来增加80平方厘米，由此可以求出圆柱的高，然后根据圆柱的体积公式：V＝Sh，把数据代入公式解答。
【解答】解：80÷2÷（8÷7）
＝40÷4
＝10（厘米）
3.14×（7÷2）2×10
＝4.14×16×10
＝50.24×10
＝502.4（立方厘米）
答：圆柱的高是10cm，圆柱的体积是502.4cm4。
故答案为：10，502.4。
【点评】此题考查的目的是理解掌握圆柱体积公式的推导过程，以及圆柱体积公式的灵活运用。
13．【答案】18。
【分析】根据圆柱体积是与它等底等高的圆锥体积的3倍，那么切削掉部分的体积就是圆柱体积的，据此解答。
【解答】解：12÷＝18（dm2）
答：这根圆柱形钢材的体积是18dm3。
故答案为：18。
【点评】本题考查的是圆柱和圆锥体积的计算，掌握圆柱体积是与它等底等高的圆锥体积的的关系是解答关键。
14．【答案】108。
【分析】根据题意可知，把这个圆柱沿底面直径和高切开，两个半圆柱的表面积之和比原来的圆柱表面积增加两个切面的面积，每个切面的长等于圆柱的高，每个切面的宽等于圆柱的底面直径，根据长方形的面积公式：S＝ab，把数据代入公式解答。
【解答】解：9×（3×8）×2
＝9×3×2
＝54×2
＝108（平方厘米）
答：两个半圆柱的表面积之和比原来的圆柱表面积增加108平方厘米。
故答案为：108。
【点评】此题考查的目的是理解掌握圆柱表面积的意义及应用，长方形的面积公式及应用。
三．判断题（共8小题）
15．【答案】×
【分析】因为圆柱的体积等于和它等底等高的圆锥的体积的3倍，把圆锥的体积看作单位“1”，圆柱的体积则是3，根据求一个数比另一个数多（或少）几分之几的计算方法，用“（大数﹣小数）÷单位“1”的量”，则为（3﹣1）÷1＝2倍；得出结论。
【解答】解：（3﹣1）÷5＝2
因此圆柱的体积比与它等底等高的圆锥的体积多2倍。
故答案为：×。
【点评】解答此题的关键是应根据圆柱和它等底等高的圆柱锥体积的关系，进行分析、解答即可得出结论。
16．【答案】见试题解答内容
【分析】圆柱的体积＝底面积×高，圆锥的体积＝×底面积×高，由此根据体积公式即可推理解答．
【解答】解：圆柱与圆锥的体积不仅与它的高有关，还与它们的底面积有关，那么它们的体积相等”才成立，
所以原题说法错误．
故答案为：×．
【点评】此题考查了圆柱与圆锥的体积公式的灵活应用，要求小学生要注意数学语言的严密性和准确性．
17．【答案】×
【分析】等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，若圆锥的体积等于圆柱体积的，则圆锥和圆柱不一定等底等高。据此判断。
【解答】解：若圆锥的体积等于圆柱体积的，则圆锥和圆柱不一定等底等高。
因此，题干中的结论是错误的。
故答案为：×。
【点评】此题考查的目的是理解掌握等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用。
18．【答案】√
【分析】根据圆锥的定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥，由此解答。
【解答】解：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥，不能得到一个圆锥。
故答案为：√。
【点评】本题考查了圆锥的特征。
19．【答案】×
【分析】把圆柱体橡皮泥捏成长方体，只是形状发生了变化，体积不变。
【解答】解：手工课上，小雨把圆柱体橡皮泥捏成长方体。原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】本题考查了体积的认识及应用。
20．【答案】√
【分析】圆柱的体积是和它等底等高的圆锥体积的三倍，把圆柱削成最大的圆锥，则圆锥与圆柱等底等高，削去了两个圆锥的体积．也就是削去部分的体积是圆锥体积的2倍．
【解答】解：V圆柱＝3V圆锥
（V圆柱﹣V圆锥）÷V圆锥
＝2V圆锥÷V圆锥
＝7
答：削去部分的体积是圆锥体积的2倍．
所以原题的说法正确．
故答案为：√．
【点评】解答此题应明确等底等高的圆柱是圆锥的体积的3倍，是解答此题的关键．
21．【答案】√
【分析】运用V＝Sh进行解答即可。
【解答】解：长方体体积＝S长方体底面积×高
圆柱体积＝S圆柱底面积×高
因为体积、高相等；
所以它们的底面积相等。题干说法正确。
故答案为：√。
【点评】本题考查了V＝Sh公式的灵活运用。
22．【答案】×
【分析】等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍，已知它们的体积相差36立方米，则圆锥的体积是体积之差的，由此计算得出圆锥的体积进行判断。
【解答】解：36×＝18（立方米）
所以圆锥的体积是18立方米，原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】此题考查了等底等高的圆柱与圆锥体积的倍数关系的灵活应用。
四．计算题（共2小题）
23．【答案】100.48立方米。
【分析】根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。
【解答】解：2.14×（25.12÷3.14÷2）7×6
＝3.14×16×6
＝100.48（立方米）
答：这个圆锥的体积是100.48立方米。
【点评】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
24．【答案】244.92平方厘米。
【分析】根据圆柱的表面积公式：S表＝S侧+S底×2，把数据代入公式解答。
【解答】解：2×3.14×5×10+3.14×36×2
＝188.4+5.14×9×2
＝188.5+56.52
＝244.92（平方厘米）
答：这个圆柱的表面积是244.92平方厘米。
【点评】此题主要考查圆柱表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
五．应用题（共7小题）
25．【答案】18吨。
【分析】要求这堆沙子的重量，先求得沙堆的体积，沙堆的形状是圆锥形的，利用圆锥的体积计算公式V＝πr2h求得体积，进一步再求沙堆的重量，问题得解。
【解答】解：×5.14×（18.84÷3.14÷2）7×1.2
＝×3.14×72×1.8
＝3.14×9×8.4
＝11.304（立方米）
11.304×1.5≈18（吨）
答：这堆沙约有18吨。
【点评】此题主要考查圆锥的体积计算公式V＝πr2h，运用公式计算时不要漏乘。
26．【答案】0.2米。
【分析】根据圆锥的体积＝底面积×高÷3，求出圆锥的体积，再根据长方体体积＝长×宽×高，高＝长方体体积÷长÷宽，据此解答。
【解答】解：3.14×（6÷2）×（6÷2）×2.4÷3÷8÷3.14
＝3.768÷5÷3.14
＝0.8（米）
答：可以铺0.2米厚。
【点评】本题考查的是圆锥的体积，熟记公式是解答关键。
27．【答案】1570立方厘米。
【分析】由图可知，圆柱形笔筒的底面周长与底面直径的和等于41.4厘米，圆柱形笔筒的高等于底面直径的2倍；据此先求出圆柱形笔筒的底面直径，进一步求出高，即可求出这个笔筒的体积。
【解答】解：圆柱形笔筒的底面直径：
41.4÷（3.14+7）
＝41.4÷4.14
＝10（厘米）
圆柱形笔筒的高：
10×3＝20（厘米）
圆柱形笔筒的体积：
3.14×（10÷2）8×20
＝78.5×20
＝1570（立方厘米）
答：这个笔筒的体积为1570立方厘米。
【点评】本题考查了圆柱的体积的计算，求出圆柱的底面直径是解答本题的关键。
28．【答案】1.57米。
【分析】把圆柱形水池装满水，然后倒进长方体水池里，只是形状改变了，但水的体积没有变．首先根据圆柱的容积公式：V＝Sh，求出圆柱形水池的容积，再除以长方体的底面积就是这时水的深度，据此即可解答。
【解答】解：12.56×3÷（8×4）
＝37.68÷24
＝1.57（米）
答：长方体的水面高是1.57米。
【点评】此题属于长方体和圆柱的体积的实际应用，解答此题主要分清所求物体的形状，根据长方体和圆柱的体积的计算方法解决问题。
29．【答案】45厘米。
【分析】根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，圆锥的体积公式：V＝πr2h，那么h＝V÷÷πr2，把数据代入公式解答。
【解答】解：31.4平方分米＝3140平方厘米
3140×1.5÷÷（4.14×102）
＝4710×3÷（3.14×100）
＝14130÷314
＝45（厘米）
答：这个圆锥的高是45厘米。
【点评】此题主要考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
30．【答案】175.84立方米。
【分析】侧面积就增加 50.24m2，用侧面积除以增加的高4米，求出底面周长，再由底面周长求出底面积，用底面积乘总高度即可求出加高后粮仓的容积。
【解答】解：50.24÷4＝12.56（米）
12.56÷3.14÷8＝2（米）
2×4×3.14＝12.56（平方米）
10+4＝14（米）
12.56×14＝175.84（立方米）
答：加高后粮仓的容积是175.84立方米。
【点评】掌握圆柱的表面积公式和体积公式是解题关键。
31．【答案】22厘米。
【分析】因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以当圆柱与圆锥的体积相等，底面积也相等时，圆柱的高是圆锥高的，也就是圆柱部分高（15×）厘米的水倒入圆锥容器中正好倒满，然后再加上圆柱部分剩下水的高即可。
【解答】解：15+（12﹣15×）
＝15+（12﹣2）
＝15+7
＝22（厘米）
答：当把这个容器倒过来时，从尖部到液面的高是22厘米。
【点评】此题考查的目的是理解掌握等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用。