第五单元认识方程(讲义)-2023-2024学年四年级下册数学北师大版
文档属性
| 名称 | 第五单元认识方程(讲义)-2023-2024学年四年级下册数学北师大版 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 101.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-02 13:26:00 | ||
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文档简介
第五单元认识方程(知识精讲+典题精练)
2023-2024学年四年级下册数学重难点单元培优讲义
(北师大版)
1．等式的意义
【知识点归纳】
含有等号的式子叫做等式．等式两边同时加上（或减去）同一个整式，或者等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式的值不变．
等式的基本性质：
性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立．若a＝b，那么a+c＝b+c
性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立．若a＝b，那么有a c＝b c，或a÷c＝b÷c （c≠0）
性质3：等式具有传递性．若a1＝a2，a2＝a3，a3＝a4，…am＝an，那么a1＝a2＝a3＝a4＝…＝an
等式的意义：
等式的性质是解方程的基础，很多解方程的方法都要运用到等式的性质．如移项，去分母等．
运用等式的性质，涉及除法时，要注意转换后，除数不能为0，否则无意义．
2．用字母表示数
【知识点归纳】
字母可以表示任意的数，也可以表示特定意义的公式，还可以表示符合条件的某一个数，甚至可以表示具有某些规律的数，总之字母可以简明地将数量关系表示出来．比如：t可以表示时间．
用字母表示数的意义：有助于概念的本质特征，能使数量的关系变得更加简明，更具有普遍意义．使思维过程简化，易于形成概念系统．
注意：
1．用字母表示数时，数字与字母，字母与字母相乘，中间的乘号可以省略不写；或用“ ”（点）表示．
2．字母和数字相乘时，省略乘号，并把数字放到字母前；“1”与任何字母相乘时，“1”省略不写．
3．出现除式时，用分数表示．
4．结果含加减运算的，单位前加“（ ）”．
5．系数是带分数时，带分数要化成假分数．
例如：乘法分配律：（a+b）×c＝a×c+b×c
乘法结合律：（a×b）×c＝a×（b×c）
乘法交换律：a×b＝b×a．
3．含字母式子的求值
【知识点归纳】
在数学中，我们常常用字母来表示一个数，然后通过四则运算求解出那个字母所表示的数．通常我们所谓的求解x的方程也是含字母式子的求值．如x的4倍与5的和，用式子表示是4x+5．若加个条件说和为9，即可求出x＝1．
4．方程与等式的关系
【知识点归纳】
1．方程：含有未知数的等式，即：
方程中必须含有未知；
方程式是等式，但等式不一定是方程．
2．方程是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式，通常在两者之间有一等号“＝”．
3．方程不用按逆向思维思考，可直接列出等式并含有未知数．
5．等式的性质
【知识点归纳】
等式性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。
等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。
6．列方程解应用题（两步需要逆思考）
【知识点归纳】
列方程解应用题的步骤：
①弄清题意，确定未知数，并用x表示．
②找出题中数量之间的相等关系．
③列方程，解方程．
④检查或验算，写出答案．
列方程解应用题的方法：
①综合法：先把应用题中已知的数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式，并找出它们之间的等量关系，列出方程．这是从部分到整体的一种思维过程，其思考的方向是从已知到未知．
②分析法：先找出等量关系，再根据建立等量关系的需要，把应用题中已知数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式，列出方程．这是从整体到部分的一种思维过程，其思考方向是从未知到已知．
7．整数方程求解
【知识点归纳】
解方程的步骤
（1）去括号。
在去方程中的括号时，若括号前面是“+”，括号内不变符号；若括号前是“﹣”，去掉括号后，括号内变号。
（2）移项。
通过移项，将方程中的含未知数的项都移动到一侧，将整数移动到另一侧。
（3）合并同类项。
对含有相同未知数的次数相同的项的系数相加，合并同类项。
（4）系数化为1.
合并同类项后，将等式两侧都除以含有未知数的次数最高的项的系数。当方程为一元一次方程时，系数化为1后即可得到方程的解。
一．选择题（共8小题）
1．下列选项中不能用方程“2x+8＝14”来表示的是（ ）
A．长方形的周长是14
B．
C．某小组男生有x人，女生比男生多8人，该小组一共有14人
D．
2．冬至到了，奶奶和小丽一起包饺子。奶奶包了106个饺子，如果奶奶再包2个，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．3x+2＝106 B．3x＝106+2 C．106﹣3x＝2
3．如果a＝b，根据等式的性质下面等式成立的是（ ）
A．a+3＝b﹣3 B．a÷c＝b÷d C．3a＝b÷3 D．3a＝3b
4．关于方程5x+5＝5，下面说法正确的是（ ）
A．方程5x+5＝5的解是x＝5
B．解方程时，可以先左右两边同时乘5
C．解方程时，先把5x看作一个整体
D．由5x+5＝5，可得出10x＝5
5．“五年级学生兰兰和爸爸、妈妈计划周日去游乐场玩。妈妈在某网站上购买了3张门票，______，共花了502元，列出方程：x+2×184＝502那么，横线上所缺的信息是（ ）
A．每张成人票184元
B．成人票价格是学生票的2倍
C．每张成人票比学生票贵184元
6．下面选项中，能用2a+4表示的是（ ）
A．整条线段的长度 B．长方形的周长
C．整个长方形的面积
7．如果用★代表同一个非零自然数，那么下列各式中得数最大的是（ ）
A．★× B．★÷ C．★÷1 D．★﹣
8．一个两位数，十位上的数字是6，个位上的数字是a（ ）
A．6a B．a6 C．10a+6 D．60+a
二．填空题（共8小题）
9．新沂一中学校食堂运进a袋大米和b袋面粉，每袋大米50千克，每袋面粉40千克，还剩 千克大米。
10．根据如图图意列出方程： 。
11．甲乙两港相距600千米，一艘轮船以每小时24千米的速度从甲港出发开往乙港，行了t小时。已经行了 千米，距离乙港还有 千米。
12．妈妈去超市买肉，每千克26.5元，妈妈买了a千克 元，如果a＝0.8，她实际支付了 元。
13．庆元旦表演，实验小学老师给同学们准备了m个盲盒，每轮都抽奖n个盲盒，已经抽了 个盲盒，还剩 个盲盒没抽。
14．一本故事书一共m页，小明每天看5页，看了n天 页，还剩下 页没看。
15．如图中：3a+2+a表示 ，当a＝5时，红绳长 米。
16．小明家养了a只黑兔，养的白兔比黑兔只数的3倍还多2只，养了 只白兔；当a＝100时，则白兔有 只。
三．判断题（共7小题）
17．当b＝2时，b2＝2b．
18．如果，那么A一定是3，B一定是7。
19．方程都是等式，等式也都是方程．
20．等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。
21．甲数是a，比乙数的4倍少b，求乙数的式子是4﹣b。
22．100÷m中，m可以是任何数。
23．“做一套衣服用a米布，求x米布可做几套衣服”应用进一法取近似值。
四．计算题（共2小题）
24．直接写出得数。
6x+3x＝ 5y﹣y＝ x﹣0.3x＝ 6.7y﹣y+0.6y＝
99÷9＝ 108﹣39＝ 0.66÷0.33＝ 10﹣0.99＝
25．解方程。
2x+6x＝56 5x﹣8＝22 4x＝28
五．应用题（共6小题）
26．剧烈运动后心跳会加速，周末小明晨跑后心跳为每分钟180下，比晨跑前每分钟心跳的2倍还多20下（写出等量关系式，再列方程解答）
27．一车间的人数是二车间人数的4倍，若从一车间调15人给二车间，则两车间人数一样多（列方程解答）
28．某小学五、六年级共有学生620人。六年级的男生人数占本年级人数的，五年级的男生人数占本年级人数的。两个年级的女生人数相等。五、六年级各有学生多少人？（列方程解答）
29．庆元旦活动中，五年级有265人参与，比六年级人数的3倍少11人（列方程解答）
30．碳中和主旋律之一是新能源汽车的普及。已知一辆油车行驶百公里排放27.5千克二氧化碳，比一辆电车的2倍还多3.3千克。一辆电车行驶百公里约排放多少千克二氧化碳？（请先写出等量关系式，再列方程解答）
（1）等量关系式： 。
（2）列方程解答。
31．某学校五年级一共有220人，其中男生人数是女生的1.2倍。这所学校五年级男生和女生各有多少人？（用方程解）
第五单元认识方程(知识精讲+典题精练)-2023-2024学年四年级下册(北师大版)
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【答案】D
【分析】A.根据等量关系：长×2+宽×2＝周长，列方程即可。
B.根据等量关系：左右两边质量相等，列方程即可。
C.根据等量关系：男生人数+女生人数＝14人，列方程即可。
D.根据等量关系：上面数量+下面数量＝14，列方程即可。
【解答】解：A.2x+4×3＝14即2x+8＝14
B.5x+8＝14
C.x+8+x＝14即5x+8＝14
D.x+2x＝6＝14即3x+8＝14
故选：D。
【点评】根据各选项的题意列出方程即可解答。
2．【答案】B
【分析】设小丽包了x个饺子，根据等量关系：小丽包的饺子数×3＝奶奶包的饺子数+2个，列方程解答即可。
【解答】解：设小丽包了x个饺子。
3x＝106+2
8x＝108
x＝36
答：小丽包了36个饺子。
故选：B。
【点评】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为x，由此列方程解决问题。
3．【答案】D
【分析】等式性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。
等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。
【解答】解：因为a＝b，所以3a＝3b。
故选：D。
【点评】本题考查了等式的性质的应用。
4．【答案】C
【分析】解方程5x+5＝5时，首先将5x看作一个加数，方程的两边先同时减去5，然后方程的两边同时除以5，得出方程的解即可。
【解答】解：5x+5＝4
5x+5﹣8＝5﹣5
4x÷5＝0÷2
x＝0
故选：C。
【点评】本题考查了方程的解法，解方程的过程要根据等式的性质。
5．【答案】A
【分析】根据题干中给出的已知条件和列出的方程，可知：184是每张成人票的单价，据此作答此题。
【解答】解：横线上所缺的信息是每张成人票184元。
故选：A。
【点评】本题主要考查了根据列出的方程填所缺条件，要注意审题。
6．【答案】B
【分析】分别算出线段的长，长方形的周长和面积，在与2a+4比较即可。
【解答】解：A．整条线段的长度6+a；
B．长方形的周长是2a+8；
C．整个长方形的面积是6a。
故选：B。
【点评】分别算出线段的长，长方形的周长和面积，是解答此题的关键。
7．【答案】B
【分析】一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数；
一个数（0除外）除以小于1的数，商大于这个数；
一个数（0除外）除以等于1的数，商等于这个数；
一个数（0除外）减去一个非0数，差小于这个数；据此解答。
【解答】解：A.因为小于1。
B.因为小于1。
C.商等于★。
D.★﹣，差小于★。
所以得数最大是★÷。
故选：B。
【点评】解答此题的关键是明白：一个非零自然数乘大于1的数其积大于原数，乘小于1的数其积小于原数；一个非零自然数除以大于1的数其商小于原数，除以小于1的数其商大于原数；一个非零自然数减一个不为零的数比原数小，
8．【答案】D
【分析】用十位上的数字乘以10，加上个位上的数字，即可列出这个两位数。
【解答】解：因为十位数字为6，个位数字为a，
所以这个两位数可以表示为10×6+a＝60+a。
故选：D。
【点评】此题考查了用字母表示数，以及两位数的表示方法。两位数字的表示方法：十位数字×10+个位数字。
二．填空题（共8小题）
9．【答案】（50a﹣x）。
【分析】每袋大米质量×袋数＝大米总质量，大米总质量﹣吃掉的质量＝还剩的质量，据此用字母表示出还剩的大米质量即可。
【解答】解：50×a﹣x
＝（50a﹣x）千克
答：还剩（50a﹣x）千克大米。
故答案为：（50a﹣x）。
【点评】关键是理解字母可以表示任意数，可以用字母将数量关系表示出来。
10．【答案】20+x+35＝63。
【分析】根据等量关系：左边的数量+中间的数量+右边的数量＝63，列方程解答即可。
【解答】解：20+x+35＝63
55+x＝63
x＝8
故答案为：20+x+35＝63。
【点评】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，列方程解决问题。
11．【答案】24t；（600﹣24t）。
【分析】根据路程＝速度×时间，算出行驶的路程，再用总路程减去行驶的路程，就是剩下的路程。
【解答】解：已经行了24t千米，距离乙港还有（600﹣24t）千米。
故答案为：24t；（600﹣24t）。
【点评】熟练掌握路程、速度和时间的关系，是解答此题的关键。
12．【答案】26.5a，21.2。
【分析】用肉每千克的钱数乘妈妈买的千克数，即可得她需要支付的钱数；把a＝0.8代入求得的式子，即可得她实际支付的钱数。
【解答】解：26.5×a＝26.5a（元）
当a＝5.8时
26.5×6.8＝21.2（元）
答：她需要支付26.6a元，如果a＝0.8。
故答案为：26.6a，21.2。
【点评】做这类用字母表示数的题目时，解题关键是根据已知条件，把未知的数用字母正确的表示出来，然后根据题意列式计算即可得解。
13．【答案】4n；（m﹣4n）。
【分析】先用乘法求出已经抽了的盲盒的数量，然后用减法即可求出没有抽出的盲盒的数量。
【解答】解：n×4＝4n （个）
m﹣2n＝（m﹣4n）（个）
答：已经抽了4n个盲盒，还剩（m﹣2n）个盲盒没抽。
故答案为：4n；（m﹣4n）。
【点评】解题关键是根据已知条件，把未知的数用字母正确的表示出来，然后根据题意列式计算即可得解。
14．【答案】5n；（m﹣5n）。
【分析】看了的页数等于每天看的页数乘天数，还剩的页数等于一共的页数减去看了的页数，据此解答。
【解答】解：5×n＝5n（页）
m﹣7n＝（m﹣5n）页
答：看了5n页，还剩下（m﹣8n）页没看。
故答案为：5n；（m﹣5n）。
【点评】掌握数量关系是解题关键。
15．【答案】绿绳和红绳的总长度；17。
【分析】由图可知，红绳长度是折叠3个绿绳的长度再加2米，所以红绳长是绿绳长的3倍多2米，据此解答。
【解答】解：由图可知，3a+2+a表示绿绳和红绳的总长度。
当a＝4时，
3a+2
＝4×5+2
＝17（米）
答：5a+2+a表示绿绳和红绳的总长度，当a＝5时。
故答案为：绿绳和红绳的总长度；17。
【点评】本题考查了用字母表示数及用代入法求含有字母的式子的值，属于基础知识，需熟练掌握。
16．【答案】（3a+2），302。
【分析】养的白兔比a的3倍还多2只，即（3a+2）。当a＝100时，代入计算即可。
【解答】解：养了（3a+2）只白兔。
当a＝100时，
2×100+2＝302（只）
则白兔有302只。
故答案为：（3a+2），302。
【点评】此题考查了用字母表示数的方法，关键是弄清a所表示的意义，再进一步解答。
三．判断题（共7小题）
17．【答案】√
【分析】把b＝2代入b2＝22＝2×2＝4，而2b＝2×2＝4，所以b2＝2b．
【解答】解：把b＝2代入b2＝82＝2×3＝4，
把把b＝2代入2b＝2×2＝5，
所以b2＝2b．
故答案为：√．
【点评】关键是把给出的字母的表示的数代入给出的式子算出得数判断即可．
18．【答案】×
【分析】该题可举例说明，如A是30，B是70，30÷70，求出得数，对照原题说法，即可判断。
【解答】解：设A是30，B是70
30÷70＝
所以如果，那么A一定是3，这个说法是错误的。
故答案为：×。
【点评】本题考查的是用字母表示数，进行判断时，有时用到举例子的方法，举例子是判断题进行判断的快捷方法之一。
19．【答案】见试题解答内容
【分析】方程都是等式，但是等式不一定是方程，因为必须是含有未知数的等式才是方程．
【解答】解：方程都是等式，此话对，就不对；
比如：2+3＝4，是等式．
故判断为：×．
【点评】此题考查对方程的意义的理解，必须是含有未知数的等式才是方程．
20．【答案】√
【分析】利用等式的基本性质判断。
【解答】解：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。
故答案为：√。
【点评】本题考查了学生等式基本性质的掌握情况。
21．【答案】×
【分析】根据甲数是a，比乙数的4倍少b，可得乙数的4倍比甲数多b，要求乙数是多少，先求出乙数的4倍是多少，再用乙数的4倍除以4，求出乙数是多少即可。
【解答】解：因为甲数是a，比乙数的4倍少b，
所以乙数是：（a+b）÷4，
所以题中说法不正确。
故答案为：×。
【点评】此题主要考查了用字母表示数的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是根据题意求出乙数的4倍，进而求出乙数是多少。
22．【答案】×
【分析】0不能作除数，所以100÷m中，m不可以是0。
【解答】解：0不能作除数，所以100÷m中，即原题干说法错误。
故答案为：×。
【点评】解答此题的关键是明确0不能作除数。
23．【答案】×
【分析】根据实际情况，做衣服最后的布不够做成一套所以要用舍尾法求近似值。
【解答】解：因为根据实际情况，应该用舍尾法；
所以做一套衣服用a米布，求x米布可做几套衣服”应用进一法取近似值。
故答案为：×。
【点评】本题考查的是用字母表示数的相关知识，最后结果需要取近似数时，一定要根据生活中的实际情况进行取舍。
四．计算题（共2小题）
24．【答案】9x，4y，0.7x，6.3y，11，69，2，9.01。
【分析】6个x加3个x是9个x，即9x。
5个y减1个y是4个y，即4y。
1个x减0.3个x是0.7个x，即0.7x。
6.7个y减1个y，再加0.6个y是6.3个y，即6.3y。
很容易看出，99÷9，十位商1，个位商1，即商为11。
108﹣39看作108﹣40+1＝68+1＝69。
根据商不变的性质，0.66÷0.33看作66÷33，商为2。
10﹣0.99看作10﹣1+0.01＝9.01。
【解答】解：
6x+3x＝7x 5y﹣y＝4y x﹣8.3x＝0.7x 6.7y﹣y+2.6y＝6.4y
99÷9＝11 108﹣39＝69 0.66÷8.33＝2 10﹣0.99＝6.01
故答案为：9x，4y，7.3y，69，2。
【点评】字母相加，把字母看作一个“单位”，按相同单位的名数相加计算；口算题关键运算定律及相关性质的应用。
25．【答案】x＝7；x＝6；x＝7。
【分析】（1）先把方程左边化简为8x，两边再同时除以8；
（2）方程两边同时加上8，两边再同时除以5；
（3）方程两边同时除以4。
【点评】熟练掌握等式的基本性质是解题的关键。
五．应用题（共6小题）
26．【答案】晨跑前的心跳次数×2+20下＝晨跑后的心跳次数，80下。
【分析】设晨跑前心跳是每分钟x下，根据等量关系：晨跑前的心跳次数×2+20下＝晨跑后的心跳次数，列方程解答即可。
【解答】解：晨跑前的心跳次数×2+20下＝晨跑后的心跳次数
设晨跑前心跳是每分钟x下。
2x+20＝180
3x＝160
x＝80
答：晨跑前心跳是每分钟80下。
【点评】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为x，由此列方程解决问题。
27．【答案】40人；10人。
【分析】设二车间有x人，因为从一车间调15人给二车间，则两车间人数一样多，可以推算出一车间比二车间多2个15人，再根据等量关系：一车间人数﹣二车间人数＝15×2，据此列方程解答。
【解答】解：设二车间有x人。
4x﹣x＝15×2
3x＝30
3x÷3＝30÷5
x＝10
10×4＝40（人）
答：一车间原来有40人，二车间原来有10人。
【点评】本题考查列方程解应用题，解题关键是找出题目中的等量关系列方程解答。
28．【答案】270人，350人。
【分析】设五年级有学生x人，根据等量关系：五年级的女生人数＝六年级的女生人数，列方程解答即可。
【解答】解：设五年级有学生x人。
（620﹣x）×（1﹣）＝（1﹣
答：五年级有学生270人，六年级有学生350人。
【点评】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为x，由此列方程解决问题。
29．【答案】92人。
【分析】根据题意可知：六年级参与活动的人数×3﹣11＝五年级参与活动的人数，设六年级参与活动的有x人，据此列方程解答。
【解答】解：设六年级参与活动的有x人。
3x﹣11＝265
3x＝276
x＝92
答：六年级参与活动的有92人。
【点评】此题主要考查了列方程解应用题，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解答此类问题的关键。
30．【答案】（1）一辆电车行驶百公里排放二氧化碳的质量×2+3.3＝一辆油车行驶百公里排放二氧化碳的质量；（2）12.1千克。
【分析】（1）根据题意，一辆油车行驶百公里排放二氧化碳的质量比一辆电车的2倍还多3.3千克，由此得出等量关系式。
（2）根据等量关系列出方程，然后根据等式的性质解方程，求出方程的解。
【解答】解：（1）等量关系：一辆电车行驶百公里排放二氧化碳的质量×2+3.2＝一辆油车行驶百公里排放二氧化碳的质量。
（2）设一辆电车行驶百公里约排放x千克二氧化碳。
答：一辆电车行驶百公里约排放12.1千克二氧化碳。
故答案为：一辆电车行驶百公里排放二氧化碳的质量×3+3.3＝一辆油车行驶百公里排放二氧化碳的质量。
【点评】本题考查列方程解决问题，从题目中找到等量关系，按等量关系列出方程。
31．【答案】120人，100人。
【分析】根据题意数量间的相等关系为：女生人数的1.2倍+女生人数＝220，设女生x人，男生1.2x人，列方程解答即可。
【解答】解：设女生x人，男生1.2x人。
x+4.2x＝220
2.6x＝220
x＝100
100×1.2＝120（人）
答：这所学校五年级男生有120人，女生有100人。
【点评】此题考查列方程解应用题，解决此题的关键是女生人数的1.2倍+男生人数＝220，由此得出答案。
2023-2024学年四年级下册数学重难点单元培优讲义
(北师大版)
1．等式的意义
【知识点归纳】
含有等号的式子叫做等式．等式两边同时加上（或减去）同一个整式，或者等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式的值不变．
等式的基本性质：
性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立．若a＝b，那么a+c＝b+c
性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立．若a＝b，那么有a c＝b c，或a÷c＝b÷c （c≠0）
性质3：等式具有传递性．若a1＝a2，a2＝a3，a3＝a4，…am＝an，那么a1＝a2＝a3＝a4＝…＝an
等式的意义：
等式的性质是解方程的基础，很多解方程的方法都要运用到等式的性质．如移项，去分母等．
运用等式的性质，涉及除法时，要注意转换后，除数不能为0，否则无意义．
2．用字母表示数
【知识点归纳】
字母可以表示任意的数，也可以表示特定意义的公式，还可以表示符合条件的某一个数，甚至可以表示具有某些规律的数，总之字母可以简明地将数量关系表示出来．比如：t可以表示时间．
用字母表示数的意义：有助于概念的本质特征，能使数量的关系变得更加简明，更具有普遍意义．使思维过程简化，易于形成概念系统．
注意：
1．用字母表示数时，数字与字母，字母与字母相乘，中间的乘号可以省略不写；或用“ ”（点）表示．
2．字母和数字相乘时，省略乘号，并把数字放到字母前；“1”与任何字母相乘时，“1”省略不写．
3．出现除式时，用分数表示．
4．结果含加减运算的，单位前加“（ ）”．
5．系数是带分数时，带分数要化成假分数．
例如：乘法分配律：（a+b）×c＝a×c+b×c
乘法结合律：（a×b）×c＝a×（b×c）
乘法交换律：a×b＝b×a．
3．含字母式子的求值
【知识点归纳】
在数学中，我们常常用字母来表示一个数，然后通过四则运算求解出那个字母所表示的数．通常我们所谓的求解x的方程也是含字母式子的求值．如x的4倍与5的和，用式子表示是4x+5．若加个条件说和为9，即可求出x＝1．
4．方程与等式的关系
【知识点归纳】
1．方程：含有未知数的等式，即：
方程中必须含有未知；
方程式是等式，但等式不一定是方程．
2．方程是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式，通常在两者之间有一等号“＝”．
3．方程不用按逆向思维思考，可直接列出等式并含有未知数．
5．等式的性质
【知识点归纳】
等式性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。
等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。
6．列方程解应用题（两步需要逆思考）
【知识点归纳】
列方程解应用题的步骤：
①弄清题意，确定未知数，并用x表示．
②找出题中数量之间的相等关系．
③列方程，解方程．
④检查或验算，写出答案．
列方程解应用题的方法：
①综合法：先把应用题中已知的数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式，并找出它们之间的等量关系，列出方程．这是从部分到整体的一种思维过程，其思考的方向是从已知到未知．
②分析法：先找出等量关系，再根据建立等量关系的需要，把应用题中已知数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式，列出方程．这是从整体到部分的一种思维过程，其思考方向是从未知到已知．
7．整数方程求解
【知识点归纳】
解方程的步骤
（1）去括号。
在去方程中的括号时，若括号前面是“+”，括号内不变符号；若括号前是“﹣”，去掉括号后，括号内变号。
（2）移项。
通过移项，将方程中的含未知数的项都移动到一侧，将整数移动到另一侧。
（3）合并同类项。
对含有相同未知数的次数相同的项的系数相加，合并同类项。
（4）系数化为1.
合并同类项后，将等式两侧都除以含有未知数的次数最高的项的系数。当方程为一元一次方程时，系数化为1后即可得到方程的解。
一．选择题（共8小题）
1．下列选项中不能用方程“2x+8＝14”来表示的是（ ）
A．长方形的周长是14
B．
C．某小组男生有x人，女生比男生多8人，该小组一共有14人
D．
2．冬至到了，奶奶和小丽一起包饺子。奶奶包了106个饺子，如果奶奶再包2个，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．3x+2＝106 B．3x＝106+2 C．106﹣3x＝2
3．如果a＝b，根据等式的性质下面等式成立的是（ ）
A．a+3＝b﹣3 B．a÷c＝b÷d C．3a＝b÷3 D．3a＝3b
4．关于方程5x+5＝5，下面说法正确的是（ ）
A．方程5x+5＝5的解是x＝5
B．解方程时，可以先左右两边同时乘5
C．解方程时，先把5x看作一个整体
D．由5x+5＝5，可得出10x＝5
5．“五年级学生兰兰和爸爸、妈妈计划周日去游乐场玩。妈妈在某网站上购买了3张门票，______，共花了502元，列出方程：x+2×184＝502那么，横线上所缺的信息是（ ）
A．每张成人票184元
B．成人票价格是学生票的2倍
C．每张成人票比学生票贵184元
6．下面选项中，能用2a+4表示的是（ ）
A．整条线段的长度 B．长方形的周长
C．整个长方形的面积
7．如果用★代表同一个非零自然数，那么下列各式中得数最大的是（ ）
A．★× B．★÷ C．★÷1 D．★﹣
8．一个两位数，十位上的数字是6，个位上的数字是a（ ）
A．6a B．a6 C．10a+6 D．60+a
二．填空题（共8小题）
9．新沂一中学校食堂运进a袋大米和b袋面粉，每袋大米50千克，每袋面粉40千克，还剩 千克大米。
10．根据如图图意列出方程： 。
11．甲乙两港相距600千米，一艘轮船以每小时24千米的速度从甲港出发开往乙港，行了t小时。已经行了 千米，距离乙港还有 千米。
12．妈妈去超市买肉，每千克26.5元，妈妈买了a千克 元，如果a＝0.8，她实际支付了 元。
13．庆元旦表演，实验小学老师给同学们准备了m个盲盒，每轮都抽奖n个盲盒，已经抽了 个盲盒，还剩 个盲盒没抽。
14．一本故事书一共m页，小明每天看5页，看了n天 页，还剩下 页没看。
15．如图中：3a+2+a表示 ，当a＝5时，红绳长 米。
16．小明家养了a只黑兔，养的白兔比黑兔只数的3倍还多2只，养了 只白兔；当a＝100时，则白兔有 只。
三．判断题（共7小题）
17．当b＝2时，b2＝2b．
18．如果，那么A一定是3，B一定是7。
19．方程都是等式，等式也都是方程．
20．等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。
21．甲数是a，比乙数的4倍少b，求乙数的式子是4﹣b。
22．100÷m中，m可以是任何数。
23．“做一套衣服用a米布，求x米布可做几套衣服”应用进一法取近似值。
四．计算题（共2小题）
24．直接写出得数。
6x+3x＝ 5y﹣y＝ x﹣0.3x＝ 6.7y﹣y+0.6y＝
99÷9＝ 108﹣39＝ 0.66÷0.33＝ 10﹣0.99＝
25．解方程。
2x+6x＝56 5x﹣8＝22 4x＝28
五．应用题（共6小题）
26．剧烈运动后心跳会加速，周末小明晨跑后心跳为每分钟180下，比晨跑前每分钟心跳的2倍还多20下（写出等量关系式，再列方程解答）
27．一车间的人数是二车间人数的4倍，若从一车间调15人给二车间，则两车间人数一样多（列方程解答）
28．某小学五、六年级共有学生620人。六年级的男生人数占本年级人数的，五年级的男生人数占本年级人数的。两个年级的女生人数相等。五、六年级各有学生多少人？（列方程解答）
29．庆元旦活动中，五年级有265人参与，比六年级人数的3倍少11人（列方程解答）
30．碳中和主旋律之一是新能源汽车的普及。已知一辆油车行驶百公里排放27.5千克二氧化碳，比一辆电车的2倍还多3.3千克。一辆电车行驶百公里约排放多少千克二氧化碳？（请先写出等量关系式，再列方程解答）
（1）等量关系式： 。
（2）列方程解答。
31．某学校五年级一共有220人，其中男生人数是女生的1.2倍。这所学校五年级男生和女生各有多少人？（用方程解）
第五单元认识方程(知识精讲+典题精练)-2023-2024学年四年级下册(北师大版)
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【答案】D
【分析】A.根据等量关系：长×2+宽×2＝周长，列方程即可。
B.根据等量关系：左右两边质量相等，列方程即可。
C.根据等量关系：男生人数+女生人数＝14人，列方程即可。
D.根据等量关系：上面数量+下面数量＝14，列方程即可。
【解答】解：A.2x+4×3＝14即2x+8＝14
B.5x+8＝14
C.x+8+x＝14即5x+8＝14
D.x+2x＝6＝14即3x+8＝14
故选：D。
【点评】根据各选项的题意列出方程即可解答。
2．【答案】B
【分析】设小丽包了x个饺子，根据等量关系：小丽包的饺子数×3＝奶奶包的饺子数+2个，列方程解答即可。
【解答】解：设小丽包了x个饺子。
3x＝106+2
8x＝108
x＝36
答：小丽包了36个饺子。
故选：B。
【点评】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为x，由此列方程解决问题。
3．【答案】D
【分析】等式性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。
等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。
【解答】解：因为a＝b，所以3a＝3b。
故选：D。
【点评】本题考查了等式的性质的应用。
4．【答案】C
【分析】解方程5x+5＝5时，首先将5x看作一个加数，方程的两边先同时减去5，然后方程的两边同时除以5，得出方程的解即可。
【解答】解：5x+5＝4
5x+5﹣8＝5﹣5
4x÷5＝0÷2
x＝0
故选：C。
【点评】本题考查了方程的解法，解方程的过程要根据等式的性质。
5．【答案】A
【分析】根据题干中给出的已知条件和列出的方程，可知：184是每张成人票的单价，据此作答此题。
【解答】解：横线上所缺的信息是每张成人票184元。
故选：A。
【点评】本题主要考查了根据列出的方程填所缺条件，要注意审题。
6．【答案】B
【分析】分别算出线段的长，长方形的周长和面积，在与2a+4比较即可。
【解答】解：A．整条线段的长度6+a；
B．长方形的周长是2a+8；
C．整个长方形的面积是6a。
故选：B。
【点评】分别算出线段的长，长方形的周长和面积，是解答此题的关键。
7．【答案】B
【分析】一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数；
一个数（0除外）除以小于1的数，商大于这个数；
一个数（0除外）除以等于1的数，商等于这个数；
一个数（0除外）减去一个非0数，差小于这个数；据此解答。
【解答】解：A.因为小于1。
B.因为小于1。
C.商等于★。
D.★﹣，差小于★。
所以得数最大是★÷。
故选：B。
【点评】解答此题的关键是明白：一个非零自然数乘大于1的数其积大于原数，乘小于1的数其积小于原数；一个非零自然数除以大于1的数其商小于原数，除以小于1的数其商大于原数；一个非零自然数减一个不为零的数比原数小，
8．【答案】D
【分析】用十位上的数字乘以10，加上个位上的数字，即可列出这个两位数。
【解答】解：因为十位数字为6，个位数字为a，
所以这个两位数可以表示为10×6+a＝60+a。
故选：D。
【点评】此题考查了用字母表示数，以及两位数的表示方法。两位数字的表示方法：十位数字×10+个位数字。
二．填空题（共8小题）
9．【答案】（50a﹣x）。
【分析】每袋大米质量×袋数＝大米总质量，大米总质量﹣吃掉的质量＝还剩的质量，据此用字母表示出还剩的大米质量即可。
【解答】解：50×a﹣x
＝（50a﹣x）千克
答：还剩（50a﹣x）千克大米。
故答案为：（50a﹣x）。
【点评】关键是理解字母可以表示任意数，可以用字母将数量关系表示出来。
10．【答案】20+x+35＝63。
【分析】根据等量关系：左边的数量+中间的数量+右边的数量＝63，列方程解答即可。
【解答】解：20+x+35＝63
55+x＝63
x＝8
故答案为：20+x+35＝63。
【点评】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，列方程解决问题。
11．【答案】24t；（600﹣24t）。
【分析】根据路程＝速度×时间，算出行驶的路程，再用总路程减去行驶的路程，就是剩下的路程。
【解答】解：已经行了24t千米，距离乙港还有（600﹣24t）千米。
故答案为：24t；（600﹣24t）。
【点评】熟练掌握路程、速度和时间的关系，是解答此题的关键。
12．【答案】26.5a，21.2。
【分析】用肉每千克的钱数乘妈妈买的千克数，即可得她需要支付的钱数；把a＝0.8代入求得的式子，即可得她实际支付的钱数。
【解答】解：26.5×a＝26.5a（元）
当a＝5.8时
26.5×6.8＝21.2（元）
答：她需要支付26.6a元，如果a＝0.8。
故答案为：26.6a，21.2。
【点评】做这类用字母表示数的题目时，解题关键是根据已知条件，把未知的数用字母正确的表示出来，然后根据题意列式计算即可得解。
13．【答案】4n；（m﹣4n）。
【分析】先用乘法求出已经抽了的盲盒的数量，然后用减法即可求出没有抽出的盲盒的数量。
【解答】解：n×4＝4n （个）
m﹣2n＝（m﹣4n）（个）
答：已经抽了4n个盲盒，还剩（m﹣2n）个盲盒没抽。
故答案为：4n；（m﹣4n）。
【点评】解题关键是根据已知条件，把未知的数用字母正确的表示出来，然后根据题意列式计算即可得解。
14．【答案】5n；（m﹣5n）。
【分析】看了的页数等于每天看的页数乘天数，还剩的页数等于一共的页数减去看了的页数，据此解答。
【解答】解：5×n＝5n（页）
m﹣7n＝（m﹣5n）页
答：看了5n页，还剩下（m﹣8n）页没看。
故答案为：5n；（m﹣5n）。
【点评】掌握数量关系是解题关键。
15．【答案】绿绳和红绳的总长度；17。
【分析】由图可知，红绳长度是折叠3个绿绳的长度再加2米，所以红绳长是绿绳长的3倍多2米，据此解答。
【解答】解：由图可知，3a+2+a表示绿绳和红绳的总长度。
当a＝4时，
3a+2
＝4×5+2
＝17（米）
答：5a+2+a表示绿绳和红绳的总长度，当a＝5时。
故答案为：绿绳和红绳的总长度；17。
【点评】本题考查了用字母表示数及用代入法求含有字母的式子的值，属于基础知识，需熟练掌握。
16．【答案】（3a+2），302。
【分析】养的白兔比a的3倍还多2只，即（3a+2）。当a＝100时，代入计算即可。
【解答】解：养了（3a+2）只白兔。
当a＝100时，
2×100+2＝302（只）
则白兔有302只。
故答案为：（3a+2），302。
【点评】此题考查了用字母表示数的方法，关键是弄清a所表示的意义，再进一步解答。
三．判断题（共7小题）
17．【答案】√
【分析】把b＝2代入b2＝22＝2×2＝4，而2b＝2×2＝4，所以b2＝2b．
【解答】解：把b＝2代入b2＝82＝2×3＝4，
把把b＝2代入2b＝2×2＝5，
所以b2＝2b．
故答案为：√．
【点评】关键是把给出的字母的表示的数代入给出的式子算出得数判断即可．
18．【答案】×
【分析】该题可举例说明，如A是30，B是70，30÷70，求出得数，对照原题说法，即可判断。
【解答】解：设A是30，B是70
30÷70＝
所以如果，那么A一定是3，这个说法是错误的。
故答案为：×。
【点评】本题考查的是用字母表示数，进行判断时，有时用到举例子的方法，举例子是判断题进行判断的快捷方法之一。
19．【答案】见试题解答内容
【分析】方程都是等式，但是等式不一定是方程，因为必须是含有未知数的等式才是方程．
【解答】解：方程都是等式，此话对，就不对；
比如：2+3＝4，是等式．
故判断为：×．
【点评】此题考查对方程的意义的理解，必须是含有未知数的等式才是方程．
20．【答案】√
【分析】利用等式的基本性质判断。
【解答】解：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。
故答案为：√。
【点评】本题考查了学生等式基本性质的掌握情况。
21．【答案】×
【分析】根据甲数是a，比乙数的4倍少b，可得乙数的4倍比甲数多b，要求乙数是多少，先求出乙数的4倍是多少，再用乙数的4倍除以4，求出乙数是多少即可。
【解答】解：因为甲数是a，比乙数的4倍少b，
所以乙数是：（a+b）÷4，
所以题中说法不正确。
故答案为：×。
【点评】此题主要考查了用字母表示数的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是根据题意求出乙数的4倍，进而求出乙数是多少。
22．【答案】×
【分析】0不能作除数，所以100÷m中，m不可以是0。
【解答】解：0不能作除数，所以100÷m中，即原题干说法错误。
故答案为：×。
【点评】解答此题的关键是明确0不能作除数。
23．【答案】×
【分析】根据实际情况，做衣服最后的布不够做成一套所以要用舍尾法求近似值。
【解答】解：因为根据实际情况，应该用舍尾法；
所以做一套衣服用a米布，求x米布可做几套衣服”应用进一法取近似值。
故答案为：×。
【点评】本题考查的是用字母表示数的相关知识，最后结果需要取近似数时，一定要根据生活中的实际情况进行取舍。
四．计算题（共2小题）
24．【答案】9x，4y，0.7x，6.3y，11，69，2，9.01。
【分析】6个x加3个x是9个x，即9x。
5个y减1个y是4个y，即4y。
1个x减0.3个x是0.7个x，即0.7x。
6.7个y减1个y，再加0.6个y是6.3个y，即6.3y。
很容易看出，99÷9，十位商1，个位商1，即商为11。
108﹣39看作108﹣40+1＝68+1＝69。
根据商不变的性质，0.66÷0.33看作66÷33，商为2。
10﹣0.99看作10﹣1+0.01＝9.01。
【解答】解：
6x+3x＝7x 5y﹣y＝4y x﹣8.3x＝0.7x 6.7y﹣y+2.6y＝6.4y
99÷9＝11 108﹣39＝69 0.66÷8.33＝2 10﹣0.99＝6.01
故答案为：9x，4y，7.3y，69，2。
【点评】字母相加，把字母看作一个“单位”，按相同单位的名数相加计算；口算题关键运算定律及相关性质的应用。
25．【答案】x＝7；x＝6；x＝7。
【分析】（1）先把方程左边化简为8x，两边再同时除以8；
（2）方程两边同时加上8，两边再同时除以5；
（3）方程两边同时除以4。
【点评】熟练掌握等式的基本性质是解题的关键。
五．应用题（共6小题）
26．【答案】晨跑前的心跳次数×2+20下＝晨跑后的心跳次数，80下。
【分析】设晨跑前心跳是每分钟x下，根据等量关系：晨跑前的心跳次数×2+20下＝晨跑后的心跳次数，列方程解答即可。
【解答】解：晨跑前的心跳次数×2+20下＝晨跑后的心跳次数
设晨跑前心跳是每分钟x下。
2x+20＝180
3x＝160
x＝80
答：晨跑前心跳是每分钟80下。
【点评】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为x，由此列方程解决问题。
27．【答案】40人；10人。
【分析】设二车间有x人，因为从一车间调15人给二车间，则两车间人数一样多，可以推算出一车间比二车间多2个15人，再根据等量关系：一车间人数﹣二车间人数＝15×2，据此列方程解答。
【解答】解：设二车间有x人。
4x﹣x＝15×2
3x＝30
3x÷3＝30÷5
x＝10
10×4＝40（人）
答：一车间原来有40人，二车间原来有10人。
【点评】本题考查列方程解应用题，解题关键是找出题目中的等量关系列方程解答。
28．【答案】270人，350人。
【分析】设五年级有学生x人，根据等量关系：五年级的女生人数＝六年级的女生人数，列方程解答即可。
【解答】解：设五年级有学生x人。
（620﹣x）×（1﹣）＝（1﹣
答：五年级有学生270人，六年级有学生350人。
【点评】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为x，由此列方程解决问题。
29．【答案】92人。
【分析】根据题意可知：六年级参与活动的人数×3﹣11＝五年级参与活动的人数，设六年级参与活动的有x人，据此列方程解答。
【解答】解：设六年级参与活动的有x人。
3x﹣11＝265
3x＝276
x＝92
答：六年级参与活动的有92人。
【点评】此题主要考查了列方程解应用题，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解答此类问题的关键。
30．【答案】（1）一辆电车行驶百公里排放二氧化碳的质量×2+3.3＝一辆油车行驶百公里排放二氧化碳的质量；（2）12.1千克。
【分析】（1）根据题意，一辆油车行驶百公里排放二氧化碳的质量比一辆电车的2倍还多3.3千克，由此得出等量关系式。
（2）根据等量关系列出方程，然后根据等式的性质解方程，求出方程的解。
【解答】解：（1）等量关系：一辆电车行驶百公里排放二氧化碳的质量×2+3.2＝一辆油车行驶百公里排放二氧化碳的质量。
（2）设一辆电车行驶百公里约排放x千克二氧化碳。
答：一辆电车行驶百公里约排放12.1千克二氧化碳。
故答案为：一辆电车行驶百公里排放二氧化碳的质量×3+3.3＝一辆油车行驶百公里排放二氧化碳的质量。
【点评】本题考查列方程解决问题，从题目中找到等量关系，按等量关系列出方程。
31．【答案】120人，100人。
【分析】根据题意数量间的相等关系为：女生人数的1.2倍+女生人数＝220，设女生x人，男生1.2x人，列方程解答即可。
【解答】解：设女生x人，男生1.2x人。
x+4.2x＝220
2.6x＝220
x＝100
100×1.2＝120（人）
答：这所学校五年级男生有120人，女生有100人。
【点评】此题考查列方程解应用题，解决此题的关键是女生人数的1.2倍+男生人数＝220，由此得出答案。