高中数学[课时训练]必修5第一章第3课时 应用举例（一）

第3课时 应用举例（一）
【基础达标】
一、选择题
1．有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为(　C　)
A．1 B．2sin 10°
C．2cos 10° D．cos 20°
【解析】　如图所示，∠ABC＝20°，AB＝1，∠ADC＝10°，
∴∠ABD＝160°.
在△ABD中，由正弦定理＝，
∴AD＝AB·＝＝2cos 10°.
【答案】　C
2.如图2－3－8，货轮在海上以40 km/h的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为140°的方向航行，为了确定船的位置，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行 h到达C点，观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是(　B　)
图2－3－8
A．10 km B．10 km
C．15 km D．15 km
【解析】　在△ABC中，BC＝40×＝20(km)，
∠ABC＝140°－110°＝30°，∠ACB＝(180°－140°)＋65°＝105°，
∴A＝180°－(30°＋105°)＝45°.
由正弦定理，得
AC＝＝＝10(km)．
3、如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度BC等于(?C?)
A.
B.
C.
D.
解析：，，，所以.选C
答案：C。
4．如图2－3－9所示，一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这艘船航行的速度为(　　)
图2－3－9
A.海里/小时 B．34海里/小时
C.海里/小时 D．34海里/小时
【解析】　由题意知PM＝68，∠MPN＝120°，∠N＝45°，
由正弦定理知＝，
∴MN＝68××＝34.
∴速度为＝(海里/小时)．
【答案】　A
填空题
5．如图1－2－12，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度是________．
图1－2－12
【解析】　tan 30°＝，tan 75°＝，
又AD＋DB＝120，
∴AD·tan 30°＝(120－AD)·tan 75°，
∴AD＝60，故CD＝60.
【答案】　60 m
6．甲船在A处发现乙船在北偏东60°的B处，乙船正以a n mile/h的速度向北行驶．已知甲船的速度是a n mile/h，问甲船应沿着________方向前进，才能最快与乙船相遇？
[答案]　北偏东30°
[解析]　如图，设经过t h两船在C点相遇，
则在△ABC中，
BC＝at，AC＝at，B＝180°－60°＝120°，
由＝，
得sin∠CAB＝＝＝.
∵0°<∠CAB<90°，
∴∠CAB＝30°，∴∠DAC＝60°－30°＝30°.
即甲船应沿北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．
解答题
7．A、B、C、D四个景点，如图1－2－13，∠CDB＝45°，∠BCD＝75°，∠ADC＝15°.A、D相距2 km，C、D相距(3－)km，求A、B两景点的距离．
7
图1－2－13
【解】　在△BCD中，
∠CBD＝180°－∠BCD－∠CDB＝60°，
由正弦定理得＝，
即BD＝＝2.
在△ABD中，∠ADB＝45°＋15°＝60°，
BD＝AD，
∴△ABD为等边三角形，
∴AB＝2.
答：A、B两景点的距离为2 km.
8．某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°相距20(＋1)海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时10海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地A东北方向刮过且(＋1)小时后开始影响基地A，持续2小时．求台风移动的方向．
【解】　
如图所示，设预报时台风中心为B，开始影响基地A时台风中心为C，基地A刚好不受影响时台风中心为D，
则B、C、D在一直线上，且AD＝20，AC＝20.
由题意得AB＝20(＋1)，DC＝20，BC＝(＋1)·10.
在△ADC中，
∵DC2＝AD2＋AC2，
∴∠DAC＝90°，∠ADC＝45°.
在△ABC中，由余弦定理得
cos ∠BAC＝＝，
∴∠BAC＝30°.
又∵B位于A南偏东60°，60°＋30°＋90°＝180°，
∴D位于A的正北方向，又∵∠ADC＝45°，
∴台风移动的方向为向量的方向，即北偏西45°方向．
【能力提升】
9．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距(　　)
A．10m B．100m
C．20m D．30m
[答案]　D
[解析]　设炮塔顶A、底D，两船B、C，则∠ABD＝45°，∠ACD＝30°，∠BDC＝30°，AD＝30，∴DB＝30，DC＝30，BC2＝DB2＋DC2－2DB·DC·cos30°＝900，
∴BC＝30.
10.如图1－2－10：D，C，B三点在地面同一直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点仰角分别是β，α(α<β)，则A点离地面的高度AB等于(　　)

图1－2－10
A. B.
C. D.
【解析】　在△ADC中，∠DAC＝β－α.
由正弦定理得：＝，
∴AC＝，
∴AB＝AC·sin β＝.
【答案】　A
11．在某点处测得建筑物的顶端的仰角为，沿方向前进 m至点处测得顶端的仰角为，再继续前进m至点，测得顶端的仰角为，则等于____.
解析：如答图1.2-7，由题意知，
设，则，
所以，
所以，，所以，.
【答案】
12.海上某货轮在A处看灯塔B，在货轮北偏东75°，距离为12n mile；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为8n mile；货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B的方位角为120°.求：
(1)A处与D处的距离；
(2)灯塔C与D处之间的距离．
[解析]　由题意，画出示意图，如图所示．
(1)在△ABD中，由已知∠ADB＝60°，则B＝45°.
由正弦定理，得
AD＝＝24(n mile)
(2)在△ADC中，由余弦定理，得
CD2＝AD2＋AC2－2AD×ACcos30°
＝242＋(8)2－2×24×8×＝(8)2，
∴CD＝8(n mile)
答：A处与D处之间距离为24n mile，灯塔C与D处之间的距离为8n mile.
【探究创新】
13.一商船行至索马里海域时，遭到海盗的追击，随即发出求救信号，正在该海域执行护航任务的海军“黄山”舰在A处获悉后，即测出该商船在方位角为45°距离10 n mile的C处，并沿方位角为105°的方向以9 n mile/h的速度航行，“黄山”舰立即以21 n mile/h的速度前去营救．求“黄山”舰靠近商船所需要的最少时间及所经过的路程．
【解】　如图所示，若“黄山”舰
以最少时间在B处追上商船，则A，B，C构成一个三角形．
设所需时间为t小时，
则AB＝21t，BC＝9t.
又已知AC＝10，依题意知，∠ACB＝120°.
根据余弦定理，
AB2＝AC2＋BC2－2·AC·BCcos∠ACB.
∴(21t)2＝102＋(9t)2－2×10×9tcos 120°，
∴(21t)2＝100＋81t2＋90t，即360t2－90t－100＝0.
∴t＝或t＝－(舍)．
∴AB＝21×＝14(n mile)．
即“黄山”舰需要用小时靠近商船，共航行14 n mile.