高中数学[课时训练]必修5第一章第3课时 应用举例（二）
文档属性
| 名称 | 高中数学[课时训练]必修5第一章第3课时 应用举例（二） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 177.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2015-08-21 08:03:30 | ||
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文档简介
第5课时 应用举例（二）
【基础达标】
一、选择题
1．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，则它的顶角的余弦值为( )
A．－ B.
C．－ D.
【解析】 设BC＝a，AC＝b，AB＝c，
则a＋b＋c＝5a，∴b＋c＝4a.∴b＝c＝2a.
由余弦定理得：cos A＝＝＝.
【答案】 B
2．已知锐角△ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为( )
A．75° B．60°
C．45° D．30°
【解析】 由△ABC的面积为3，且BC＝4，CA＝3，
可知BC·CAsin C＝3，
∴sin C＝.
又△ABC为锐角三角形，∴∠C＝60°.
【答案】 B
图1－2－21
3．某市在“旧城改造”工程中计划在如右图所示的一块三角形空地上种植草皮以美化环境．已知这种草皮的价格为a元/m2，则购买这种草皮需要( )
A．450a元 B．225a元
C．150a元 D．300a元
【解析】 由面积公式知三角形区域面积为×20×30×sin 150°＝150 m2，所以购买这种草皮需150a元．
【答案】 C
4．在△ABC中，a＝1，∠B＝45°，S△ABC＝2，则此三角形的外接圆的半径R＝( )
A. B．1
C．2 D.
【解析】 S△ABC＝acsin B＝c＝2，∴c＝4.
b2＝a2＋c2－2accos B＝1＋32－8×＝25，
∴b＝5.∴R＝＝＝.
【答案】 D
二、填空题
5．如图2－2－10所示，已知圆内接四边形ABCD中AB＝3，AD＝5，BD＝7，
图2－2－10
∠BDC＝45°，则BC＝________．
【解析】 cos A＝＝－，
∴A＝120°，∴C＝60°.从而＝，∴BC＝＝＝.
【答案】
6．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(，－1)，n＝(cos A，sin A)．若n⊥m，且acos B＋bcos A＝csin C，则角B＝________．
【解析】 ∵m⊥n，∴cos A－sin A＝0.
∴tan A＝.即A＝.
由acos B＋bcos A＝csin C及正弦定理得
sin Acos B＋sin Bcos A＝sin2C.
∴sin(A＋B)＝sin C＝sin2C.
则sin C＝1，∴C＝.
∴B＝π－－＝.
【答案】
三、解答题：
7．如图2－3－11，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量．已知AB＝50 m，BC＝120 m，于A处测得水深AD＝80 m，于B处测得水深BE＝200 m，于C处测得水深CF＝110 m，求∠DEF的余弦值．
图2－3－11
【解】 如图所示，作DM∥AC交BE于N，交CF于M.
则DF＝＝＝10m，
DE＝＝＝130 m，
EF＝＝＝150 m.
在△DEF中，由余弦定理，得
cos ∠DEF＝
＝＝.
8．如图2－3－13，海中小岛A周围40海里内有暗礁，一船正在向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后，在C处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，问有无触礁的危险？
图2－3－13
【解】 在△ABC中，BC＝30，B＝30°，C＝135°，所以A＝15°.
由正弦定理知＝，即＝，
所以AC＝＝60cos 15°＝60cos (45°－30°)
＝60(cos45°cos 30°＋sin 45°sin 30°)＝15(＋)．
于是，A到BC边所在直线的距离为：
ACsin 45°＝15(＋)×＝15(＋1)≈40.98(海里)，
由于它大于40海里，所以船继续向南航行没有触礁的危险．
【能力提升】
9．在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD，2AB＝BD，BC＝2BD，则sin C的值为( )
A. B.
C. D.
【解析】 设AB＝AD＝，
则BD＝AB＝2，BC＝2BD＝4，
在△ABD中利用余弦定理得
cos A＝＝，
∴sin A＝＝.
在△ABC中利用正弦定理得＝，
∴sin C＝＝＝，故选D.
【答案】 D
10．如图2－2－9所示，四边形ABCD中，∠ABC＝∠C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于( )
图2－2－9
A. B．5
C．6＋ D．7
【解析】 连接BD，在△BCD中，
BD＝
＝＝2.
∵∠CBD＝30°，∴∠ABD＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝AB·BD＋BC·CDsin ∠BCD
＝×4×2＋×2×2×sin 120°＝5.
11．一角槽的断面如图2－3－10，四边形ADEB是矩形，若α＝50°，β＝70°，AC＝90 mm，BC＝150 mm，则DE的长度等于________mm.
图2－3－10
【解析】 连接AB，则∠BAC＝90°－α＝40°，∠ABC＝90°－β＝20°，∴∠C＝180°－40°－20°＝120°，∴AB2＝AC2＋BC2－2×AC×BC×cos 120°＝902＋1502－2×90×150×(－)＝902＋1502＋90×150＝44 100，
∴AB＝210，故DE＝210.
【答案】 210
12．如图2－3－12所示，某人骑自行车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在北偏西60°的方向上，行驶6 km后到达B处，测得此山顶在北偏西15°的方向上，仰角为15°，求此山的高度CD.(精确到0.1 km)(参考数据：≈1.41，≈1.73)
图2－3－12
【解】 如题图所示，在△ABC中，A＝30°，C＝75°－30°＝45°.
由＝得，
BC＝＝3.
在Rt△BCD中，
CD＝BC×tan ∠DBC＝3×(2－)＝6－3≈1.1(km)．
答：山高约为1.1 km.
【探究创新】
13．如图1.2-14，A，B是海面上位于东西方向相聚5（3+）海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与点B相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船达到D点需要多长时间？
解析：由题意知海里，
，，
∴ ，
在中，由正弦定理得，
∴
=（海里），
又，海里。
在中，由余弦定理得
=，
∴ （海里）， 则需要的时间（小时）。
答：救援船到达点需要1小时。
【基础达标】
一、选择题
1．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，则它的顶角的余弦值为( )
A．－ B.
C．－ D.
【解析】 设BC＝a，AC＝b，AB＝c，
则a＋b＋c＝5a，∴b＋c＝4a.∴b＝c＝2a.
由余弦定理得：cos A＝＝＝.
【答案】 B
2．已知锐角△ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为( )
A．75° B．60°
C．45° D．30°
【解析】 由△ABC的面积为3，且BC＝4，CA＝3，
可知BC·CAsin C＝3，
∴sin C＝.
又△ABC为锐角三角形，∴∠C＝60°.
【答案】 B
图1－2－21
3．某市在“旧城改造”工程中计划在如右图所示的一块三角形空地上种植草皮以美化环境．已知这种草皮的价格为a元/m2，则购买这种草皮需要( )
A．450a元 B．225a元
C．150a元 D．300a元
【解析】 由面积公式知三角形区域面积为×20×30×sin 150°＝150 m2，所以购买这种草皮需150a元．
【答案】 C
4．在△ABC中，a＝1，∠B＝45°，S△ABC＝2，则此三角形的外接圆的半径R＝( )
A. B．1
C．2 D.
【解析】 S△ABC＝acsin B＝c＝2，∴c＝4.
b2＝a2＋c2－2accos B＝1＋32－8×＝25，
∴b＝5.∴R＝＝＝.
【答案】 D
二、填空题
5．如图2－2－10所示，已知圆内接四边形ABCD中AB＝3，AD＝5，BD＝7，
图2－2－10
∠BDC＝45°，则BC＝________．
【解析】 cos A＝＝－，
∴A＝120°，∴C＝60°.从而＝，∴BC＝＝＝.
【答案】
6．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(，－1)，n＝(cos A，sin A)．若n⊥m，且acos B＋bcos A＝csin C，则角B＝________．
【解析】 ∵m⊥n，∴cos A－sin A＝0.
∴tan A＝.即A＝.
由acos B＋bcos A＝csin C及正弦定理得
sin Acos B＋sin Bcos A＝sin2C.
∴sin(A＋B)＝sin C＝sin2C.
则sin C＝1，∴C＝.
∴B＝π－－＝.
【答案】
三、解答题：
7．如图2－3－11，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量．已知AB＝50 m，BC＝120 m，于A处测得水深AD＝80 m，于B处测得水深BE＝200 m，于C处测得水深CF＝110 m，求∠DEF的余弦值．
图2－3－11
【解】 如图所示，作DM∥AC交BE于N，交CF于M.
则DF＝＝＝10m，
DE＝＝＝130 m，
EF＝＝＝150 m.
在△DEF中，由余弦定理，得
cos ∠DEF＝
＝＝.
8．如图2－3－13，海中小岛A周围40海里内有暗礁，一船正在向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后，在C处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，问有无触礁的危险？
图2－3－13
【解】 在△ABC中，BC＝30，B＝30°，C＝135°，所以A＝15°.
由正弦定理知＝，即＝，
所以AC＝＝60cos 15°＝60cos (45°－30°)
＝60(cos45°cos 30°＋sin 45°sin 30°)＝15(＋)．
于是，A到BC边所在直线的距离为：
ACsin 45°＝15(＋)×＝15(＋1)≈40.98(海里)，
由于它大于40海里，所以船继续向南航行没有触礁的危险．
【能力提升】
9．在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD，2AB＝BD，BC＝2BD，则sin C的值为( )
A. B.
C. D.
【解析】 设AB＝AD＝，
则BD＝AB＝2，BC＝2BD＝4，
在△ABD中利用余弦定理得
cos A＝＝，
∴sin A＝＝.
在△ABC中利用正弦定理得＝，
∴sin C＝＝＝，故选D.
【答案】 D
10．如图2－2－9所示，四边形ABCD中，∠ABC＝∠C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于( )
图2－2－9
A. B．5
C．6＋ D．7
【解析】 连接BD，在△BCD中，
BD＝
＝＝2.
∵∠CBD＝30°，∴∠ABD＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝AB·BD＋BC·CDsin ∠BCD
＝×4×2＋×2×2×sin 120°＝5.
11．一角槽的断面如图2－3－10，四边形ADEB是矩形，若α＝50°，β＝70°，AC＝90 mm，BC＝150 mm，则DE的长度等于________mm.
图2－3－10
【解析】 连接AB，则∠BAC＝90°－α＝40°，∠ABC＝90°－β＝20°，∴∠C＝180°－40°－20°＝120°，∴AB2＝AC2＋BC2－2×AC×BC×cos 120°＝902＋1502－2×90×150×(－)＝902＋1502＋90×150＝44 100，
∴AB＝210，故DE＝210.
【答案】 210
12．如图2－3－12所示，某人骑自行车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在北偏西60°的方向上，行驶6 km后到达B处，测得此山顶在北偏西15°的方向上，仰角为15°，求此山的高度CD.(精确到0.1 km)(参考数据：≈1.41，≈1.73)
图2－3－12
【解】 如题图所示，在△ABC中，A＝30°，C＝75°－30°＝45°.
由＝得，
BC＝＝3.
在Rt△BCD中，
CD＝BC×tan ∠DBC＝3×(2－)＝6－3≈1.1(km)．
答：山高约为1.1 km.
【探究创新】
13．如图1.2-14，A，B是海面上位于东西方向相聚5（3+）海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与点B相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船达到D点需要多长时间？
解析：由题意知海里，
，，
∴ ，
在中，由正弦定理得，
∴
=（海里），
又，海里。
在中，由余弦定理得
=，
∴ （海里）， 则需要的时间（小时）。
答：救援船到达点需要1小时。