2023-2024学年度高二年级上学期期末复习综合（一）
一、单选题（每题5分，共40分）
1. 已知四面体是的重心，若，则（ ）
A. 4 B. C. D.
2. 经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，设l的倾斜角为，l的斜率为 k，则（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知为等比数列且各项均为正数，公比为q，则“”是“”的（ ）
A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知圆与圆相交于两点，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知为椭圆的焦点，P为椭圆上一动点，，则的最大值为（ ）
A. B. 6 C. D.
7. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为双曲线上的一点，目，射线平分，交轴于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图所示，已知抛物线过点，圆. 过圆心的直线与抛物线和圆分别交于，则的最小值为（ ）
A B. C. D.
二、多选题（每题5分，共20分）
9. 已知直线：被圆截得的弦长为，点是直线上的任意一点，则的值有可能为（ ）
A. B. 1 C. 2 D. 3
10. 正三棱柱中，已知，空间点满足，则（ ）
A. 当时，为正方形对角线交点
B. 当时，在平面内
C. 当时，三棱锥的体积为
D. 当，且时，有且仅有一个点，使得
11. 设数列的前项和为，满足且，则下列选项正确的是（ ）
A.
B. 数列等差数列
C. 当时，取最大值
D. 设，则当或时，数列的前项和取最大值
12. 已知、是椭圆的左、右顶点，是直线上的动点（不在轴上），交椭圆于点，与交于点，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 若点，则
C. 是常数 D. 点在一个定圆上
三、填空题（每题5分，共20分）
13. 已知数列满足，，则的通项公式是___________.
14. 已知向量且共面，则__________.
15. 设为的导函数，若，则曲线在点处的切线方程为__________.
16. 已知，分别为双曲线：的左右焦点，过点且斜率存在的直线与双曲线的渐近线相交于两点，且点A、B在x轴的上方，A、B两个点到x轴的距离之和为，若，则双曲线的渐近线方程是_____________________.
四、解答题
17. 已知数列的前项和为，且是首项为1，公差为2的等差数列.
（1）求的通项公式；
（2）若数列的前项和为，且不等式对一切恒成立，求实数的取值范围.
18. 已知圆C过点且圆心在直线上
（1）求圆C的方程，并求过点的切线方程．
（2）若过点的直线与圆C交于A，B两点，且三角形ABC的面积为10，求直线l的方程．
19. 已知函数.
（1）在上是增函数，求a的取值范围；
（2）讨论函数的单调性．
20. 如图，在三棱柱中，直线平面，平面平面．
（1）求证：；
（2）若，在棱上是否存在一点，使二面角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
21. 在平面直角坐标系中，动点Р到点的距离与到直线的距离之比为，设动点P的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）过作两条垂直直线，分别交曲线C于和，且分别为线段的中点，证明直线过定点，并求出定点的坐标.
22. 已知椭圆：的离心率为，的左右焦点分别为，，是椭圆上任意一点，满足.抛物线：的焦点与椭圆的右焦点重合，点是抛物线的准线上任意一点，直线，分别与抛物线相切于点.
（1）若直线与椭圆相交于，两点，且中点为，求直线的方程；
（2）设直线，的斜率分别为，，证明：为定值.2023-2024学年度高二年级上学期期末复习综合（一）
一、单选题（每题5分，共40分）
1. 已知四面体是重心，若，则（ ）
A. 4 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】取的中点，根据空间向量线性运算法则及空间向量基本定理计算可得.
【详解】取的中点，
所以
，
又，
可得，所以.
故选：B.
2. 经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，设l的倾斜角为，l的斜率为 k，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由两点斜率公式可求解斜率，进而得，然后求解三角不等式得答案．
【详解】设直线的倾斜角为，
,
所以，即，
由题意知：，
解得：或．
倾斜角取值范围是
故BCD错误，A正确，
故选：A
3. 已知为等比数列且各项均为正数，公比为q，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】将表示为，然后根据与的互相推出关系判断属于何种条件.
【详解】因为为等比数列且各项均为正数，所以，
当时，；
当时，；
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
4. 若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，由导数的几何意义表示出切线方程，然后列出不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】设切点为，由已知得，则切线斜率，
切线方程为．
∵直线过点，∴，
化简得．∵切线有2条，
∴，则的取值范围是，
故选：D
5. 已知圆与圆相交于两点，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出公共弦所在的直线方程以及公共弦长，利用面积公式计算即可.
【详解】联立,相减可得直线：，
所以到直线的距离为，
利用圆与直线相交可得：，
所以.
故选：A.
6. 已知为椭圆的焦点，P为椭圆上一动点，，则的最大值为（ ）
A. B. 6 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据焦点求得，利用椭圆的定义求得的最大值.
【详解】由于椭圆的焦点为，所以且焦点在轴上，则，
且，，所以椭圆方程，
所以，设左焦点为，
根据椭圆的定义得，
当是的延长线与椭圆的交点时等号成立，
所以的最大值为.
故选：A
7. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为双曲线上的一点，目，射线平分，交轴于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由角平分线性质定理结合双曲线定义求出，，在中利用余弦定理求得关系式，即可求得答案.
【详解】由题意，不妨设P在双曲线右支上，
因为射线平分，，
∴，
由双曲线定义知：，则，，
在中，由余弦定理得：，
得，
∴双曲线的离心率,
故选：C
8. 如图所示，已知抛物线过点，圆. 过圆心的直线与抛物线和圆分别交于，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由点在抛物线上求出p，焦半径的几何性质有，再将目标式转化为，应用基本不等式“1”的代换求最值即可，注意等号成立条件.
【详解】由题设，16＝2p×2，则2p＝8，故抛物线的标准方程：，则焦点F(2,0)，
由直线PQ过抛物线的焦点，则，
圆C2：圆心(2,0)，半径1，
，
当且仅当时等号成立，故的最小值为13.
故选：D
【点睛】关键点点睛：由焦半径的倾斜角式得到，并将目标式转化为，结合基本不等式求最值.
二、多选题（每题5分，共20分）
9. 已知直线：被圆截得的弦长为，点是直线上的任意一点，则的值有可能为（ ）
A. B. 1 C. 2 D. 3
【答案】BCD
【解析】
【分析】求出圆心和半径，利用垂径定理和点到直线距离公式求出，得到直线方程，进而求出，计算出，得到答案.
【详解】圆的圆心为，半径为2，
故到直线的距离为，
由垂径定理得，解得，
即，解得，
则点在直线，
故，
则，
故A错误，BCD正确.
故选：BCD
10. 在正三棱柱中，已知，空间点满足，则（ ）
A. 当时，为正方形对角线交点
B. 当时，在平面内
C. 当时，三棱锥的体积为
D. 当，且时，有且仅有一个点，使得
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意作出图形，建立空间直角坐标系，利用空间向量的运算及空间向量法可逐项判断.
【详解】对于A，，∴
∴为正方形对角线交点，故A对；
对于B，，时，，平面，故B错.
对于C，时，，∴
∴平面，，，故C对.
对于D，如图建系，，，，，，
，
，，则，点为正方形对角线交点，
点唯一，故D对.
故选：ACD.
11. 设数列的前项和为，满足且，则下列选项正确的是（ ）
A.
B. 数列为等差数列
C. 当时，取最大值
D. 设，则当或时，数列的前项和取最大值
【答案】BD
【解析】
【分析】利用和的关系作差可得为等差数列，即可根据基本量的计算求解AB，根据二次函数的性质即可求解C，根据的正负即可求解D.
【详解】对于A，当时，，又，解得，
当时，①，②，①-②得，，
即，化为，
不能对任意的恒成立，，
，故为等差数列，公差为，首项为通项公式为，故A错误；
对于B，，故，
则当时，，故为等差数列，故B正确：
对于C，当时，取得最大值，故C错误；
对于D，令得，令得，则当时，，
当时，，当时，，
当时，，又，
则当或时，数列的前项和取最大值，故D正确，
故选:BD.
12. 已知、是椭圆的左、右顶点，是直线上的动点（不在轴上），交椭圆于点，与交于点，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 若点，则
C. 是常数 D. 点在一个定圆上
【答案】BCD
【解析】
【分析】设点，利用斜率公式可判断A选项；求出点的纵坐标，利用三角形面积比可判断B选项；设直线的方程为，求出点、的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可判断C选项；利用斜率关系证明出，利用直角三角形的几何性质可判断D选项.
【详解】如下图所示：
对于A选项，设点，易知点、，
所以，不是定值，A错；
对于B选项，当点的坐标为，，
则直线的方程为，即，
联立，可得，解得或，即，
所以，，B对；
对于C选项，设直线的方程为，
联立可得，解得或，
则，，
即点，
联立可得，即点，
所以，，C对；
对于D选项，设点，其中，且，则，
，
，则，所以，，
则，所以，，取线段的中点，连接，
由直角三角形的几何性质可知，
所以，点在以线段的直径的圆上，D对.
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
三、填空题（每题5分，共20分）
13. 已知数列满足，，则的通项公式是___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据所给递推关系可得，，与原式作差即可求解.
【详解】因为①
所以，
当时，②，
①-②可得，，
所以，
所以数列的通项公式是.
故答案为： .
14. 已知向量且共面，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得存在非零实数满足，结合空间向量坐标的线性运算可得的值，进而结合空间向量模的坐标公式求解即可.
【详解】若共面，则存在非零实数满足，
则，
即，解得，
所以，则，
所以.
故答案为：.
15. 设为的导函数，若，则曲线在点处的切线方程为__________.
【答案】
【解析】
【分析】对原函数求导并求得，再由导数几何意义写出切线方程.
【详解】由题设，则，
所以，则，
综上，点处的切线方程为，即.
故答案为：
16. 已知，分别为双曲线：的左右焦点，过点且斜率存在的直线与双曲线的渐近线相交于两点，且点A、B在x轴的上方，A、B两个点到x轴的距离之和为，若，则双曲线的渐近线方程是_____________________.
【答案】
【解析】
【分析】设是的中点，先求得点的坐标，然后利用点差法求得，进而求得正确答案.
【详解】设，依题意，设的中点为，
由于，所以，所以，，
由于，所以，
所以，所以或，
由于在双曲线的渐近线上，
所以，两式相减并化简得，，
若，则不符合题意，舍去.
若，则，所以，
所以渐近线方程为.
故答案为：
【点睛】本题解题的关键点有两个，一个是，则在线段的垂直平分线上，由此可以构建中点和斜率的关系式；另一个关键点是点差法，利用点差法可以减少运算量，可以快速求得问题的答案.
四、解答题
17. 已知数列前项和为，且是首项为1，公差为2的等差数列.
（1）求的通项公式；
（2）若数列的前项和为，且不等式对一切恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由求通项公式，由等差数列定义写出通项公式，进而写出通项公式；
（2）应用错位相减法、等比数列前n项和公式求，问题化为对一切恒成立，研究右侧的单调性求最大值，即可得参数范围.
【小问1详解】
当时，，解得.
当时，，两式相减得，
即，
所以是首项 公比均为2的等比数列，故.
又，故.
【小问2详解】
因为，所以①，②，
①-②得.
所以.
不等式对一切恒成立，转化为对一切恒成立.
令，则，
又，
当时，，当时，，
所以，则.
所以实数的取值范围为.
18. 已知圆C过点且圆心在直线上
（1）求圆C的方程，并求过点的切线方程．
（2）若过点的直线与圆C交于A，B两点，且三角形ABC的面积为10，求直线l的方程．
【答案】（1），切线方程为
（2）或或
【解析】
【分析】（1）求出的垂直平分线方程，与联立求出圆心坐标，进而求出半径，得到圆的方程，并设出切线方程，由点到直线距离公式得到方程，求出切线方程；
（2）设出直线方程，表达出圆心到直线的距离，利用垂径定理得到弦长，从而根据面积列出方程，求出或，分两种情况，求出相应直线的斜率，得到直线方程.
【小问1详解】
由对称性可知圆心C在线段的垂直平分线上，
线段的中点坐标为，
又，故的垂直平分线的斜率为，
故的垂直平分线方程为，即，
联立与，解得，
故圆心坐标为，半径为，
故圆C的方程为，
当过点的直线斜率不存在时，不是圆C的切线，
设过点的切线方程为，
则，解得，
故过点的切线方程为，即；
【小问2详解】
将代入圆C，，
故点在圆C外，
当过点的直线斜率不存在时，此时直线与圆无交点，舍去，
设过点的直线方程为，
则圆心到直线的距离，
又半径，故由垂径定理得，
又三角形ABC的面积为10，
所以，
解得或，
由于，故或均满足要求，
当时，，解得或，
当时，，解得，
综上，直线l的方程为或或.
19. 已知函数.
（1）在上是增函数，求a的取值范围；
（2）讨论函数的单调性．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数与函数的关系得到在上恒成立，从而得解；
（2）首先求出定义域，再求出导函数，分和两种情况，求出函数的单调区间.
【小问1详解】
因为，所以的定义域为，
则，
因为在上是增函数，即在上恒成立，
则在上恒成立，
因为在上恒成立，所以在上恒成立，
即在上恒成立，即，
因为，所以，则，
所以，则.
【小问2详解】
由（1）得，
当时，，则在上是增函数；
当时，，
所以；
或；
，
所以在上是减函数，在和上是增函数.
20. 如图，在三棱柱中，直线平面，平面平面．
（1）求证：；
（2）若，在棱上是否存在一点，使二面角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；
（2）存在，.
【解析】
【分析】（1）利用面面垂直的性质、线面垂直的性质判定推理即得.
（2）作，建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法求解即得.
【小问1详解】
在三棱柱中，由平面，平面，得，
在平面内过作于，由平面平面，平面平面，
得平面，而平面，则有，
显然平面，因此平面，又平面，
所以.
【小问2详解】
过点作，由，得，
由（1）知平面，平面，则，即直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
由，得，，
假定在棱上存在一点，使二面角的余弦值为，
令，则，，
设平面的一个法向量，则，
令，得，显然平面的一个法向量，
依题意，，解得，即，
所以在棱上存在一点，使二面角的余弦值为，.
21. 在平面直角坐标系中，动点Р到点的距离与到直线的距离之比为，设动点P的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）过作两条垂直直线，分别交曲线C于和，且分别为线段的中点，证明直线过定点，并求出定点的坐标.
【答案】（1）；
（2）证明见解析，定点为.
【解析】
【分析】（1）令，根据题设列方程并化简整理，即可得曲线C的方程；
（2）讨论两条直线斜率存在性，设直线、，联立椭圆方程并应用韦达定理写出相交弦的中点坐标，进而写出直线，即可证结论并确定定点坐标.
【小问1详解】
令，则，两边平方，
得，则，
所以曲线C的方程为.
【小问2详解】
若两条直线斜率都存在时，设直线，则，
联立，可得，
则，
所以，则，
故，同理可得，
所以，所以，
则，此时过定点；
若一条直线斜率为0，另一条斜率不存在，易知都在轴上，此时也过定点；
综上，直线过定点，得证.
22. 已知椭圆：的离心率为，的左右焦点分别为，，是椭圆上任意一点，满足.抛物线：的焦点与椭圆的右焦点重合，点是抛物线的准线上任意一点，直线，分别与抛物线相切于点.
（1）若直线与椭圆相交于，两点，且的中点为，求直线的方程；
（2）设直线，的斜率分别为，，证明：为定值.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）已知条件待定，得到椭圆方程.已知弦中点，结合点差法求出直线的斜率，进而得到直线方程；
（2）根据焦点求出抛物线的方程为，设过点的直线方程为，与抛物线方程联立，利用相切得出，可得，再利用韦达定理可得答案.
【小问1详解】
由，得，则.
又椭圆：的离心率为，设椭圆的焦半径为，
则，解得，则，
所以椭圆：.
由直线与椭圆相交于，两点，设，，
∴，，
两式作差得：，
即：，
由的中点为，
可得：，，代入上式得，
当时，，，两点重合，不合题意；
当时，直线的斜率，
∴直线的方程为：，即.
【小问2详解】
由（1）知，则抛物线的焦点为，
所以，抛物线的标准方程为，准线方程为，
由于点是抛物线的准线上任意一点，故可设，
由直线，分别与抛物线相切于点可知，
直线，的斜率存在且都不为，
设过点的直线方程为，
联立消去,
得关于的方程，
若过点的直线与抛物线相切，
则其判别式，
化简得到关于的二次方程，
由题意知，直线，的斜率即该关于的二次方程的两根，即为、，
则由韦达定理知，，
故为定值，且定值为.
