高中数学[课时训练]必修5第一章第2课时余弦定理
文档属性
| 名称 | 高中数学[课时训练]必修5第一章第2课时余弦定理 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 20.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2015-08-21 08:01:12 | ||
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文档简介
第2课时余弦定理
【基础达标】
一、选择题
1．在△ABC中，a＝3，b＝，c＝2，那么B等于( )
A．30° B．45° C．60° D．120°
[解析] cosB＝ ＝ ＝，
∴B＝60°.
[答案] C
2．在△ABC中，已知a＝1，b＝2，C＝60°，则边c等于( )
A． B． C．3 D．4
[解析] 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋4－2×1×2×cos60°＝1＋4－2×1×2×＝3，
∴c＝.
[答案] A
3．在△ABC中，若aA．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不存在
[解析] ∵c2∵a[答案] B
4．在△ABC中，若a＝8，b＝7，cosC＝，则最大角的余弦值是( )
A．－ B．－ C．－ D．－
[解析] 由余弦定理，得
c2＝a2＋b2－2abcosC＝82＋72－2×8×7×＝9，
所以c＝3，故a最大，
所以最大角的余弦值为
cosA＝＝＝－.
[答案] C
二、填空题
5．三角形的三边分别为4,6,8，则此三角形为________．
则cos θ＝＜0，∴θ为钝角，∴此三角形为钝角三角形．
【答案】 钝角三角形
6．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C＝________.
【解析】 ∵(a＋b)2－c2＝ab，∴a2＋b2－c2＝－ab，
∴cos C＝＝－，
∴c＝120°.
【答案】 120°
三、解答题
7．在△ABC中，已知sinC＝，a＝2，b＝2，求边C．
[解析] ∵sinC＝，且0当C＝时，cosC＝，
此时，c2＝a2＋b2－2abcosC＝4，即c＝2.
当C＝时，cosC＝－，
此时，c2＝a2＋b2－2abcosC＝28，即c＝2.
8．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2b·cosA＝c·cosA＋a·cosC．
(1)求角A的大小；
(2)若a＝，b＋c＝4，求bc的值．
[解析] (1)根据正弦定理
2b·cosA＝c·cosA＋a·cosC可化为
2cosAsinB＝sinCcosA＋sinAcosC＝sin(A＋C)＝sinB，
∵sinB≠0，∴cosA＝，
∵0°(2)由余弦定理，得
7＝a2＝b2＋c2－2bc·cos60°＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，
把b＋c＝4代入得bc＝3.
【能力提升】
9．在△ABC中，已知AB＝3，AC＝2，BC＝，则·等于( )
A．－ B．－ C． D．
[解析] ∵·＝||·||·cos<，>，由向量模的定义和余弦定理可以得出||＝3，||＝2，cos<，>＝＝.
故·＝3×2×＝.
[答案] D
10．在△ABC中，有下列关系式：
①asinB＝bsinA； ②a＝bc ( http: / / www.21cnjy.com )osC＋ccosB； ③a2＋b2－c2＝2abcosC； ④b＝csinA＋asinC．一定成立的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
[解析] 对于①③，由正弦、余弦定理，知一 ( http: / / www.21cnjy.com )定成立．对于②，由正弦定理及sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋sinCcosB，知显然成立．对于④，利用正弦定理，变形得sinB＝sinCsinA＋sinAsinC＝2sinAsinC，又sinB＝sin(A＋C)＝cosCsinA＋cosAsinC，与上式不一定相等，所以④不一定成立．故选C．
[答案] C
11．在不等边三角形中，a是最大的边，若a2＜b2＋c2，则角A的取值范围是________．
【解析】 ∵a是最大边，∴A＞，又a2＜b2＋c2，由余弦定理cos A＝＞0，∴A＜，故＜A＜.
【答案】 (，)
12．a、b、c分别是△ABC中角A、B、 ( http: / / www.21cnjy.com )C的对边，且(sin B＋sin C＋sin A)(sin B＋sin C－sin A)＝sin Bsin C，边b和c是关于x的方程x2－9x＋25cos A＝0的两根(b>c)．
(1)求角A的正弦值；
(2)求边a，b，c；
(3)判断△ABC的形状．
【解析】 (1)∵(sin B＋sin C＋sin A)(sin B＋sin C－sin A)＝sin B·sin C.
结合正弦定理得
(b＋c＋a)(b＋c－a)＝bc，整理得b2＋c2－a2＝bc.
由余弦定理得cos A＝＝，
∴sin A＝.
(2)由(1)知方程x2－9x＋25cos A＝0，
可化为x2－9x＋20＝0，
解之得x＝5或x＝4.
∵b>c，∴b＝5，c＝4.
由余弦定理知：a2＝b2＋c2－2bccos A，
∴a＝3.
(3)由(1)(2)知，a2＋c2＝b2，
∴△ABC为直角三角形．
【探究创新】
13.在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且 ＝－.
(1)求B的大小；
(2)若b＝，a＋c＝4，求a的值．
【解析】 (1)由余弦定理得
cos B＝，cos C＝，
∴原式化为· ＝－，
整理得a2＋c2－b2＋ac＝0，
∴cos B＝ ＝＝－，
又0＜B＜π，∴B＝.
(2)将b＝，a＋c＝4，B＝
代入b2＝a2＋c2－2accos B得，
13＝a2＋(4－a)2－2a(4－a)·cos，
即a2－4a＋3＝0.
解得a＝1或a＝3.
【基础达标】
一、选择题
1．在△ABC中，a＝3，b＝，c＝2，那么B等于( )
A．30° B．45° C．60° D．120°
[解析] cosB＝ ＝ ＝，
∴B＝60°.
[答案] C
2．在△ABC中，已知a＝1，b＝2，C＝60°，则边c等于( )
A． B． C．3 D．4
[解析] 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋4－2×1×2×cos60°＝1＋4－2×1×2×＝3，
∴c＝.
[答案] A
3．在△ABC中，若a
[解析] ∵c2
4．在△ABC中，若a＝8，b＝7，cosC＝，则最大角的余弦值是( )
A．－ B．－ C．－ D．－
[解析] 由余弦定理，得
c2＝a2＋b2－2abcosC＝82＋72－2×8×7×＝9，
所以c＝3，故a最大，
所以最大角的余弦值为
cosA＝＝＝－.
[答案] C
二、填空题
5．三角形的三边分别为4,6,8，则此三角形为________．
则cos θ＝＜0，∴θ为钝角，∴此三角形为钝角三角形．
【答案】 钝角三角形
6．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C＝________.
【解析】 ∵(a＋b)2－c2＝ab，∴a2＋b2－c2＝－ab，
∴cos C＝＝－，
∴c＝120°.
【答案】 120°
三、解答题
7．在△ABC中，已知sinC＝，a＝2，b＝2，求边C．
[解析] ∵sinC＝，且0
此时，c2＝a2＋b2－2abcosC＝4，即c＝2.
当C＝时，cosC＝－，
此时，c2＝a2＋b2－2abcosC＝28，即c＝2.
8．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2b·cosA＝c·cosA＋a·cosC．
(1)求角A的大小；
(2)若a＝，b＋c＝4，求bc的值．
[解析] (1)根据正弦定理
2b·cosA＝c·cosA＋a·cosC可化为
2cosAsinB＝sinCcosA＋sinAcosC＝sin(A＋C)＝sinB，
∵sinB≠0，∴cosA＝，
∵0°
7＝a2＝b2＋c2－2bc·cos60°＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，
把b＋c＝4代入得bc＝3.
【能力提升】
9．在△ABC中，已知AB＝3，AC＝2，BC＝，则·等于( )
A．－ B．－ C． D．
[解析] ∵·＝||·||·cos<，>，由向量模的定义和余弦定理可以得出||＝3，||＝2，cos<，>＝＝.
故·＝3×2×＝.
[答案] D
10．在△ABC中，有下列关系式：
①asinB＝bsinA； ②a＝bc ( http: / / www.21cnjy.com )osC＋ccosB； ③a2＋b2－c2＝2abcosC； ④b＝csinA＋asinC．一定成立的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
[解析] 对于①③，由正弦、余弦定理，知一 ( http: / / www.21cnjy.com )定成立．对于②，由正弦定理及sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋sinCcosB，知显然成立．对于④，利用正弦定理，变形得sinB＝sinCsinA＋sinAsinC＝2sinAsinC，又sinB＝sin(A＋C)＝cosCsinA＋cosAsinC，与上式不一定相等，所以④不一定成立．故选C．
[答案] C
11．在不等边三角形中，a是最大的边，若a2＜b2＋c2，则角A的取值范围是________．
【解析】 ∵a是最大边，∴A＞，又a2＜b2＋c2，由余弦定理cos A＝＞0，∴A＜，故＜A＜.
【答案】 (，)
12．a、b、c分别是△ABC中角A、B、 ( http: / / www.21cnjy.com )C的对边，且(sin B＋sin C＋sin A)(sin B＋sin C－sin A)＝sin Bsin C，边b和c是关于x的方程x2－9x＋25cos A＝0的两根(b>c)．
(1)求角A的正弦值；
(2)求边a，b，c；
(3)判断△ABC的形状．
【解析】 (1)∵(sin B＋sin C＋sin A)(sin B＋sin C－sin A)＝sin B·sin C.
结合正弦定理得
(b＋c＋a)(b＋c－a)＝bc，整理得b2＋c2－a2＝bc.
由余弦定理得cos A＝＝，
∴sin A＝.
(2)由(1)知方程x2－9x＋25cos A＝0，
可化为x2－9x＋20＝0，
解之得x＝5或x＝4.
∵b>c，∴b＝5，c＝4.
由余弦定理知：a2＝b2＋c2－2bccos A，
∴a＝3.
(3)由(1)(2)知，a2＋c2＝b2，
∴△ABC为直角三角形．
【探究创新】
13.在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且 ＝－.
(1)求B的大小；
(2)若b＝，a＋c＝4，求a的值．
【解析】 (1)由余弦定理得
cos B＝，cos C＝，
∴原式化为· ＝－，
整理得a2＋c2－b2＋ac＝0，
∴cos B＝ ＝＝－，
又0＜B＜π，∴B＝.
(2)将b＝，a＋c＝4，B＝
代入b2＝a2＋c2－2accos B得，
13＝a2＋(4－a)2－2a(4－a)·cos，
即a2－4a＋3＝0.
解得a＝1或a＝3.