高三强基联盟(第一期)
数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A B. C. D.
2. 已知复数，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 在中，，则“”是“”的（ ）条件
A. 充要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要
4. 三人相约晚上一起点某餐厅外卖，他们分别在，，平台上查到该餐厅的评分情况．有20人评价，评分的平均分是6分，方差是1．有30人评价，评分的平均分是7分，方差为．有50人评价，评分的平均分为5分，方差为，那么该餐厅总的得分方差是（ ）
A. 1 B. 1.45 C. 2 D. 1.86
5. 已知圆C：，圆心为O，直线与C交于A，B两点，则最小值为（ ）
A. B. C. 11 D. 9
6. 已知，则（ ）
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
7. 函数的凹凸性是函数的重要性质之一．函数凹凸性的定义：函数在区间内可导，是内任一点．若曲线弧上点处的切线总位于曲线弧的下方，则称曲线弧在内是凹的；若曲线弧上点处的切线总位于曲线弧的上方，则称曲线弧在内是凸的．函数在区间上为凹(凸)函数等价于的导函数在区间上单调递增(递减)．若在定义域内是凹函数，则的最小值是（ ）
A B. C. D.
8. 三棱锥中，已知，，，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则，，两两独立
B. 当时，是，独立的充要条件
C. 对立事件一定互斥，互斥事件不一定对立
D. 当时，
10. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期是
B. 的图象关于对称
C. 的图象关于对称
D. 的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称
11. 已知抛物线的焦点为，过作直线交抛物线于，两点，过作直线交抛物线于，两点，若，则下列正确的是（ ）
A. 若斜率为，则
B. 的最小值是16
C. 的最小值是16
D. 若在，两点处分别作抛物线的切线，两切线交于，则
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 欧拉是18世纪最优秀的数学家之一，几乎每个数学领域都可以看到欧拉的名字，如著名的欧拉函数.欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互素(两个数只有公约数1)的正整数的个数.例如：，.现从中任选两个数，则这两个数相同的概率是______.
13. 已知函数，则的解集是______．
14. 函数的最小值是，数列满足，，则数列的通项公式是______．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知四棱台中，底面为正方形，，，，⊥底面．
（1）证明：．
（2）求到平面的距离．
16. 某商场为了吸引客流，举办了免费答题兑积分活动，获得的积分可抵现金使用．活动规则如下：每人每天只能参加一轮游戏，每轮游戏有三个判断题，顾客都不知道答案，只能随机猜答案．每轮答对题数多于答错题数可得4分，否则得2分，积分可累计使用．
（1）求某顾客每轮游戏得分的分布列和期望；
（2）若某天有10个人参加答题活动，则这10个人的积分之和大于30分的概率是多少
17. 已知数列的前项和，，．
（1）求数列的通项公式;
（2）证明：．
18. 已知在曲线：上，直线交曲线于，两点．
（1）当不在直线上时，试问(，分别为，斜率)是否为定值 若是，求出定值；若不是，请说明理由．
（2）若为坐标原点，，求面积的最小值．
19. 函数，，．已知有极小值，有极小值．
（1）求的取值范围；
（2）若，求．高三强基联盟(第一期)
数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据对数与分式意义可得，再根据根式的值域可得，进而可得.
【详解】由可得，解得，
又，
故.
故选：B
2. 已知复数，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由复数除法运算求解即可.
【详解】因为复数，，所以.
故选：A
3. 在中，，则“”是“”的（ ）条件
A. 充要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要
【答案】C
【解析】
【分析】根据充分条件、必要条件的定义及正弦定理计算可得.
详解】由可得，
又，所以或，故充分性不成立，
由，则，即，所以，故必要性成立，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：C
4. 三人相约晚上一起点某餐厅外卖，他们分别在，，平台上查到该餐厅的评分情况．有20人评价，评分的平均分是6分，方差是1．有30人评价，评分的平均分是7分，方差为．有50人评价，评分的平均分为5分，方差为，那么该餐厅总的得分方差是（ ）
A. 1 B. 1.45 C. 2 D. 1.86
【答案】D
【解析】
【分析】首先求出总平均分，再由方差公式计算可得.
【详解】依题意总平均分为（分），
所以总方差为.
故选：D
5. 已知圆C：，圆心为O，直线与C交于A，B两点，则的最小值为（ ）
A. B. C. 11 D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】求解直线的定点，再根据平面向量数量积公式可得，进而可得时取最小值，再根据垂径定理求解即可.
【详解】即，令可得，
故直线过定点.
又，故只需求的最小值，此时.
则.
故选：A
6. 已知，则（ ）
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】令，则问题转化为，又，写出展开式的通项，即可求出的系数.
【详解】令，则，
对于，
即，
又，
其中展开式的通项为（且），
所以展开式中的项为，
所以.
故选：C
7. 函数的凹凸性是函数的重要性质之一．函数凹凸性的定义：函数在区间内可导，是内任一点．若曲线弧上点处的切线总位于曲线弧的下方，则称曲线弧在内是凹的；若曲线弧上点处的切线总位于曲线弧的上方，则称曲线弧在内是凸的．函数在区间上为凹(凸)函数等价于的导函数在区间上单调递增(递减)．若在定义域内是凹函数，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出函数的导函数，令，则恒成立，参变分离得到恒成立，令，利用导数求出函数的最大值，即可求出参数的取值范围.
【详解】函数定义域为，则，
令，则，依题意恒成立，
即恒成立，
令，则，所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
所以，即的最小值为.
故选：B
8. 三棱锥中，已知，，，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】令，，然后过点B作，将两个平面所成的锐二面角问题转化为向量夹角问题，利用数量积的运算律及模长公式列式求解即可.
【详解】不妨令，，则在中，因为，
所以，，过点B作，如图：
则在中，因为，所以，
因为，，所以，，
因为，
所以
，
所以，
设平面与平面所成的锐二面角为，因为，，
所以根据二面角的定义与向量夹角定义知，
所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.
故选：A
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则，，两两独立
B. 当时，是，独立的充要条件
C 对立事件一定互斥，互斥事件不一定对立
D. 当时，
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据相互独立事件的定义判断A、B，根据互斥事件、对立事件的定义判断C，根据条件概率公式判断D.
【详解】对于A：对于事件，，，若，，，
以及成立，则，，两两独立，缺一不可，
故由，不能推出，，两两独立，故A错误；
对于B：当，时，所以，所以，独立，
若，独立，则，又，所以，即，
所以当时，是，独立的充要条件，故B正确；
对于C：互斥事件为两事件不能同时发生，对立事件为两事件不能同时发生且两者必有其一发生，
即对立事件一定互斥，互斥事件不一定对立，故C正确；
对于D：，故D正确.
故选：BCD
10. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期是
B. 的图象关于对称
C. 的图象关于对称
D. 的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称
【答案】AB
【解析】
【分析】利用三角恒等变换公式将函数化简，再由正弦函数的性质一一判断即可.
【详解】因为
，
所以的最小正周期，故A正确；
因为，所以的图象关于对称，故B正确；
因为，所以的图象关于对称，故C错误；
将的图象向右平移个单位长度后得到，
为非奇非偶函数，不关于轴对称，故D错误.
故选：AB
11. 已知抛物线的焦点为，过作直线交抛物线于，两点，过作直线交抛物线于，两点，若，则下列正确的是（ ）
A. 若的斜率为，则
B. 最小值是16
C. 的最小值是16
D. 若在，两点处分别作抛物线的切线，两切线交于，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意设直线，直线，将，分别和抛物线联立，利用韦达定理和抛物线的定义即可判断A；利用基本不等式可判断B；利用，再结合韦达定理和基本不等式可判断C；分别求出在，两点处抛物线的切线方程，进而求出点，利用即可判断D.
【详解】
抛物线的焦点为，，
由题知直线和的斜率均存在且不为，
设直线的斜率为，，直线的斜率为，
则直线，直线，
设，，，，
联立得整理得，
，，，
联立得整理得，
，，，
，，
对于A，若的斜率为，则，故A错误；
对于B，，
当且仅当，即时等号成立，故B正确；
对于C，
，
当且仅当，即时等号成立，故C正确；
对于D，不妨设点在第一象限，点在第四象限，
则，，
，，
点处切线的斜率为，
点处切线的斜率为，
则在点处的切线的方程为，即，
在点处的切线的方程为，即，
设，
则解得，，
，
，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：（1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到韦达定理；
（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过焦点，若过抛物线的焦点，可直接利用抛物线的定义求弦长，若不过焦点，则需用弦长公式.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 欧拉是18世纪最优秀的数学家之一，几乎每个数学领域都可以看到欧拉的名字，如著名的欧拉函数.欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互素(两个数只有公约数1)的正整数的个数.例如：，.现从中任选两个数，则这两个数相同的概率是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数新定义求出的值，然后结合组合知识利用古典概型概率公式求解即可.
【详解】根据欧拉函数的定义知，，，，，，，
，，，，
从中任选两个数有种结果，
其中这两个数相同的有
共8种结果，
所以根据古典概率公式得所求的概率为.
故答案为：
13. 已知函数，则的解集是______．
【答案】
【解析】
【分析】代入，再根据对数函数的定义域与单调性计算即可.
【详解】则，由可得，
解得.
又，即，故，
化简可得，解得.
综上可得.
故答案为：
14. 函数的最小值是，数列满足，，则数列的通项公式是______．
【答案】
【解析】
【分析】利用得到，通过取对数构造等比数列，借助等比数列知识化简计算即可.
【详解】因为函数的最小值是，
所以当时，，解得.
所以，
因为，所以，
因为，又，所以，所以.
所以，
两边同时取对数可得：，
所以数列是以为首项，2为公比的等比数列.
所以，即.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于利用，通过配方、取对数构造出等比数列.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知四棱台中，底面为正方形，，，，⊥底面．
（1）证明：．
（2）求到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由线面垂直的性质得到，再由得到平面，即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【小问1详解】
因为底面，底面，
所以，
因为底面为正方形，所以，
又平面，，
所以平面，
又平面，所以.
【小问2详解】
如图建立空间直角坐标系，则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，取，
则点到平面的距离.
16. 某商场为了吸引客流，举办了免费答题兑积分活动，获得的积分可抵现金使用．活动规则如下：每人每天只能参加一轮游戏，每轮游戏有三个判断题，顾客都不知道答案，只能随机猜答案．每轮答对题数多于答错题数可得4分，否则得2分，积分可累计使用．
（1）求某顾客每轮游戏得分的分布列和期望；
（2）若某天有10个人参加答题活动，则这10个人的积分之和大于30分的概率是多少
【答案】（1）分布列见解析，期望为3
（2）
【解析】
【分析】（1）将所有可能的情况列举，再分别求分布列与数学期望即可；
（2）设得4分的人数为，分析可得得4分的至少6人，再根据得4分与得2分的概率相等，可得所求概率为进而可得概率.
【小问1详解】
由题意，所有可能的情况为答对3题、答对2题错1题、答对1题错2题、答错3题，共四种情况，
故得4分的概率为，得2分的概率为.
设某顾客每轮游戏得分为，则可能的取值有2，4，，
故分布列：
2 4
.
【小问2详解】
设得4分的人数为，则由（1），每人得4分，2分的概率均为，若10人得分之和大于30分，则.
因为得4分与得2分概率相等，故，，，，.
故
.
故这10个人的积分之和大于30分的概率为：
.
17. 已知数列的前项和，，．
（1）求数列的通项公式;
（2）证明：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据，作差得到，即可得到为等差数列，从而求出其通项公式；
（2）由（1）可得，当时，利用裂项相消法求和，放缩法证明即可.
【小问1详解】
因为，，当时，解得，
当时，所以，
又，所以，
所以，
所以，所以，
所以为等差数列，且、，所以.
【小问2详解】
由（1）可得，当时，
当时，当时，
当时
，
综上可得.
18. 已知在曲线：上，直线交曲线于，两点．
（1）当不在直线上时，试问(，分别为，的斜率)是否为定值 若是，求出定值；若不是，请说明理由．
（2）若为坐标原点，，求面积的最小值．
【答案】（1）是定值，
（2）
【解析】
【分析】（1）首先根据椭圆的定义求出曲线的方程，设，根据对称性可得，表示出直线的斜率，结合椭圆方程，即可求出的值；
（2）当时求出的面积，当时联立直线与椭圆方程，消元、求出两根，即可表示出，设交椭圆的另一个交点为，所以直线的方程为，从而得到，则，最后又由基本不等式计算可得.
【小问1详解】
是定值，，
曲线：即，
所以曲线是以为焦点的椭圆且，所以，则，
所以曲线的方程为，
设，根据对称性可得，因为，
所以，因为，所以，
同理可得，
所以
【小问2详解】
若时、（或、），因为，
所以（或），所以，
当时联立，则，解得、，
所以，
因为，设交椭圆的另一个交点为，所以直线的方程为，
所以，
则，
所以，
因为，当且仅当，即，时等号成立，
所以，
因为，所以面积的最小值为.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为、；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；
（5）代入韦达定理求解.
19. 函数，，．已知有极小值，有极小值．
（1）求的取值范围；
（2）若，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出令，即，令，利用导数说明的单调性，即可得到，从而得到存在，，即可得到为的极小值点，同理得到存在，，为的极小值点，从而得到；
（2）结合（1）可得，，又，，，，由，
可得，再令，则，结合函数的单调性得到，从而求出的值.
【小问1详解】
函数的定义域为，，
令，即，令，则，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，当时，当时，当时，
因为有极小值，所以，存在，，当时，即在上单调递减，
当时，即在上单调递增，
所以为的极小值点，所以；
函数的定义域为，，
令，则，令，，则，
所以在上单调递增，，所以，
存在，，当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以为的极小值点，所以，
综上可得的取值范围为.
【小问2详解】
由（1）可得，，，
又，，
所以，
又，，所以，即，
又在上单调递增，所以，
所以，
即，
令，则，即，
令，则，
所以当时，当时，
即在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以由，解得，即，
所以.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
