高中数学[课时训练]必修5第一章第1课时正弦定理

第1课时正弦定理
【基础达标】
一、选择题
1.在△ABC中，所对的边分别为，且，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】　∵
∴，
∴，故选C．
【答案】　C。
2．在△ABC中，a＝15，b＝10，∠A＝60°，则cos B＝(　　)
A． B.
C．－ D.－
【解析】　sin B＝＝＝，且∠B<∠A＝60°，
∴cos B＝＝.
【答案】　A。
3．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若acos A＝bsin B，则sin A·cos A＋cos2B＝(　　)
A．－ B.
C．－1 D．1
【解析】　∵acos A＝bsin B，∴sin Acos A＝sin2B，
即sin A·cos A＝1－cos2B，∴sin Acos A＋cos2B＝1－cos2B＋cos2B＝1.
【答案】　D
4．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且acosB＋acosC＝b＋c，则△ABC的形状是(　　)
A．等边三角形　　　　　　　　B．直角三角形
C．钝角三角形 D．锐角三角形
【解析】　∵acos B＋acos C＝b＋c，故由正弦定理得，
sin Acos B＋sin Acos C＝sin B＋sin C＝sin(A＋C)＋sin(A＋B)，
化简得：cos A(sin B＋sin C)＝0，又sin B＋sin C＞0，
∴cos A＝0，即A＝，
∴△ABC为直角三角形．
【答案】　B。
填空题
5．在△ABC中，a∶b∶c＝1∶3∶5，则＝________.
【解析】　∵a∶b∶c＝1∶3∶5，∴b＝3a，c＝5a，由正弦定理得：2Rsin B＝3×2Rsin A,2Rsin C＝5×2Rsin A，
∴sin B＝3sin A，sin C＝5sin A，
∴＝＝－.
【答案】　－
6.[2014·广东卷] 在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.已知bcos C＋ccos B＝2b，则＝________．
[解析] 利用正弦定理，将bcos C＋ccos B＝2b化简得sin Bcos C＋sin Ccos B＝2sin B，即sin(B＋C)＝2sin B．∵sin(B＋C)＝2sin B，∴sin A＝2sin B，利用正弦定理化简得a＝2b，故＝2.
答案：2。
解答题
7．已知在△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c.a＝4，∠A＝30°，b＝x(x>0)，当x为何值时，三角形有两解？一解？无解？
【解析】　a＝4，b＝x，∠A＝30°.
当x≤4时，由大边对大角知∠B为锐角，
sin B＝≤，此时△ABC有一解．
当4∴∴∠B有两种结果，此时△ABC有两解．
当x＝8时，sin B＝1，∴∠B＝90°，此时△ABC有一解．
当x>8时，sin B＝>1，∠B无解，△ABC无解．
综上，当x≤4或x＝8时，△ABC有一解；
当48时，无解.
8．在△ABC中，如果lg a－lg c＝lgsin B＝－lg ，且B为锐角，判断此三角形的形状．
【解析】　由lg a－lg c＝lgsin B＝－lg ，
得sin B＝，又B为锐角，
∴B＝45°，又＝，∴＝，
∴sin C＝sin A＝sin(135°－C)，
∴sin C＝sin C＋cos C，
∴cos C＝0，即C＝90°，
故此三角形是等腰直角三角形．
【能力提升】
9.△ABC中，角所对的边分别为，若，则角( )
A. B. C. D.
【解析】
∵b=2a∴根据正弦定理得到sinB=2sinA
∵B=A+60°∴sin（A+60°）=sinA+cosA=2sinA
∴∴tanA=∴A=,∴B=,故选D。
答案：D。
10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cos C＝(　　)
A. B．－
C．± D.
【解析】　由＝，且8b＝5c，C＝2B，所以5csin 2B＝8csin B，所以cos B＝.所以cos C＝cos 2B＝2cos2B－1＝.
11．在△ABC中，若b＝5，B＝，tan A＝2，则sin A＝________；a＝________.
【解析】　由tan A＝2得sin A＝2cos A．又sin 2A＋cos 2A＝1得sin A＝.
又∵b＝5，B＝，根据正弦定理＝，
a＝＝＝2.
【答案】　；2
12．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对应的边，且b＝6，a＝2，A＝30°，求ac的值．
【解】　由正弦定理＝得
sin B＝＝＝.
由条件b＝6，a＝2，b＞a知B＞A.
∴B＝60°或120°.
(1)当B＝60°时，C＝180°－A－B
＝180°－30°－60°＝90°.
在Rt△ABC中，C＝90°，a＝2，b＝6，c＝4，
∴ac＝2×4＝24.
(2)当B＝120°时，C＝180°－A－B＝180°－30°－120°＝30°，∴A＝C，则有a＝c＝2.
∴ac＝2×2＝12.
【探究创新】
13．在△ABC中，若sinA＝2sinBcos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断三角形的形状．
【解析】　∵A、B、C是三角形的内角，
∴A＝π－(B＋C)，
∴sinA＝sin(B＋C)
＝sinBcosC＋cosBsinC
＝2sinBcosC.
∴sinBcosC－cosBsinC＝0，
∴sin(B－C)＝0.
又∵0＜B＜π，0＜C＜π，
∴－π＜B－C＜π，∴B＝C.
又∵sin2A＝sin2B＋sin2C，
且a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，
(R为△ABC外接圆的半径)
可得a2＝b2＋c2，∴A是直角，
∴△ABC是等腰直角三角形．