高中数学[课时训练]必修5第三章第8课时基本不等式（一）

第8课时 基本不等式（一）
【基础达标】
选择题
1．给出下面四个推导过程：
①∵a、b为正实数，∴＋≥2 ＝2；
②∵x、y为正实数，∴lg x＋lg y≥2；
③∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2 ＝4；
④∵x，y∈R，xy<0，∴＋＝－[(－)＋(－)]≤－2 ＝－2.
其中正确的推导为(　D　)
A．①②　　　　　　　　 B．②③
C．③④ D．①④
【解析】　①∵a、b为正实数，∴、为正实数，符合均值不等式的条件，故①的推导正确；
②虽然x、y为正实数，但当x∈(0,1)或y∈(0,1)时，lg x或lg y是负数，∴②的推导过程是错误的；
③∵a∈R，a≠0，不符合均值不等式的条件，
∴＋a≥2 ＝4是错误的；
④由xy<0，得、均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，(－)、(－)均变为正数，符合均值不等式的条件，故④正确．
2．已知a，b∈R，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值为(　B　)
A．6 B．4
C．2 D．2
【解析】　2a＋2b≥2＝2＝4.
3．设0A．aC．a<【解析】　由a＝，b＝＝，04．已知x，y>0且x＋y＝1，则p＝x＋＋y＋的最小值为(　C　)
A．3　　　　 B．4
C．5　　　 D．6
【解析】　p＝x＋＋y＋＝3＋＋≥3＋2＝5.
当且仅当x＝y＝时，取“＝”．
填空题：
5．已知a＞b＞c，则与的大小关系是≤．
【解析】　∵a＞b＞c，
∴a－b＞0，b－c＞0，
∴≤＝.
6．已知a，b＞0且2a＋b＝4，则ab的最大值为_2__．
【解析】　由2a＋b＝4，∴4＝2a＋b≥2.
∴≤2，∴2ab≤4，∴ab≤2，即(ab)max＝2.
解答题：
7．已知a，b，c为正实数，且a＋b＝1.求证：＋≥4.
【证明】　＋＝＋
＝1＋＋＋1
＝2＋＋≥2＋2＝4.
当且仅当a＝b时“＝”成立．
8．设a，b，c是不全相等的正数，求证：＋＋>a＋b＋c.
【证明】　∵a、b、c>0，∴＋≥2c，
＋≥2b，＋≥2a，
∴2(＋＋)≥2(a＋b＋c)．
又∵a、b、c不全相等，
∴＋＋>a＋b＋c.
【能力提升】
9．若0A．a2＋b2　 B．2
C．2ab　 D．a＋b
[解析]　解法一：∵0∴a2＋b2>2ab，a＋b>2，a>a2，b>b2，
∴a＋b>a2＋b2，故选D.
解法二：取a＝，b＝，则a2＋b2＝，2＝，2ab＝，a＋b＝，显然最大．
10．若a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　D　)
A.＞ B.＋≤1
C.≥2 D.≤
【解析】　由a＋b＝4，得≤＝＝2，故C错；
由≤2得ab≤4，
∴≥，故A错；
B中，＋＝＝≥1，故B错；
由≥得a2＋b2≥2×＝8，
∴≤，D正确．
11．若x＋2y＝2，则2x＋4y的最小值为_4_．
【解析】　2x＋4y＝2x＋22y≥2＝2＝4，当且仅当x＝2y＝1，即x＝1，y＝时等号成立．
12.求函数y＝x＋的值域．
解析：显然函数y＝x＋的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
当x>0时，y＝x＋≥2＝2(当且仅当x＝，即x＝1时取等号)，
∴当x>0时，y＝x＋有最小值2.
当x<0时，y＝x＋＝－(－x－)
≤－2＝－2(当且仅当－x＝－，即x＝－1时取等号)．∴当x<0时，y＝x＋有最大值－2.
∴函数y＝x＋的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞).
【探究创新】
13．已知函数f(x)＝lg x(x∈R＋)，若x1，x2∈R＋，判断[f(x1)＋f(x2)]与f()的大小并加以证明．
【解】　[f(x1)＋f(x2)]≤f()．
证明如下：f(x1)＋f(x2)
＝lg x1＋lg x2＝lg(x1·x2)，
f()＝lg()．
∵x1，x2∈R＋，
∴≥ ，
∴lg≤lg()，
即lg(x1·x2)≤lg()，
∴(lg x1＋lg x2)≤lg()．
故[f(x1)＋f(x2)]≤f().