高中数学[课时训练]必修5第三章第7课时 简单的线性规划问题（二）

第7课时 简单的线性规划问题（二）
【基础达标】
选择题
1．有5辆6吨的汽车，4辆4吨的汽车，要运送最多的货物完成这项运输任务的线性目标函数为(　A　)
A．z＝6x＋4y　　　　　 B．z＝5x＋4y
C．z＝x＋y D．z＝4x＋5y
【解析】　设6吨的车辆为x辆，4吨的车辆为y辆，则运送货物的吨数为z＝6x＋4y.
【答案】　A
2．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的运输费用最少为(　D　)
A．2 000元 B．2 800元
C．2 400元 D．2 200元
【解析】　设需用甲型货车x辆，乙型货车y辆，由题目条件可得约束条件为目标函数z＝400x＋300y，画图可知，当平移直线400x＋300y＝0至过点(4，2)时，z取得最小值2 200.
3．某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元．乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为(　C　)
A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱
B．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱
C．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱
D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱
【解析】　设甲车间加工x箱原料，乙车间加工y箱原料(x，y∈N)，甲、乙两车间每天总获利为z元．
依题意得
z＝7×40x＋4×50y＝280x＋200y，
画出可行域如图阴影部分，
联立?
知z在A点取得最大值．
4．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为(　B　)
A．36万元 B．31.2万元
C．30.4万元 D．24万元
【解析】　设投资甲为x万元，投资乙为y万元，获得利润为z万元，则
z＝0.4x＋0.6y，且
作出不等式组表示的区域，如图所示，作直线l0：0.4x＋0.6y＝0并将l0向上平移到过A点时z取得最大值，即zmax＝0.4× 24＋0.6×36＝31.2(万元)，故选B.
填空题：
5．毕业庆典活动中，某班团支部决定组织班里48名同学去水上公园坐船观赏风景，支部先派一人去了解船只的租金情况，看到的租金价格如下表，那么他们合理设计租船方案后，所付租金最少为_116_元．
船型
每只船限载人数
租金(元/只)
大船
5
12
小船
3
8
【解析】　
设租大船x只，小船y只(x，y∈N)，
则租金z＝12x＋8y，
作出可行域如图：
由图可知，当直线z＝12x＋8y经过点(9.6，0)时，z取最小值，但x，y∈N，∴当x＝9，y＝1时，zmin＝116.
6．4枝玫瑰花与5枝茶花的价格之和不小于22元，而6枝玫瑰花与3枝茶花的价格之和不大于24元，那么2枝玫瑰花和3枝茶花价格之差绝对值的最大值是_24_元．
【解析】　设每枝玫瑰花的价格为x元，每枝茶花的价格为y元，2枝玫瑰花和3枝茶花的价格之差为z.
则约束条件为

目标函数为z＝2x－3y.
作出可行域，如图所示．
当直线过B(0，8)时，zmin＝－8×3＝－24，
∴|z|的最大值为24.
解答题：
7．制造甲、乙两种烟花，甲种烟花每枚含A药品3 g、B药品4 g、C药品4 g，乙种烟花每枚含A药品2 g、B药品11 g、C药品6 g．已知每天原料的使用限额为A药品120 g、B药品400 g、C药品240 g．甲种烟花每枚可获利2 元，乙种烟花每枚可获利1 元，问每天应生产甲、乙两种烟花各多少枚才能获利最大．
[解析]　设每天生产甲种烟花x枚，乙种烟花y枚，获利为z元，则，作出可行域如图所示．
目标函数为：z＝2x＋y.
作直线l：2x＋y＝0，将直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点A(40,0)且与原点的距离最大．此时z＝2x＋y取最大值．
故每天应只生产甲种烟花40枚可获最大利润．
8．某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送180t支援物资的任务，该公司有8辆载重为6t的A型卡车和4辆载重为10t的B型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次，每辆卡车每天往返的成本费A型车为320元，B型车为504元，请你给该公司调配车辆，使公司所花的成本费最低．
[解析]　设每天调出A型车x辆，B型车y辆，公司所花的成本为z元，则由题意知目标函数为z＝320x＋504y(其中x，y∈N)．作出可行域如图所示．
由图易知，当直线z＝320x＋504y在可行域内经过的整数点中，点(8,0)使z＝320x＋504y取得最小值，zmin＝320×8＋504×0＝2560，∴每天调出A型车8辆，B型车0辆，公司所花成本费最低．
【能力提升】
9．为支援灾区人民，某单位要将捐献的100台电视机运往灾区，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装电视机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装电视机10台，若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为(　C　)
A．2 800元　 B．2 400元
C．2 200元　 D．2 000元
[解析]　设调用甲型货车x辆，乙型货车y辆，则0≤x≤4,0≤y≤8,20x＋10y≥100，即2x＋y≥10，设运输费用为t，则t＝400x＋300y.
线性约束条件为，
作出可行域如图，则当直线y＝－x＋经过可行域内点A(4,2)时，t取最小值2 200，故选C．
10．甲、乙、丙三种食物维生素A、维生素D的含量及成本如下表：
甲
乙
丙
维生素A(单位/千克)
60
70
40
维生素D(单位/千克)
80
40
50
成本(元/千克)
11
9
4
某食物营养研究所想把甲种食物、乙种食物、丙种食物配成10千克的混合食物，并使混合食物中至少含有560单位维生素A和630单位维生素D，则成本最低为(　B　)
A．84元　　　B．85元 C．86元　　　D．88元
【解析】　设配成10千克的混合食物分别用甲、乙、丙三种食物x千克、y千克、z千克，混合食物的成本为p元，则z＝10－x－y，p＝11x＋9y＋4z＝11x＋9y＋4×(10－x－y)＝7x＋5y＋40，由题意可得；

即
作出可行域(如图)，
当直线p＝7x＋5y＋40经过点A时，它在y轴上的截距最小，即p最小，解方程组得x＝5，y＝2，故点A的坐标为(5，2)，所以pmin＝7×5＋5×2＋40＝85.
11．某公司准备进行两种组合投资，稳健型组合投资是由每份金融投资20万元，房地产投资30万元组成；进取型组合投资是由每份金融投资40万元，房地产投资30万元组成．已知每份稳健型组合投资每年可获得10万元，每份进取型组合投资每年可获利15万元．若可作投资用的资金中，金融投资不超过160万元，房地产投资不超过180万元，为使一年获利总额最多，稳健型、进取型组合投资应分别注入____4____份、____2____份．
【解析】　设稳健型、进取型组合投资应分别注入x、y份，
由题意知一年获利总额z＝10x＋15y，
画可行域如图所示．由目标函数z＝10x＋15y可变为l：y＝－x＋.
由图显示当l过可行域内点M时在y轴上截距最大，z也有最大值．
由得.
12．某研究所计划利用“神九”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A、B，该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：
产品
A(件)
产品
B(件)
研制成本与搭载费用之和(万元/件)
20
30
计划最大资金额300万元
产品重量(千克/件)
10
5
最大搭载重量110千克
预计收益(万元/件)
80
60
试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？
【解析】　设搭载产品A有x件，产品B有y件，预计收益z＝80x＋60y.
则作出可行域，如图：
作出直线l0：4x＋3y＝0并平移，由图像得，当直线经过M点时z能取得最大值，
解得即M(9，4)．
所以zmax＝80×9＋60×4
＝960(万元)．
【探究创新】
13．某厂有一批长为18m的条形钢板，可以割成1.8m和1.5m长的零件．它们的加工费分别为每个1元和0.6元．售价分别为20元和15元，总加工费要求不超过8元．问如何下料能获得最大利润．
[解析]　设割成的1.8m和1.5m长的零件分别为x个、y个，利润为z元，
则z＝20x＋15y－(x＋0.6y)即z＝19x＋14.4y且
，
作出不等式组表示的平面区域如图，
又由，
解出x＝，y＝，
∴M(，)，
∵x、y为自然数，在可行区域内找出与M最近的点为(3,8)，此时z＝19×3＋14.4×8＝172.2(元)．
又可行域的另一顶点是(0,12)，过(0,12)的直线使z＝19×0＋14.4×12＝172.8(元)；
过顶点(8,0)的直线使z＝19×8＋14.4×0＝152(元)．
M(，)附近的点(1,10)、(2,9)，直线z＝19x＋14.4y过点(1,10)时，z＝163；过点(2,9)时z＝167.6.
∴当x＝0，y＝12时，z＝172.8元为最大值．
答：只要截1.5m长的零件12个，就能获得最大利润．