第1章 三角形的证明 （单元重点综合测试）
一、单选题
1．已知等腰三角形的一边长为，另一边长为，则它周长是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形的三边关系进行分类讨论，即可得到答案．
【解析】解：当是等腰三角形的腰时，，不能构成三角形，
当是等腰三角形的腰时，，能构成三角形，此时三角形的周长为：，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质及三角形的三边关系，是解题的关键．
2．如图，在中，于点D，添加一个条件，可使用“”判定与全等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查直角三角形全等的判定定理，熟练掌握直角三角形全等的判定条件是解题的关键；由题意易得，然后根据选项可进行求解．
【解析】解：∵，
∴，
∵，
∴当添加时，则可根据“”判定；
当添加时，由于全等条件不足，所以无法判定；
当添加时，由于全等条件不足，所以无法判定；
当添加时，由于全等条件不足，所以无法判定；
故选A．
3．如图，，，则有（ ）
A．垂直平分 B．与互相垂直平分
C．垂直平分 D．平分
【答案】A
【分析】根据线段垂直平分线的性质即可得到答案．
【解析】解：，，
是线段的垂直平分线，
故选：A．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
4．如图，在中，按以下步骤作图：
①分别以点A、C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点；
②作直线交于点D，交于点E；
③连接．
若，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，即可求出的周长．
【解析】解：根据题意得：是垂直平分线，
，
，，
的周长为：，
故选：D．
5．如图，在中，，，，，则的长为（ ）.
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】本题考查三角形内角和定理、等腰三角形的判定、三角形外角的性质及角三角形的性质，熟知这些内容是正确解题的关键。
利用已知条件可求的度数，进而知道，根据等腰三角形的判定得，再利用三角形外角性质得，然后根据含的直角三角形三边的关系可得到的长即可得．
【解析】解：
在中，，，
,
，
,
,
，
在中，，
．
故选：B．
6．在下列结论中：
（1）有一个外角是的等腰三角形是等边三角形
（2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形
（3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形
（4）三个外角都相等的三角形是等边三角形
其中正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】根据等边三角形的性质和定义，可得：有一个角为的等腰三角形是等边三角形；三个内角都相等的三角形为等边三角形；再由中线的性质和三角形内角和的定义可解答本题．
【解析】解：（1）：因为外角和与其对应的内角的和是，已知有一个外角是，即是有一个内角是，有一个内角为的等腰三角形是等边三角形．该结论正确．
（2）：两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形．该结论错误．
（3）：等腰三角形的底边上的高和中线本来就是重合的，“有一边”可能是底边，故不能保证该三角形是等边三角形．该结论错误．
（4）：三个外角都相等的三角形是等边三角形．正确；
故选：C．
【点睛】本题考查等边三角形的判定，解题的关键是灵活运用的等边三角形的判定方法解决问题．
7．如图，图中小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，则是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断
【答案】A
【分析】先根据勾股定理求出各边的长，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状即可．
【解析】解：由图形可知：；；，
∴，
∴是直角三角形．
故选：A．
【点睛】本题考查的是勾股定理及其逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
8．如图，是的角平分线，，垂足为E，若，，，则的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【分析】如图所示，过点D作于F，根据角平分线的性质得到，再根据进行求解即可．
【解析】解：如图所示，过点D作于F，
∵是的角平分线，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
9．如图，已知中，，F是高和的交点，，则线段的长度为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【分析】根据高和角的关系得，根据得，根据等边对等角的性质得AD=BD，然后利用ASA即可得，即可得CD的长度，再求出AD的长度，即可得．
【解析】解：∵AD、BE是三角形的高，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴AD=BD，
在和中，
∴（ASA），
∴CD=FD，
∵，，
∴,
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
10．如图，点A、B、C在一条直线上，均为等边三角形，连接和，分别交、于点M、P，交于点Q，连接，下面结论：① ② ③为等边三角形 ④ ⑤平分，其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【分析】由，，，可证，可判断①的正误；由，可判断②的正误；证明，则，可证是等边三角形，可判断③的正误；由，可得，可判断④的正误；如图，作于，于，由，，，可得，则平分，可判断⑤的正误．
【解析】解：∵均为等边三角形，
∴，
∴，
∵，，，
∴，①正确，故符合要求；
∴，
∴，②正确，故符合要求；
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，③正确，故符合要求；
∴，
∴，④正确，故符合要求；
如图，作于，于，
∵，
∴，，
∵，
∴，即，
∴平分，⑤正确，故符合要求；
故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的判定定理，平行线的判定等知识．熟练掌握等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的判定定理，平行线的判定是解题的关键．
二、填空题
11．如图，在等边△ABC中，于点D，若，则 ．
【答案】4
【分析】根据△ABC是等边三角形可知AB＝AC，再由BD⊥AC可知AD＝AC，由此即可得出结论．
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，AB＝8，
∴AB＝AC＝8，
∵BD⊥AC，
∴AD＝AC＝×8＝4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
12．如图中，，，则 ．
【答案】
【分析】根据含30度角的直角三角形的性质可知，再结合已知条件求解即可．
【解析】解：在中，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，熟知含30度角的直角三角形中30度角所对的直角边的长是斜边长的一半是解题的关键．
13．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的底角度数是 ．
【答案】或/或
【分析】在等腰中，，为腰上的高，，讨论：当在内部时，如图1，先计算出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出；当在外部时，如图2，先计算出，再根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出．
【解析】解：在等腰中，，为腰上的高，，
当在内部时，如图1，
为高，
，
，
，
；
当在外部时，如图2，
为高，
，
，
，
，
而，
，
综上所述，这个等腰三角形底角的度数为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
14．如图，在中，，点在上，，交于点，的周长为，的周长为，则边的长为 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，如图所示，连接，利用证明得到，根据三角形周长公式推出，再由，可得．
【解析】解：如图所示，连接，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵的周长为，的周长为，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
故答案为：3．
15．如图，，平分，点在上，于，，点是射线上的动点，则的最小值为 cm．
【答案】
【分析】过作，根据垂线段最短即可求出最小值．
【解析】∵，平分，
∴，
∵，，
∴，
过作于点，
∵，平分，
∴，
∵点是射线上的动点，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了垂线段最短以及角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质及垂线段最短的实际应用．
16．如图，是中边的垂直平分线，若，，，则的周长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得到，然后得到，即可求出的周长，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
【解析】解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴的周长，
故答案为：．
17．如图，在中，，，于D，于E，与交于H，则 ．
【答案】
【分析】本题考查直角三角形两个锐角互余，三角形的高的性质等知识，延长交于点M，可得在中，三边所在的高交于一点，即，由此即可解答．
【解析】解：延长交于点M，如图，
在中，三边所在的高交于一点，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
18．如图，三角形中，，于点，平分，交与点，于点，且交于点，若，则 ， ．
【答案】 8
【分析】作于，于，于，于，连接，先证得，运用勾股定理可得，利用面积法求出，，，，，再运用勾股定理即可求得答案．
【解析】解：如图，作于，于，于，于，连接，
，
，，
，，，
，
，
，
，
，
平分，于，于，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
故答案为：8，．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质、直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、三角形面积等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，是解此题的关键．
三、解答题
19．如图，等边中，分别交BC，AC于点D、E．
求证：是等边三角形．
【答案】证明见详解
【分析】先由等边三角形的性质得到，然后根据平行线的性质得到，，从而证明是等边三角形．
【解析】∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，，
∴ ，
∴ 是等边三角形．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的判定定理是关键．
20．如图，已知点、在的边上，，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）作于点，利用等腰三角形三线合一的性质得到，，相减后即可得到正确的结论；
（2）根据等边三角形的判定得到是等边三角形，根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及角的和差关系即可求解．
【解析】（1）证明：如图，过点作于．
，，
，，
，
．
（2），
是等边三角形，
，
，
，
，
．
答：的度数为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形和等边三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是本题的关键．
21．在中，为延长线上一点，点在上，连接、，且．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)7
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质．
（1）直接证明，得到，再利用等腰三角形的判定与性质即可得出结论；
（2）根据，利用勾股定理求出，由（1）知，由即可求解．
【解析】（1）证明：在 与中，
，
，
，
；
（2）解：，，，
，
，
．
22．如图，中，，是的中线，垂直平分．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线可得，利用线段垂直平分线的性质可得，进而可证明结论；
（2）由等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得，即可求解．
【解析】（1）证明：∵，是的中线，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
【点睛】本题主要考查直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识的综合运用，掌握相关的性质是解题的关键．
23．已知．
(1)用尺规完成下列作图：（保留作图痕迹，不写作法）
①作的平分线；
②在上任取一点F，作的垂直平分线分别与、交于P、Q；
(2)在（1）的条件下线段与有什么数量关系，并说明理由．
【答案】(1)①图形见解析；②图形见解析；
(2)，理由见解析．
【分析】（1）①本题主要考查了尺规作角平分线的作法，尺规作图的关键在于熟练掌握角平分线的作法及要求．以A为圆心，以任意长为半径画弧，分别与AM，AN交于两点，再分别以两交点为圆心，以大于两交点长的一半为半径画弧，二者交于一点，过点A作射线经过两圆弧交点，即为的角平分线；
②本题主要考查了尺规作垂直平分线的作法，尺规作图的关键在于熟练掌握垂直平分线的作法及要求．分别以A、F为圆心，以大于长的一半画弧，二者分别交于两点，连接两交点，分别交于点，于点，则即为的垂直平分线；
（2）本题考查了垂直平分线的性质和全等三角形的应用，运用全等三角形的性质即可证明，解答本题的关键在于运用全等三角形的性质．
【解析】（1）解：①如下图，
②如下图，
（2），理由如下：
如图，在和中，
∴（）
∴（全等三角形的对应边相等）．
24．如图，，，，．
(1)求证：；
(2)连接EC，AO，求证：AO垂直平分EC．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先证得，可得．再由，，．可证得，即可求证；
（2）由（1）可知，，．可得，从而得到，进而得到点在的垂直平分线上．再由，点也在的垂直平分线上，即可求证．
【解析】（1）证明：在和中，
∵，，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明∶如图，
由（1）可知，，．
∴，
∴，
即，
∴，
∴点在的垂直平分线上．
又∵，
∴点也在的垂直平分线上，
∴垂直平分．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定是解题的关键．
25．如图，是的两条高，P是边的中点，连接．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)．
【分析】（1）利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，进而可得结论；
（2）根据可得，利用等边对等角得到，，然后利用三角形的内角和定理即可求得答案．
【解析】（1）证明：∵是的两条高，
∴和是直角三角形，
又∵P为的中点，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：∵，
∴，
∵P为的中点，
∴，
又∵，
∴，，
∴，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质以及等腰三角形的性质，三角内角和定理的应用，关键是掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一半．
26．如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，于点，，，的延长线交于点．
(1)试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由；
(2)若，求的周长；
(3)若，求的度数．
【答案】(1)点在的垂直平分线上，证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）连接，，，根据线段垂直平分线的性质可得，，从而可得，然后利用线段垂直平分线性质定理的逆定理即可解答.
（2）根据线段垂直平分线的性质可得，，然后利用三角形的周长公式以及等量代换可得的周长，即可解答；
（3）根据“等边对等角”得，由三角形内角和可得的度数.
【解析】（1）点在的垂直平分线上，理由如下：
连接，，．
∵，分别是，的垂直平分线，
∴，，
∴，
∴点在的垂直平分线上；
（2）∵，的垂直平分线分别交于点，，
∴，，
的周长；
（3）∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
27．以的、为边作和，且，，与相交于M，．
(1)如图1，求证：；
(2)在图1中，连接，则 ， ；（都用含α的代数式表示）
(3)如图2，若，G、H分别是、的中点，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)；
(3)
【分析】（1）根据证明三角形全等即可；
（2）连接，过点A作于P，于N，根据全等三角形的性质和对顶角相等求解即可；
（3）连接，根据全等三角形的判定和性质求解即可．
【解析】（1）证明：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
如图3，连接，过点A作于P，于N，
∵，
∴，，
∴，
∴，
又∵，，
∴平分，
∴，
∵
∴．
故答案为：；．
（3）解：连接，
由（1）可得：，
∴，，
∵G、H分别是EC、BD的中点，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理和对顶角相等，解决本题的关键是掌握全等判定和性质．
28．如图1，在△ABD中，点E，F分别是AB和AD上的点，满足AE=EF，连接EF并延长交BD延长线于点C．
(1)若DC=DF=EF，求证：AB=BC；
(2)如图2，过B作BG⊥AD，垂足为G．
（i）求证：∠ABG=∠GBD+∠C；
（ii）如图3，连接AC，若∠GBD=30°，AF=BD，△BDG的面积为4，求△AFC的面积．
【答案】(1)见解析
(2)（i）见解析；（ii）S△ACF＝8
【分析】
（1）先证明∠AEF＝∠CDF，然后证明△AEF≌△FDC（SAS），得到AF＝CF，进一步证明△ABD≌△CBF（ASA），即可证明AB＝BC；
（2）（i）如图1，延长BG交CE于H，先证明∠ABG＝∠FHG，再由∠FHG是△CBH的外角，得到∠FHG＝∠GBD+∠C，则∠ABG＝∠GBD+∠C；（ii）在AD上截取DN＝BD，连接BN，作CM⊥AD于M，先证明△BDN是等边三角形，得到BN＝BD＝DN，∠BND＝∠BDN＝60°，则∠ANB＝∠CDG＝120°，再证△ABN≌△FCD（AAS），推出CD＝BD，证明△BDG≌△CDM（AAS），得到CM＝BG，再由含30度角的直角三角形的性质得到DG＝BD，DG＝，据此求解即可．
【解析】（1）
解：∵AE＝EF，
∴∠A＝∠AFE，
同理可得：∠C＝∠CFD，
∴∠AFE＝∠CFD，
∴∠A＝∠AEF＝∠CFD＝∠C，
∴∠AEF＝∠CDF，
在△AEF和△CDF中，
，
∴△AEF≌△FDC（SAS），
∴AF＝CF，
∴AF+DF＝CF+EF，
∴AD＝CE，
∵∠AEF＝∠CDF，
∴∠BEC＝∠ADB，
又∵∠C=∠A，
∴△ABD≌△CBF（ASA），
∴AB＝BC；
（2）
（i）如图1，延长BG交CE于H，
∵BG⊥AD，
∴∠AGB＝∠FGH＝90°，
∴∠A+∠ABG＝∠HFG+∠FHG＝90°，
由（1）得，∠A＝∠HFG，
∴∠ABG＝∠FHG，
∵∠FHG是△CBH的外角，
∴∠FHG＝∠GBD+∠C，
∴∠ABG＝∠GBD+∠C；
（ii）解：如图2，
在AD上截取DN＝BD，连接BN，作CM⊥AD于M，
∴∠M＝90°，
∵∠BGD＝90°，∠GBD＝30°，
∴∠BDG＝90°﹣∠GBD＝60°，
∴△BDN是等边三角形，
∴BN＝BD＝DN，∠BND＝∠BDN＝60°，
∴∠ANB＝∠CDG＝120°，
∵BD＝DN，BD＝AF，
∴AF＝DN，
∴AN＝DF，
由（1）知：∠BAN＝∠CFD，
∴△ABN≌△FCD（AAS），
∴CD＝BN，
∴CD＝BD，
∵∠M＝∠BGD＝90°，∠BDG＝∠CDM，
∴△BDG≌△CDM（AAS），
∴CM＝BG，
∵∠BGD＝90°，∠DBG＝30°，
∴DG＝BD，
∴DG＝，
∵＝，＝，
∴．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形外角的性质，等边对等角，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．第1章 三角形的证明 （单元重点综合测试）
一、单选题
1．已知等腰三角形的一边长为，另一边长为，则它周长是（ ）
A． B． C． D．或
2．如图，在中，于点D，添加一个条件，可使用“”判定与全等的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，，，则有（ ）
A．垂直平分 B．与互相垂直平分
C．垂直平分 D．平分
4．如图，在中，按以下步骤作图：
①分别以点A、C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点；
②作直线交于点D，交于点E；
③连接．
若，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，，，，则的长为（ ）.
A．2 B．4 C．6 D．8
6．在下列结论中：
（1）有一个外角是的等腰三角形是等边三角形
（2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形
（3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形
（4）三个外角都相等的三角形是等边三角形
其中正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．如图，图中小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，则是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断
8．如图，是的角平分线，，垂足为E，若，，，则的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
9．如图，已知中，，F是高和的交点，，则线段的长度为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
10．如图，点A、B、C在一条直线上，均为等边三角形，连接和，分别交、于点M、P，交于点Q，连接，下面结论：① ② ③为等边三角形 ④ ⑤平分，其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
11．如图，在等边△ABC中，于点D，若，则 ．
12．如图中，，，则 ．
13．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的底角度数是 ．
14．如图，在中，，点在上，，交于点，的周长为，的周长为，则边的长为 ．
15．如图，，平分，点在上，于，，点是射线上的动点，则的最小值为 cm．
16．如图，是中边的垂直平分线，若，，，则的周长是 ．
17．如图，在中，，，于D，于E，与交于H，则 ．
18．如图，三角形中，，于点，平分，交与点，于点，且交于点，若，则 ， ．
三、解答题
19．如图，等边中，分别交BC，AC于点D、E．
求证：是等边三角形．
20．如图，已知点、在的边上，，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
21．在中，为延长线上一点，点在上，连接、，且．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
22．如图，中，，是的中线，垂直平分．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
23．已知．
(1)用尺规完成下列作图：（保留作图痕迹，不写作法）
①作的平分线；
②在上任取一点F，作的垂直平分线分别与、交于P、Q；
(2)在（1）的条件下线段与有什么数量关系，并说明理由．
24．如图，，，，．
(1)求证：；
(2)连接EC，AO，求证：AO垂直平分EC．
25．如图，是的两条高，P是边的中点，连接．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，求的度数．
26．如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，于点，，，的延长线交于点．
(1)试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由；
(2)若，求的周长；
(3)若，求的度数．
27．以的、为边作和，且，，与相交于M，．
(1)如图1，求证：；
(2)在图1中，连接，则 ， ；（都用含α的代数式表示）
(3)如图2，若，G、H分别是、的中点，求的度数．
28．如图1，在△ABD中，点E，F分别是AB和AD上的点，满足AE=EF，连接EF并延长交BD延长线于点C．
(1)若DC=DF=EF，求证：AB=BC；
(2)如图2，过B作BG⊥AD，垂足为G．
（i）求证：∠ABG=∠GBD+∠C；
（ii）如图3，连接AC，若∠GBD=30°，AF=BD，△BDG的面积为4，求△AFC的面积．
