北京市三帆中学2023—2024学年下学期九年级开学考数学试卷（pdf版 无答案）

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北京三帆中学第二学期初三数学阶段性学习反馈
注意：（1）时间 120分钟，满分 100分；（2）答案一律填写在答题纸上．
一、选择题（本题共 16分，每小题 2分）
1. 抛物线 y=x2-2mx+3的对称轴为直线 x=2，则 m的值为（ ）
A． -2 B． 2 C．-4 D．4
2. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有 4000多年的历史．2017年 5月，世界围棋冠
军柯洁与人工智能机器人 AlphaGo 进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，
由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ）
A． B． C． D．
3. 在 Rt△ABC中， C 90 ， AB 5 ， AC 2，则 tanB的值为（ ）
1 5 2 5
A． B． 2 C． D．
2 5 5
4．下列函数中，当 x 0时， y随 x的增大而增大的是（ ）
3 4
A． y=-x2+3 B． y=-2x+5 C． y D． y
x x
5. 大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验，如图 1,并在
《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”． 翻译：影像倒立，在光
线交会处有一小孔； 关于影像的大小，在于小孔相对物、像的位置．
图 1 图 2
在如图 2所示的小孔成像实验中，若物距为 10cm，像距为 15cm，则蜡烛火焰倒立的像的
高度与蜡烛火焰的高度的比为（ ）
A．1:1 B．2:1 C．2:3 D．3:2
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6. 一个不透明的盒子里装有红色和白色的小球共 20个，除颜色外无其它区别，随机摸出一个
小球，记录颜色后放回并摇匀，再随机摸出一个，下图是某数学学习小组开展上述摸球活动
的实验结果，下列推断合理的是（ ）
A. 当摸球次数是 300时，记录“摸到红球”的次数是 99，所以“摸到红球”的概率是 0.33；
B. 若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为 500时，“摸到红球”的概率一定是 0.40；
C. 随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在 0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可
以估计“摸到红球”的概率是 0.35；
D. 可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球 8个.
7. 如图，点 O为线段 AB的中点，点 B，C，D到点 O的距离相等，
连接 AC，BD. 则下面结论不．一．定．成立的是（ ）
A.∠ACB=∠ADB B. ∠ABC+∠ADC=180°
C.∠ABD=∠ACD D. 若∠ABD=2∠CBD ，则 AD=2CD
8. 如图，抛物线 y ax2 bx c(a 0)的对称轴是直线 x=1，其部分图象如图，则下面结论中：
① bc＜0； ② 2a+b=0； ③ 3a+c＞0； ④ 4a+b2＞4ac；
⑤ 若点 P（m，n）在此抛物线上，且 n＜c，则 m＜0.
所有正确结论的序号为（ ）
A. ①② B. ②④ C. ②③ D.④⑤
二、填空题（本题共 16分，每小题 2分）
9. 2已知关于 x的方程 x 2x m 0有两个不相等的实数根，则 m的取值范围是 ．
10. 将抛物线 y=-2x2向右平移 2个单位，向上平移 3个单位得到 ．
11. 某小区草坪上的自动喷水装置的旋转角为 200°，且它的喷灌区域是一个扇形．若它能喷灌
的扇形草坪面积为 5π平方米，则这个扇形的半径是 米．
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12．若点(-1，a)，(-2，b) 4都在反比例函数 y 的图象上，则 a与 b的大小关系是：a b
x
（填“>”、“=”或“<”）．
13. 如图，在△ABC中，点D在 AB上（不与点 A,B重合），连接CD．只
需添加一个条件即可证明△ACD∽△ABC ，这个条件可以是
___________________（写出一个即可）．
14. 若关于 x的一元二次方程 (a 1)x2 a2x a 0有一个根是 x=1，则 a=_____．
15. 如图，等边△ABC的边长为 2，点 A，B在⊙O上，点 C在⊙O内，
⊙O的半径为 2 ，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转，当 AC 第一次与
⊙O相切时，旋转角为 °．
16. 在平面直角坐标系 xOy中，点 P在 y轴上，点 A（2,0），B（8,0），
⊙Q为△ABP的外接圆．当∠APB最大时，点 P的坐标为 ．
三、解答题（共 68分，第 17-19、21-23题各 5分、20、24-26题各 6分、27、28题各 7分）
17．解方程： 2x2 3x 1 0．
18．关于 的一元二次方程 x2-(m+3)x+m+2=0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是正整数，求 的最小值．
19. 在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个
引理．如图，已知劣弧 AB，C是弦 AB上一点.
（1）根据提示完成尺规作图(保留作图痕迹，不写作法)；
①作线段 AC的垂直平分线 DE，分别交劣弧 AB于点 D，垂足为 E；
②以点 D为圆心，DA长为半径作弧，交劣弧 AB于点 F(F，A两点不重合)，连接 BF．
（2）引理的结论为：BC=BF．
证明：连接 DA, DC, DF, DB.
∴ DA为 AC的垂直平分线
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∴ DA=DC
∴ ∠DAC=∠DCA
又∵ 四边形 ABFD为圆的内接四边形
∴ ∠DAC+∠_____=180°（ ）
又∵ ∠DCA+∠DCB=180°
∴ ∠DCB =∠DFB
又∵ AD=FD
∴ AD =
∴ ∠ABD=∠DBF（ ）
∴ △BCD≌△BFD (AAS)
∴ BC=BF．
20. 有一个袋中摸球的游戏．设置了甲、乙两种不同的游戏规则：
甲规则：
乙规则：
第一次
红 1 红 2 黄 1 黄 2
第二次
红 1 （红 1，红 1） （红 2，红 1） （黄 1，红 1） ②
红 2 （红 1，红 2） （红 2，红 2） （黄 1，红 2） （黄 2，红 2）
黄 1 （红 1，黄 1） ① （黄 1，黄 1） （黄 2，黄 1）
黄 2 （红 1，黄 2） （红 2，黄 2） （黄 1，黄 2） （黄 2，黄 2）
请根据以上信息回答下列问题：
（1）袋中共有小球_______个，在乙规则的表格中①表示_______，②表示_______；
（2）甲的游戏规则是：随机摸出一个小球后____(填“放回”或“不放回”)，再随机摸出一个小球；
（3）根据甲、乙两种游戏规则，要摸到颜色相同的小球，哪一种可能性要大，请说明理由．
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21. 如图，已知二次函数 y x2 ax 3的图象经过点 P(-2，3)
（1）求 a的值和图象的顶点坐标；
（2）点 Q（m，n）在该二次函数图象上．
①当m 2时，求 n的值；
②若点 Q到 y轴的距离小于 2，根据图象直接写出 n的取值范围．
22. 如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的中垂线交边 BC于点 E，交 AC的延长线于点 F，
连接 AE．
（1）求证：△ADE∽△FDA；
（2）若 DE=2EF=2，求 AE的长．
23. 如图，在平面直角坐标系 xOy中，直线 y x b与 x轴、
y 3轴分别交于点 A，B.与双曲线 y 的交点为 M，N．
x
（1）当点 M的横坐标为 1时，求b的值；
（2）若MN 2AB，结合函数图象，直接写出 b的取值
范围．
24．如图 AB是⊙O的直径，PB，PC与⊙O分别相切于点 B，C，PC交 BA的延长线于点 D，
DE⊥PO交 PO的延长线于点 E．
（1）求证：∠EPD=∠EDO；
3
（2）若 PC=6，tan∠PDB= ，求 OE的长．
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25. “城市轨道交通是现代大城市交通的发展方向，发展轨道交通是解决大城市病的有效途径．”
如图，北京地铁（BeijingSubway）是中华人民共和国北京市的城市轨道交通系统，规划于
1953年，始建于 1965年，运营于 1969年，是中国第一个地铁系统．小华了解到列车从慈寿寺
站开往花园桥站时，在距离停车线 256米处开始减速．他想知道列车从减速开始，经过多少秒
停下来，以及最后一秒滑行的距离．为了解决这个问题，小华通过建立函数模型来描述列车离
停车线的距离 s（米）与滑行时间 t（秒）的函数关系，再应用该函数解决相应的问题．
（1）建立模型
①收集数据
r（秒） 0 4 8 12 16 20 24
s（米） 256 196 144 100 64 36 16
②建立平面直角坐标系
为了观察 s（米）与 t（秒）的关系，建立如图所示的平面直角坐标系；
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③描点连线
请在平面直角坐标系中将表中未描出的点补充完整，并用平滑的曲线依次连接；
④选择函数模型
观察这条曲线的形状，它可能是________函数的图象；
⑤求函数解析式
（2）应用模型
列车从减速开始经过_______秒，列车停止；最后一秒钟，列车滑行的距离为_______米．
26．在平面直角坐标系 xoy中，已知抛物线 y x2 4x c
（1）抛物线经过点 (0, y1)和 (3, y2 )，请比较 y1和 y2的大小；
（2）若抛物线与 x轴的一个交点的坐标为（1，0）,
①求抛物线与 x轴的另一个交点的坐标；
②抛物线上两点 A(x0 ,m)，B(x0 3,n)，满足 mn<0, 求 x0的取值范围.
27. 如图，在△ABC中，AB=AC，点 D是边 BC上的一点，将线段 DB绕点 D顺时针旋转得到
线段 DE，使点 E落在线段 AB上，连接 CE, 点 F为线段 CE的中点，连接 AF，DF.
（1） ①依题意补全图形；
②若 AF⊥DF，判断△ABC的形状，并证明；
（2）若∠BAC=120°，AB=6，当点 D在线段 BC上运动，且 BD≤DC时，线段 AF的最小值
为______________.
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28. 已知平面上的点 P和直线 l1，l2，定义点 P关于直线 l1，l2的“和距离”如下：若点 P到直线
l1，l2的距离分别为 d1，d2，则称 d1+d2为点 P关于直线 l1，l2的“和距离”，记作 dP．特别
地，当点 P在直线 l1上时，d1=0；当点 P在直线 l2上时，d2=0．
若对于不同的两点 P，Q，他们关于直线 l1，l2的“和距离”相等，即 dP=dQ，则称点 P，
点 Q互为“等和距点”.
在平面直角坐标系 xOy中，已知直线 l : y 3x 6 .
（1）若点 P(3,0)，则在点 Q1(3,1)，Q2(4,－1)，Q3(－1,2)中，是点 P关于 x轴和 y轴的“等和距
点”的是___________；
（2）若点 P是直线 y=－x+6上的动点.
① 已知 Q(5,－3)是点 P关于 x轴和 y轴的“等和距点”，则点 P的坐标为__________；
② 对于任一点 P，在直线 y=－x+6上是否都能找到它关于 x轴和直线 l的“等和距点”？说
明理由；
（3）已知点 A(a,0)，动点 P在 x轴上方且 PA=1. 若存在点 P，使它关于 x轴和直线 l的“和距
离”dP=6，求 a的取值范围．
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