5.1.2垂线 同步练习（含解析）
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人教版七年级下册数学5.1.2垂线 同步练习
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。下列各题的备选答案中，只有一项是最符合题意的，请选出。）
一、选择题
1．a、b、c是平面上任意三条直线，交点可以有（ ）
A．1个或2个或3个 B． 0个或1个或2个或3个
C．1个或2个 D． 都不对
2．下列说法正确的有 ( )
①因为∠1与∠2是对顶角，所以∠1＝∠2；
②因为∠1与∠2是邻补角，所以∠1＝∠2；
③因为∠1和∠2不是对顶角，所以∠1≠∠2；
④因为∠1和∠2不是邻补角，所以∠1+∠2≠180°．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD，则图中与∠EOF相等的角还有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，∠PQR＝138°，SQ⊥QR，QT⊥PQ，则∠SQT等于（ ）
A．42° B．64° C．48° D．24°
5．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥OE于O，若∠AOD=70°，则∠AOF等于（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
6．过一条线段外一点，作这条线段的垂线，垂足在
A．这条线段上 B．这条线段的端点处
C．这条线段的延长线上 D．以上都有可能
7．过点P向线段AB所在直线引垂线，正确的是.
A． B．
C． D．
8．如图所示，已知ON⊥l，OM⊥l，所以OM与ON重合，其理由是
A．过两点有且只有一条直线
B．过一点只能作一条直线
C．在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．垂线段最短
9.在铁路旁有一城镇，现打算从城镇修一条和铁路垂直的道路，这种方案是唯一的，是因为( )
A．经过两点有且只有一条直线
B．两点之问的所有连线中，线段最短
C．在同一平面内，两直线同时垂直同一条直线，则这两直线也互相垂直．
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
10.点P为直线外一点：点A、B、C为直线上三点，PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，则点P到直线的距离是 ( )
A．2 cm B．4 cm C．5 cm D．不超过2 cm
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。）
11.如图所示：直线AB与CD相交于O，已知∠1=30°，OE是∠BOC的平分线，则∠2= °，∠3= °．
12．如图，AD⊥BD，BC⊥CD，AB＝a cm，BC＝b cm，则BD的取值范围是________．
13．请你在表盘上画出时针与分针，使时针与分针恰好互相垂直．
(1) 时针和分针互相垂直的整点时刻分别为 ；
(2)一天24小时，时针与分针互相垂直________次．
14．如图所示，直线AB与直线CD的位置关系是__________，记作__________，此时，∠AOD=∠__________
=∠__________=∠__________=90°．
15．如图，BO⊥AO，∠BOC与∠BOA的度数之比为1∶5，那么∠COA=__________，∠BOC的补角为__________度．
三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16．如图，已知钝角∠AOB，点D在射线OB上.
（1）作直线DE⊥OB；
（2）作直线DF⊥OA，垂足为F.
17．如图所示，O是直线AB上一点，∠AOC=∠BOC，OC是∠AOD的平分线．
（1）求∠COD的度数．
（2）判断OD与AB的位置关系，并说出理由．
18. 如图，直线AB、CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分；
（1）直接写出图中∠AOC的对顶角为 ，∠BOE的邻补角为 ；
（2）若∠AOC=70°，且∠BOE：∠EOD=2：3，求∠AOE的度数．
19．如图，已知A、O、B三点在一直线上，∠AOC＝120°，OD、OE分别是∠AOC，
∠BOC的平分线．
(1)判断OD与OE的位置关系；
(2)当∠AOC大小发生变化时，OD、OE仍分别是∠AOC、∠BOC的平分线，则OD与OE的位置关系是否改变 请说明理由．
20．如图，AOB为一条在O处拐弯的河，要修一条从村庄P通向这条河的道路，现在有两种设计方案：一是沿PM修路，二是沿PO修路．如果不考虑其他因素，这两种方案哪一个经济一些 它是不是最佳方案？如果不是，请你帮助设计出最佳的方案，并简要说明理由．
一、填空题
1.【答案】B.
【解析】三条直线两两平行，没有交点；三条直线交于一点，有一个交点；两条直线平行与第三条直线相交，有两个交点；三条直线两两相交不交于同一点，有三个交点.
2. 【答案】B
【解析】只有①正确。
3. 【答案】B
【解析】与∠EOF相等的角还有：∠BOC，∠AOD．
4．【答案】A
【解析】∠PQS=138°－90°＝48°，∠SQT＝90°－48°＝42°．
5. 【答案】C；
【解析】解：∵∠B0C=∠AOD=70°，
又∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=∠BOC=35°．
∵OF⊥OE，
∴∠EOF=90°．
∴∠AOF=180°﹣∠EOF﹣∠BOE=55°．故选C．
6.【答案】D
7.【答案】C
【解析】过点P向线段AB所在直线引垂线，根据画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线，符合要求的只有选项C，故选C．
8.【答案】C
【解析】已知ON⊥l，OM⊥l，所以OM与ON重合，理由是在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故选C．
9.【答案】D 提示：注意区分直线性质与垂线性质
10.【答案】D.
二、填空题
11.【答案】30，75．
【解析】∵∠1=30°，∴∠2=∠1=30°，∠BOC=180°﹣∠1=150°，∵OE是∠BOC的平分线，∴∠3=∠BOC=75°.
12. 【答案】bcm＜BD＜a cm
13．【答案】(1)3时或9时； (2)44
【解析】一天24小时中时针转2圈，分针转24圈，所以分针要超过时针的圈数是：24-2=22（圈），分针每超过时针一圈，前后各有一次垂直，所以一天24小时中分针与时针垂直的次数是：（24-2）×2=22×2=44（次）．
14.【答案】垂直，AB⊥CD，DOB，BOC，COA
15.【答案】72°，162
【解析】∵BO⊥AO，∴∠AOB=90°，
∵∠BOC与∠BOA的度数之比为1∶5，∴∠BOC=18°，
∴∠COA=∠BOA–∠BOC=90°–18°=72°.∠BOC的补角为180°–18°=162°.
三、解答题
16.【解析】根据垂直的定义作图即可．
如图所示：
17.
18.【解析】
解：（1）∠AOC的对顶角为∠BOD，∠BOE的邻补角为∠AOE；
（2）∵∠DOE=∠AOC=70°，∠DOE=∠BOE+∠EOD及∠BOE：∠EOD=2：3，
∴得，
∴，
∴∠BOE=28°，
∴∠AOE=180°﹣∠BOE=152°．
19．【解析】
解：(1)OD⊥OE．
(2)不变，理由如下：
∵ OD，OE分别是∠AOC，∠BOC的平分线，
∴ ∠COD＝∠AOC，∠COE＝∠COB．
∴ ∠DOE＝(∠AOC+∠COB)＝×180°＝90°，
∴ OD⊥OE．
20．【解析】
解：本题所给出的两种方案中，沿PO修路这种方案更经济一些，因为PO是OA的垂线段，PM是OA的斜线段，根据垂线段最短可知，PO＜PM，但它仍不是最佳方案，最经济的方案应为沿如图所示的线段PN修路．因为垂线段最短得知，线段PN是P与OB上的各点的连线中最短的，PO是P与OA上的各点的连线中最短的，即PN＜PO＜PM．所以沿线段PN修路是最经济的方案．
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选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。下列各题的备选答案中，只有一项是最符合题意的，请选出。）
一、选择题
1．a、b、c是平面上任意三条直线，交点可以有（ ）
A．1个或2个或3个 B． 0个或1个或2个或3个
C．1个或2个 D． 都不对
2．下列说法正确的有 ( )
①因为∠1与∠2是对顶角，所以∠1＝∠2；
②因为∠1与∠2是邻补角，所以∠1＝∠2；
③因为∠1和∠2不是对顶角，所以∠1≠∠2；
④因为∠1和∠2不是邻补角，所以∠1+∠2≠180°．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD，则图中与∠EOF相等的角还有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，∠PQR＝138°，SQ⊥QR，QT⊥PQ，则∠SQT等于（ ）
A．42° B．64° C．48° D．24°
5．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥OE于O，若∠AOD=70°，则∠AOF等于（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
6．过一条线段外一点，作这条线段的垂线，垂足在
A．这条线段上 B．这条线段的端点处
C．这条线段的延长线上 D．以上都有可能
7．过点P向线段AB所在直线引垂线，正确的是.
A． B．
C． D．
8．如图所示，已知ON⊥l，OM⊥l，所以OM与ON重合，其理由是
A．过两点有且只有一条直线
B．过一点只能作一条直线
C．在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．垂线段最短
9.在铁路旁有一城镇，现打算从城镇修一条和铁路垂直的道路，这种方案是唯一的，是因为( )
A．经过两点有且只有一条直线
B．两点之问的所有连线中，线段最短
C．在同一平面内，两直线同时垂直同一条直线，则这两直线也互相垂直．
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
10.点P为直线外一点：点A、B、C为直线上三点，PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，则点P到直线的距离是 ( )
A．2 cm B．4 cm C．5 cm D．不超过2 cm
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。）
11.如图所示：直线AB与CD相交于O，已知∠1=30°，OE是∠BOC的平分线，则∠2= °，∠3= °．
12．如图，AD⊥BD，BC⊥CD，AB＝a cm，BC＝b cm，则BD的取值范围是________．
13．请你在表盘上画出时针与分针，使时针与分针恰好互相垂直．
(1) 时针和分针互相垂直的整点时刻分别为 ；
(2)一天24小时，时针与分针互相垂直________次．
14．如图所示，直线AB与直线CD的位置关系是__________，记作__________，此时，∠AOD=∠__________
=∠__________=∠__________=90°．
15．如图，BO⊥AO，∠BOC与∠BOA的度数之比为1∶5，那么∠COA=__________，∠BOC的补角为__________度．
三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16．如图，已知钝角∠AOB，点D在射线OB上.
（1）作直线DE⊥OB；
（2）作直线DF⊥OA，垂足为F.
17．如图所示，O是直线AB上一点，∠AOC=∠BOC，OC是∠AOD的平分线．
（1）求∠COD的度数．
（2）判断OD与AB的位置关系，并说出理由．
18. 如图，直线AB、CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分；
（1）直接写出图中∠AOC的对顶角为 ，∠BOE的邻补角为 ；
（2）若∠AOC=70°，且∠BOE：∠EOD=2：3，求∠AOE的度数．
19．如图，已知A、O、B三点在一直线上，∠AOC＝120°，OD、OE分别是∠AOC，
∠BOC的平分线．
(1)判断OD与OE的位置关系；
(2)当∠AOC大小发生变化时，OD、OE仍分别是∠AOC、∠BOC的平分线，则OD与OE的位置关系是否改变 请说明理由．
20．如图，AOB为一条在O处拐弯的河，要修一条从村庄P通向这条河的道路，现在有两种设计方案：一是沿PM修路，二是沿PO修路．如果不考虑其他因素，这两种方案哪一个经济一些 它是不是最佳方案？如果不是，请你帮助设计出最佳的方案，并简要说明理由．
一、填空题
1.【答案】B.
【解析】三条直线两两平行，没有交点；三条直线交于一点，有一个交点；两条直线平行与第三条直线相交，有两个交点；三条直线两两相交不交于同一点，有三个交点.
2. 【答案】B
【解析】只有①正确。
3. 【答案】B
【解析】与∠EOF相等的角还有：∠BOC，∠AOD．
4．【答案】A
【解析】∠PQS=138°－90°＝48°，∠SQT＝90°－48°＝42°．
5. 【答案】C；
【解析】解：∵∠B0C=∠AOD=70°，
又∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=∠BOC=35°．
∵OF⊥OE，
∴∠EOF=90°．
∴∠AOF=180°﹣∠EOF﹣∠BOE=55°．故选C．
6.【答案】D
7.【答案】C
【解析】过点P向线段AB所在直线引垂线，根据画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线，符合要求的只有选项C，故选C．
8.【答案】C
【解析】已知ON⊥l，OM⊥l，所以OM与ON重合，理由是在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故选C．
9.【答案】D 提示：注意区分直线性质与垂线性质
10.【答案】D.
二、填空题
11.【答案】30，75．
【解析】∵∠1=30°，∴∠2=∠1=30°，∠BOC=180°﹣∠1=150°，∵OE是∠BOC的平分线，∴∠3=∠BOC=75°.
12. 【答案】bcm＜BD＜a cm
13．【答案】(1)3时或9时； (2)44
【解析】一天24小时中时针转2圈，分针转24圈，所以分针要超过时针的圈数是：24-2=22（圈），分针每超过时针一圈，前后各有一次垂直，所以一天24小时中分针与时针垂直的次数是：（24-2）×2=22×2=44（次）．
14.【答案】垂直，AB⊥CD，DOB，BOC，COA
15.【答案】72°，162
【解析】∵BO⊥AO，∴∠AOB=90°，
∵∠BOC与∠BOA的度数之比为1∶5，∴∠BOC=18°，
∴∠COA=∠BOA–∠BOC=90°–18°=72°.∠BOC的补角为180°–18°=162°.
三、解答题
16.【解析】根据垂直的定义作图即可．
如图所示：
17.
18.【解析】
解：（1）∠AOC的对顶角为∠BOD，∠BOE的邻补角为∠AOE；
（2）∵∠DOE=∠AOC=70°，∠DOE=∠BOE+∠EOD及∠BOE：∠EOD=2：3，
∴得，
∴，
∴∠BOE=28°，
∴∠AOE=180°﹣∠BOE=152°．
19．【解析】
解：(1)OD⊥OE．
(2)不变，理由如下：
∵ OD，OE分别是∠AOC，∠BOC的平分线，
∴ ∠COD＝∠AOC，∠COE＝∠COB．
∴ ∠DOE＝(∠AOC+∠COB)＝×180°＝90°，
∴ OD⊥OE．
20．【解析】
解：本题所给出的两种方案中，沿PO修路这种方案更经济一些，因为PO是OA的垂线段，PM是OA的斜线段，根据垂线段最短可知，PO＜PM，但它仍不是最佳方案，最经济的方案应为沿如图所示的线段PN修路．因为垂线段最短得知，线段PN是P与OB上的各点的连线中最短的，PO是P与OA上的各点的连线中最短的，即PN＜PO＜PM．所以沿线段PN修路是最经济的方案．
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