第2课时 勾股数及勾股定理逆定理的应用
【基础作业】
1.下列各组数中,不是勾股数的是( )
A.3,4,5 B.2,3,4
C.5,12,13 D.6,8,10
2.小明和小刚两人同时从学校步行去公园,速度都是50 m/min,小明从学校直接去公园走直线用了13 min,而小刚走直线从学校出发先回家用时5 min,再去公园,用时12 min,则小刚从学校到公园走了个 ( )
A.锐角弯 B.钝角弯
C.直角弯 D.不能确定
3.某数学兴趣小组在一次数学课外活动时测得一块三角形稻田的三边长分别为14 m,48 m,50 m,则这块稻田的面积为 .
4.如图,供电所李师傅要安装电线杆,按要求,电线杆要与地面垂直,因此,从离地面6 m的C处向地面拉一条长6.5 m的钢绳,现测得地面钢绳固定点A到电线杆底部B的距离为2.5 m.张师傅的安装方法 要求.(填“符合”或“不符合”)
5.一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O,如图,沿北偏东40°的方向向着目标A前进,同时,另一艘搜救艇也从港口O出发,以12海里/时的速度向着目标B前进,1.5小时后,他们同时分别到达目标A、B.此时,他们相距30海里,请问第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度
【巩固作业】
6.一位工人师傅测量了一个等腰三角形工件的腰、底和底边上的高,并按顺序记录了数据,量完后,他不小心把这三个数据与其他记录的数据记混了,请你帮助这位师傅从下列数据中找出等腰三角形工件的数据为( )
A.13,10,10 B.13,10,12
C.13,12,12 D.13,10,11
7.观察以下几组勾股数,并寻找规律:①3,4,5;②5,12,13;③7,24,25;④9,40,41;….请你写出有以上规律的第⑤组勾股数: .
8.如图,某工厂前面有一条笔直的公路,原先从工厂A有两条路AB和AC可以到达公路.经测量AB=8千米,AC=6千米,BC=10千米,需要再修建一条路,使得从工厂A沿这条路到公路的距离最短,请你帮助工厂A设计一种方案,并求出所修路的最短距离.
【素养作业】
9.如图,A,B,C,D是四个小城镇,除BC外,它们之间都有笔直的公路连接,且公共汽车行驶于城镇之间,其票价与路程成正比.已知各城镇间的公共汽车票价如下:A-B:10元;A-C:12.5元;A-D:8元;B-D:6元;C-D:4.5元.为了方便B,C之间的交通,欲在B,C之间修建一条笔直的公路,请按上述标准计算出B,C之间公共汽车的票价为多少元.
10.某地为迎接美食节,要在会场周围的一块四边形空地上种植草坪进行绿化,如图,经测量∠B=90°,AB=7米,BC=24米,CD=15米,AD=20米,求这块四边形草坪ABCD的面积.
参考答案
基础达标作业
1.B 2.C 3.336 m2
4.符合
5.解:根据题意得OA=16海里/时×1.5小时=24海里;
OB=12海里/时×1.5小时=18海里.
在△AOB中,∵OB2+OA2=242+182=900,AB2=302=900,
∴OB2+OA2=AB2,
∴∠AOB=90°.
由题意可知∠AOD=40°,
∴∠BOD=90°-∠AOD=50°,
即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50°.
能力巩固作业
6.B 7.11,60,61
8.
解:如图,过点A作AD⊥BC,垂足为D.∵AB2+AC2=82+62=100,BC2=102=100,∴AB2+AC2=BC2,∴△ABC是直角三角形,则S△ABC=AC×AB=BC×AD,即×6×8=×10×AD,∴AD=4.8,即所修路的最短距离是4.8千米.
素养拓展作业
9.解:在△ABD中,∵AB=10,AD=8,BD=6,∴AD2+BD2=82+62=100,AB2=102=100,
∴AD2+BD2=AB2,∴∠ADB=90°,∴∠BDC=90°.
在Rt△BDC中,BC===7.5,
∴B,C之间公共汽车的票价为7.5元.
10.解:如图,连接AC.
在Rt△ABC中,AC===25.
在△ACD中,AD2+CD2=400+225=625=AC2,
∴△ACD是直角三角形,即∠ADC=90°.
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD
=AB×BC+AD×CD
=×24×7+×15×20
=84+150=234(平方米).
答:这块四边形草坪ABCD的面积是234平方米.
218.2 勾股定理的逆定理
第1课时 勾股定理的逆定理
【基础作业】
1.如图,在单位正方形组成的网格中,有AB,CD,EF,GH四条线段,其中能组成一个直角三角形的是 ( )
A.CD,EF,GH
B.AB,EF,GH
C.AB,CD,GH
D.AB,CD,EF
2.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且(a+b)(a-b)=c2,则 ( )
A.∠A为直角
B.∠C为直角
C.∠B为直角
D.△ABC不是直角三角形
3.一个三角形的三边长分别为6,8,10,则这个三角形最长边上的高是 .
4.一个三角形的三边长的比为3∶4∶5,且其周长为24 cm,则其面积为 cm2.
5.(1)已知在△ABC中,AB=,AC=2,BC=5,则△ABC的形状为 .(直接写出结果)
(2)试在4×4的方格纸上画出△ABC,使它的顶点都在方格的顶点上.(每个小方格的边长为1)
【巩固作业】
6.如图,在四边形ABCD中,AB=BC=2,CD=1,DA=3,AC为一条对角线,若∠ABC=90°,则四边形ABCD的面积为 .
7.如图,在△ABC中,D是边BC上一点,若AB=10,BD=6,AD=8,AC=17,求BC的长.
8.在如图所示的四边形ABCD中,AB=12,BC=13,CD=4,AD=3,AD⊥CD,求四边形ABCD的面积.
9.已知a、b、c为△ABC的三边,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判断△ABC的形状.
解:∵a2c2-b2c2=a4-b4,①
∴c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2),②
∴c2=a2+b2,③
∴△ABC是直角三角形.
(1)在上述解题过程中,从哪一步开始出现错误 请写出该步的代号并解释原因.
(2)写出本题正确的解题过程.
【素养作业】
10.如图,一根长度为50 cm的木棒的两端系着一根长度为70 cm的绳子,现准备在绳子上找一点,然后将绳子拉直,使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形,这个点将绳子分成的两段各有多长
参考答案
基础达标作业
1.B 2.A 3.4.8 4.24
5.(1)直角三角形
(2)解:如图所示.
能力巩固作业
6.2+
7.解:在△ABD中,AB=10,BD=6,AD=8,
∴AB2=100,BD2+AD2=36+64=100,
∴AB2=BD2+AD2,
∴△ABD为直角三角形,
则AD⊥BC,即△ACD是直角三角形.
在Rt△ADC中,根据勾股定理得DC===15,
∴BC=BD+CD=6+15=21.
8.解:如图,连接AC.
在Rt△ACD中,AC===5.
在△ABC中,AB2+AC2=122+52=169,BC2=132=169,
∴AB2+AC2=BC2,
∴△ABC是直角三角形,
∴S△ABC=×AC×AB=×12×5=30,
∴S四边形ABCD=S△ABC-S△ACD=30-×3×4=24.
9.解:(1)③,除式可能为零.
(2)∵a2c2-b2c2=a4-b4,
∴c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2),
∴a2-b2=0或c2=a2+b2.
当a2-b2=0时,a=b;
当c2=a2+b2时,∠C=90°.
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.
素养拓展作业
10.解: 设70 cm长的绳子分成两段,一段长为a cm,则另一段长为(70-a)cm.
①当50 cm长的木棒是直角三角形的斜边时,a2+(70-a)2=502,解得a=30或40,∴70-a=40或30.此时分成的两段长为30 cm,40 cm.
②当50 cm长的木棒是直角三角形的一条直角边时,不妨设斜边长为(70-a)cm,则有a2+502=(70-a)2,解得a=,∴70-a=.
当斜边长为a cm时,求得a=,70-a=.此时分成的两段长为 cm, cm.
综上,这个点将绳子分成的两段长为30 cm,40 cm或 cm, cm.
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