19.3 矩形、菱形、正方形
1.矩形
第1课时 矩形的性质
【基础作业】
1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,过点C的直线与AB交于点D,且将△ABC的面积分成相等的两部分,则∠ADC的度数为 ( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
2.如图,P是矩形ABCD的对角线AC的中点,E是AD的中点.若AB=6,AD=8,则四边形ABPE的周长为 ( )
A.14 B.16 C.17 D.18
3.如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=8,EF过AC、BD的交点O,则图中阴影部分的面积为 .
4.如图,在矩形ABCD中,AC、BD相交于点O,AE平分∠BAD,交BC于点E,若∠CAE=15°,求∠OBC的度数.
5.如图,∠ABC=∠ADC=90°,M,N分别是AC,BD的中点,连接BM,DM.
求证:(1)BM=DM.
(2)MN⊥BD.
【巩固作业】
6.如图,A、B分别是y轴、x轴的正半轴上的两个动点,P是AB的中点,且OP=2,则△AOB的面积的最大值为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
7.如图,在矩形纸片ABCD中,AB=6 cm,BC=8 cm,E为边CD上一点.将△BCE沿BE所在的直线折叠,点C恰好落在AD边上的点F处,过点F作FM⊥BE,垂足为M,取AF的中点N,连接MN,则MN= .
8.如图,四边形ABCD是矩形,分别以BC、CD为一边作等边△BCE和等边△CDF,点E在矩形上方,点F在矩形内部,连接AE、EF.
(1)求∠ECF的度数.
(2)求证:AE=EF.
【素养作业】
9.如图,A,B,C,D为矩形ABCD的四个顶点,AB=25 cm,AD=8 cm,动点P,Q分别从点A,C同时出发,点P以3 cm/s的速度向点B移动,运动到点B为止,点Q以2 cm/s的速度向点D移动.
(1)当P,Q两点从出发开始到第几秒时,PQ∥AD
(2)当P,Q两点从出发开始到第几秒时,四边形PBCQ的面积为84 cm2
参考答案
基础达标作业
1.C 2.D 3.10
4.解:∵四边形ABCD是矩形,AE平分∠BAD,
∴∠BAE=45°,则∠OAB=∠BAE+∠CAE=60°.
又∵OA=OB,
∴△AOB是等边三角形,
∴∠OBC=90°-∠ABO=30°.
5.证明:(1)∵∠ABC=∠ADC=90°,M是AC的中点,∴BM=DM=AC.
(2)∵N是BD的中点,BM=DM,∴MN⊥BD.
能力巩固作业
6.C
7.5 cm 解析:如图,连接AC,FC.由折叠的性质可知,BE垂直平分线段CF.∵FM⊥BE,∴F,M,C三点共线,FM=MC.
∵AN=FN,∴MN=AC.∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=90°,∴AC===10(cm),∴MN=AC=5(cm).
8.解:(1)∵四边形ABCD是矩形,∴∠BCD=90°.∵△BCE和△CDF是等边三角形,∴∠BCE=∠DCF=60°,∴∠BCF=90°-∠DCF=30°,∠ECF=∠BCE-∠BCF=30°.
(2)证明:∵△BCE和△CDF是等边三角形,∴BE=CE,AB=CD=CF.又∵∠ABE=90°-∠EBC=30°=∠ECF,∴△EBA≌△ECF(SAS),∴AE=EF.
素养拓展作业
9.解:(1)设当P,Q两点从出发开始到第x秒时,PQ∥AD.若PQ∥AD,则四边形APQD是平行四边形,∴AP=DQ,∴3x=25-2x,解得x=5.故当P,Q两点从出发开始到第5秒时,PQ∥AD.
(2)设当P,Q两点从出发开始到第a秒时,四边形PBCQ的面积为84 cm2,则BP=25-3a,CQ=2a.由梯形面积公式得(25-3a+2a)×8=84,解得a=4.故当P,Q两点从出发开始到第4秒时,四边形PBCQ的面积为84 cm2.
2第2课时 矩形的判定
【基础作业】
1.在数学活动课上,老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形,下面是一个学习小组拟定的方案,其中正确的是 ( )
A.测量对角线是否相互平分
B.测量两组对边是否分别相等
C.测量对角线是否相等
D.测量其中三个角是否都为直角
2.如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AC=BD,则下列条件能判定四边形ABCD为矩形的是 ( )
A.AB=CD
B.OA=OC,OB=OD
C.AC⊥BD
D.AB∥CD,AD=BC
3.如图,在平行四边形ABCD中,延长AD到点E,使DE=AD,连接EB,EC,DB.请你添加一个条件 ,使四边形DBCE是矩形.
4.如图,在矩形ABCD中,M为AD的中点,P为BC上一点,PE⊥MC,PF⊥MB,当AB,BC满足条件 时,四边形PEMF为矩形.
【巩固作业】
5.已知在平行四边形ABCD中,有下列条件:①AB=BC;②AC=BD;③AC⊥BD;④AC平分∠BAD,其中能说明平行四边形ABCD是矩形的是 ( )
A.① B.②
C.③ D.④
6.如图,过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC、BD的平行线,若所围成的四边形EFGH是矩形,原四边形ABCD必须满足的条件是 ( )
A.AD⊥CD B.AD=CD
C.AC⊥BD D.AC=BD
7.如图,四边形ABCD是平行四边形,点E在BC的延长线上,且CE=BC,AE=AB,AE,DC相交于点O,连接DE.求证:四边形ACED是矩形.
8.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=8,AC=6,O为BC的中点,OE平分∠AOB,与AB相交于点E,OD平分∠AOC,与AC相交于点D.求证:四边形ADOE为矩形,并求四边形ADOE的周长.
【素养作业】
9.如图,在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E,F分别为OB,OD的中点,延长AE至点G,使EG=AE,连接CG.
(1)求证:△ABE≌△CDF.
(2)当线段AB与线段AC满足什么数量关系时,四边形EGCF是矩形 请说明理由.
参考答案
基础达标作业
1.D 2.B
3.EB=DC
4.AB=BC
能力巩固作业
5.B 6.C
7.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,AB=CD.
∵CE=BC,
∴AD=CE,AD∥CE,
∴四边形ACED是平行四边形.
∵AB=CD,AE=AB,
∴AE=CD,
∴四边形ACED是矩形.
8.解:∵∠BAC=90°,O为BC的中点,∴OA=BC=OB=OC.∵OE平分∠AOB,OD平分∠AOC,∴OE⊥AB,AE=BE,AD=CD,OD⊥AC,∴∠AEO=∠ADO=90°,∴四边形ADOE为矩形,∴AE=OD,AD=OE.又∵AB=8,AC=6,∴OD=AE=AB=4,OE=AD=AC=3,∴四边形ADOE的周长=2(AD+AE)=2×(3+4)=14.
素养拓展作业
9.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,OB=OD,OA=OC,
∴∠ABE=∠CDF.
∵E,F分别为OB,OD的中点,
∴BE=OB,DF=OD,
∴BE=DF.
在△ABE和△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(SAS).
(2)当AC=2AB时,四边形EGCF是矩形.理由如下:
∵AC=2OA,AC=2AB,
∴AB=OA.
∵E是OB的中点,
∴AG⊥OB,
∴∠OEG=90°.
同理CF⊥OD,
∴AG∥CF.
∴EG∥CF.
∵EG=AE,OA=OC,
∴OE是△ACG的中位线,
∴OE∥CG,
∴EF∥CG,
∴四边形EGCF是平行四边形.
∵∠OEG=90°,
∴四边形EGCF是矩形.
2
