第2课时 菱形的判定
【基础作业】
1.如图,四边形ABCD的两条对角线相交于点O,且互相平分.添加下列条件,仍不能判定四边形ABCD为菱形的是 ( )
A.AC⊥BD
B.AB=AD
C.AC=BD
D.∠ABD=∠CBD
2.平面直角坐标系中,四边形ABCD的顶点坐标分别是A(-3,0)、B(0,2)、C(3,0)、D(0,-2),四边形ABCD是( )
A.矩形 B.菱形
C.无法确定 D.平行四边形
3.如图,在△ABC中,D是BC的中点,点E、F分别在线段AD及其延长线上,且DE=DF.下列条件使四边形BECF为菱形的是 ( )
A.BE⊥CE B.BF∥CE
C.BE=CF D.AB=AC
4.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC.若BD=6,则四边形CODE的周长是( )
A.10 B.12 C.18 D.24
5.如图,在∠MON的两边上分别截取OA、OB,使OA=OB;分别以点A、B为圆心,OA长为半径作弧,两弧交于点C,连接AC、BC、AB、OC.若AB=2 cm,四边形OACB的面积为4 cm2,则OC的长为 cm.
6.如图,在 ABCD中,BD是对角线,且BD⊥BC,E、F分别为边AB、CD的中点.求证:四边形DEBF是菱形.
【巩固作业】
7.如图,在矩形ABCD中,E,F分别是AD,BC中点,连接AF,BE,CE,DF分别交于点M,N,则四边形EMFN是 ( )
A.平行四边形 B.菱形
C.矩形 D.无法确定
8.如图,在平行四边形ABCD中,AE是∠DAB的平分线,EF∥AD交AB于点F,若AB=9,CE=4,AE=8,则DF等于 ( )
A.4 B.8 C.6 D.9
9.如图,在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点O作EF⊥AC,EF与AB的延长线交于点E,与CD的延长线交于点F.
求证:四边形AECF是菱形.
10.如图,菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O,点E在线段OB上(不与点B,点O重合),点F在线段OD上,且DF=BE,连接AE,AF,CE,CF.
(1)求证:四边形AECF是菱形.
(2)若AC=4,BD=8,当BE=3时,判断△ADE的形状,说明理由.
【素养作业】
11.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC交BC于点D,在线段AD上任取一点P(点A除外),过点P作EF∥AB,分别交AC,BC于点E和点F,作PQ∥AC,交AB于点Q,连接QE.
(1)求证:四边形AEPQ为菱形.
(2)当点P在何处时,菱形AEPQ的面积为四边形EFBQ面积的一半
参考答案
基础达标作业
1.C 2.B 3.D 4.B 5.4cm
6.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,BD⊥BC,
∴AB=CD,△ADB和△CBD是直角三角形.
又∵E、F分别为边AB、CD的中点,
∴DE=BE=BF=DF,
∴四边形DEBF是菱形.
能力巩固作业
7.B 8.C
9.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,OA=OC,∴∠AEO=∠CFO.在△AOE和△COF中,∠AEO=∠CFO,∠AOE=∠COF,OA=OC,∴△AOE≌△COF(AAS),∴OE=OF,又∵EF⊥AC,OA=OC,∴AC与EF互相垂直平分,∴四边形AECF是菱形.
10.解:(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,AO=CO,BO=DO.
∵BE=DF,
∴BO-BE=DO-DF,即OE=OF.
∵AO=CO,
∴四边形AECF是平行四边形,
∵AC⊥BD,
∴四边形AECF是菱形.
(2)△ADE是直角三角形.
理由:∵AC=4,BD=8,AO=CO,BO=DO,
∴AO=2,BO=DO=4.
∵BE=3,
∴OE=4-3=1,DE=DO+OE=4+1=5,
在Rt△AOD中,由勾股定理得AD2=AO2+DO2=22+42=20,
在Rt△AOE中,由勾股定理得AE2=AO2+OE2=22+12=5,
∵DE2=52=25,
∴AD2+AE2=DE2,
∴∠DAE=90°,
即△ADE是直角三角形.
素养拓展作业
11.解:(1)证明:∵EF∥AB,PQ∥AC,∴四边形AEPQ为平行四边形.∵AB=AC,AD平分∠CAB,∴∠CAD=∠BAD,又∵EF∥AB,即∠BAD=∠EPA,∴∠CAD=∠EPA,∴AE=PE,∴平行四边形AEPQ为菱形.
(2)P为EF的中点时,S菱形AEPQ=S四边形EFBQ.∵四边形AEPQ为菱形,∴AD⊥EQ.∵AD是等腰△ABC的角平分线,∴AD是BC边上的高,即AD⊥BC,∴EQ∥BC.又∵EF∥AB,∴四边形EFBQ为平行四边形,并与菱形AEPQ等高.当点P为EF的中点时,菱形AEPQ面积是 EFBQ面积的一半.
22.菱形
第1课时 菱形的性质
【基础作业】
1.菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示,点C的坐标是(6,0),点A的纵坐标是1,则点B的坐标是 ( )
A.(3,1) B.(3,-1)
C.(1,-3) D.(1,3)
2.如图,菱形ABCD的周长是20,对角线AC,BD相交于点O,若BD=6,则菱形ABCD的面积是 ( )
A.6 B.12 C.24 D.48
3.如图,在菱形ABCD中,AB∥y轴,且B(-3,1),C(1,4),则点A的坐标为 ( )
A.(-3,5) B.(1,8)
C.(-3,6) D.(1,9)
4.如图,在菱形ABCD中,M、N分别在AB、CD上,且AM=CN,MN与AC交于点O,连接BO,若∠DAC=28°,则∠OBC的度数为 .
5.如图,四边形ABCD是菱形,点E、F分别在边AB、AD的延长线上,且BE=DF,连接CE、CF.求证:CE=CF.
【巩固作业】
6.如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点D作DH⊥AB于点H,连接OH,若OA=6,S菱形ABCD=48,则OH的长为 ( )
4 B.8 C. D.6
7.如图,在周长为12的菱形ABCD中,AE=1,AF=2,若P为对角线BD上一动点,则EP+FP的最小值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
8.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,斜边AB=,过点C作CF∥AB,以AB为边作菱形ABEF,若∠F=30°,则Rt△ABC的面积为 .
9.如图,在菱形ABCD中,过AD的中点E作AC的垂线EF,交AB于点M,交CB的延长线于点F.如果FB的长是2,求菱形ABCD的周长.
【素养作业】
10.如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点D作DE∥AC使得DE=AC,连接CE、OE,连接AE交OD于点F.
(1)求证:OE=CD.
(2)若菱形ABCD的边长为2,∠ABC=60°,求AE的长.
11.如图,在菱形ABCD中,AB=4,∠BAD=120°,△AEF为等边三角形,点E,F分别在菱形的边BC,CD上滑动,且点E,F不与点B,C,D重合.
(1)求证:BE=CF.
(2)当点E,F在BC,CD上滑动时,四边形AECF的面积是否发生变化 如果不变,说明理由.
参考答案
基础达标作业
1.B 2.C 3.C 4.62°
5.证明:∵四边形ABCD是菱形,∴BC=CD,∠ABC=∠ADC.
∵∠ABC+∠CBE=180°,∠ADC+∠CDF=180°,∴∠CBE=∠CDF.
在△CDF和△CBE中,
∴△CDF≌△CBE(SAS),
∴CE=CF.
能力巩固作业
6.A 7.C 8.
9.解:如图,连接BD.
∵在菱形ABCD中,∴AD∥BC,AC⊥BD.
又∵EF⊥AC,∴BD∥EF,
∴四边形EFBD为平行四边形,
∴FB=ED=2.
又∵E是AD的中点,
∴AD=2ED=4.
∴菱形ABCD的周长为4×4=16.
素养拓展作业
10.解:(1)证明:在菱形ABCD中,OC=AC,∴DE=OC.∵DE∥AC,∴四边形OCED是平行四边形.又∵AC⊥BD,∴平行四边形OCED是矩形,∴OE=CD.
(2)在菱形ABCD中,∠ABC=60°,∴AC=AB=2.
∴在矩形OCED中,CE=OD==,在Rt△ACE中,AE==.
11.解:(1)证明:∵在菱形ABCD中,∠BAD=120°,∴∠B=60°,∠BAC=∠BAD=60°,∴△ABC为等边三角形,则AB=BC=AC.∵△AEF为等边三角形,∴AE=AF,∠EAF=60°,∴∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC,即∠BAE=∠CAF,∴△BAE≌△CAF,∴BE=CF.
(2)四边形AECF的面积不会发生变化.理由如下:∵△BAE≌△CAF,∴S△ABE=S△ACF,∴S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC.∵△ABC的面积是定值,∴四边形AECF的面积不会发生变化.
2
