第2课时 正方形的判定
【基础作业】
1.下列命题中,正确的是 ( )
A.四边相等的四边形是正方形
B.四角相等的四边形是正方形
C.对角线垂直的平行四边形是正方形
D.对角线相等的菱形是正方形
2.两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是 ( )
A.平行四边形 B.矩形
C.菱形 D.正方形
3.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°,添加一个条件 ,可得出该四边形是正方形.
4.如图,BD是△ABC的角平分线,DE∥BC,交AB于点E,DF∥AB,交BC于点F,当△ABC满足条件 时,四边形BEDF是正方形.
5.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,E是两锐角平分线的交点,ED⊥BC,EF⊥AC,垂足分别为D,F,求证:四边形CDEF是正方形.
【巩固作业】
6.如图,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.要使四边形EFGH是正方形,BD、AC应满足的条件是 .
7.如图,已知点E、F、G、H分别在正方形ABCD的各边上,且AE=BF=CG=DH,AF、BG、CH、DE分别相交于点A'、B'、C'、D'.求证:四边形A'B'C'D'是正方形.
【素养作业】
8.如图,已知四边形ABCD为正方形,AB=3,E为对角线AC上一动点,连接DE、过点E作EF⊥DE.交BC于点F,以DE、EF为邻边作矩形DEFG,连接CG.
(1)求证:矩形DEFG是正方形.
(2)探究:CE+CG的值是否是定值 若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由.
参考答案
基础达标作业
1.D 2.D 3.AB=BC 4.∠ABC=90°
5.证明:如图,过点E作EM⊥AB于点M.
∵AE平分∠CAB,∴EF=EM.
∵EB平分∠CBA,∴EM=ED,
∴EF=ED.
∵ED⊥BC,EF⊥AC,△ABC是直角三角形,
∴∠CFE=∠CDE=∠C=90°,
∴四边形EFCD是矩形.
∵EF=ED,
∴四边形CDEF是正方形.
能力巩固作业
6.AC=BD且AC⊥BD
7.证明:∵在△ABF和△BCG中,AB=BC,∠ABC=∠BCD,BF=CG,∴△ABF≌△BCG(SAS),
∴∠BAF=∠GBC.
∵∠BAF+∠AFB=90°,
∴∠GBC+∠AFB=90°,∴∠BB'F=90°,
∴∠A'B'C'=90°.
同理可得∠B'C'D'=∠C'D'A'=90°,
∴四边形A'B'C'D'是矩形.
∵在△AB'B和△BC'C中,∠BAF=∠GBC,∠AB'B=∠BC'C,AB=BC,
∴△AB'B≌△BC'C(AAS),∴AB'=BC'.
在△AA'E和△BB'F中,∠BAF=∠GBC,∠AA'E=∠BB'F,AE=BF,
∴△AA'E≌△BB'F(AAS),∴AA'=BB',∴A'B'=B'C',
∴四边形A'B'C'D'是正方形.
素养拓展作业
8.解:(1)证明: 如图,过点E作EM⊥BC于点M,过点E作EN⊥CD于点N.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BCD=90°,∠ECN=45°.
∴∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°,且NE=NC,
∴四边形EMCN为正方形,∴EM=EN.
∵四边形DEFG是矩形,
∴∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90°,
∴∠DEN=∠MEF.
在△DEN和△FEM中,
∴△DEN≌△FEM(ASA),
∴ED=EF,
∴矩形DEFG为正方形.
(2)CE+CG的值为定值.
∵矩形DEFG为正方形,
∴DE=DG,∠EDC+∠CDG=90°.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=DC,∠ADE+∠EDC=90°,
∴∠ADE=∠CDG.
在△ADE和△CDG中,
∴△ADE≌△CDG(SAS),
∴AE=CG.
∵AC=AE+CE=AB=×3=6,
∴CE+CG=6.
23.正方形
第1课时 正方形的性质
【基础作业】
1.正方形具有而菱形不一定具有的性质是 ( )
A.对角线相等
B.对角线互相垂直
C.对角线互相平分
D.对角相等
2.若正方形的面积为36,则对角线的长为 ( )
A.6 B.9
C.6 D.9
3.如图,正方形纸片ABCD的边长为3,点E、F分别在边BC、CD上,将AB、AD分别沿AE、AF折叠,点B、D恰好都落在点G处,已知BE=1,则EF的长为 .
4.如图,在正方形ABCD的外侧,作等边△ADE,则∠BED的度数是 .
5.如图,在正方形ABCD中,E为BC边上一点,F为BA延长线上一点,且CE=AF.连接DE、DF.求证:DE=DF.
【巩固作业】
6.如图,E为正方形ABCD边CD上一点,连接BE,AC.若EC=1,2∠ABE=3∠ACB,则AB的长为 ( )
A. B.+1
C. D.+1
7.如图,在边长为4的正方形ABCD中,E、F分别是边BC、CD上的动点,且BE=CF,连接BF、DE,则BF+DE的最小值为 ( )
A.4 B.2 C.4 D.2
8.如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E为BC上一点,CE=5,F为DE的中点.若△CEF的周长为18,则OF的长为 .
9.如图,E为正方形ABCD外一点,F是线段AE上一点,△EBF是等腰直角三角形,其中∠EBF=90°,连接CE、CF.
(1)求证:△ABF≌△CBE.
(2)判断△CEF的形状,并说明理由.
【素养作业】
10.四边形ABCD是正方形,G是直线BC上任意一点,BE⊥AG于点E,DF⊥AG于点F,当点G在BC边上时(如图1),易证DF-BE=EF.
(1)当点G在BC的延长线上时,在图2中补全图形,写出DF、BE、EF的数量关系,并证明.
(2)当点G在CB的延长线上时,在图3中补全图形,写出DF、BE、EF的数量关系,不用证明.
参考答案
基础达标作业
1.A 2.C 3. 4.45°
5.证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=CD,∠DAB=∠C=90°,
∴∠FAD=180°-∠DAB=90°.
在△DCE和△DAF中,CD=AD,∠C=∠DAF,CE=AF,
∴△DCE≌△DAF(SAS),
∴DE=DF.
能力巩固作业
6.B 7.C 8.
9.解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=CB,∠ABC=90°.∵△EBF是等腰直角三角形,其中∠EBF=90°,∴BE=BF,∴∠ABC-∠CBF=∠EBF-∠CBF,∴∠ABF=∠CBE.在△ABF和△CBE中,有AB=CB,∠ABF=∠CBE,BF=BE,∴△ABF≌△CBE(SAS).
(2)△CEF是直角三角形.理由如下:
∵△EBF是等腰直角三角形,∴∠BFE=∠FEB=45°,
∴∠AFB=180°-∠BFE=135°.
又∵△ABF≌△CBE,∴∠CEB=∠AFB=135°,∴∠CEF=∠CEB-∠FEB=135°-45°=90°,∴△CEF是直角三角形.
素养拓展作业
10.解:(1)如图1所示,DF、BE、EF的数量关系:BE=DF+EF.
证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=DA,AB⊥AD.
∵BE⊥AG,DF⊥AG,
∴∠AEB=∠AFD=90°.
又∵∠BAE+∠DAF=90°,∠BAE+∠ABE=90°,
∴∠ABE=∠DAF.
在△ABE和△DAF中,
∴△ABE≌△DAF(AAS),
∴AF=BE,DF=AE,
∴BE=AF=AE+EF=DF+EF.
(2)如图2所示,DF、BE、EF的数量关系:EF=DF+BE.
提示:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=DA,AB⊥AD.
∵BE⊥AG,DF⊥AG,
∴∠AEB=∠AFD=90°,
又∵∠BAE+∠DAF=90°,∠BAE+∠ABE=90°,
∴∠ABE=∠DAF.
在△ABE和△DAF中,
∴△ABE≌△DAF(AAS),
∴AF=BE,DF=AE,
∴EF=AE+AF=DF+BE.
基础达标作业
1.A 2.C 3. 4.45°
5.证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=CD,∠DAB=∠C=90°,
∴∠FAD=180°-∠DAB=90°.
在△DCE和△DAF中,CD=AD,∠C=∠DAF,CE=AF,
∴△DCE≌△DAF(SAS),
∴DE=DF.
能力巩固作业
6.B 7.C 8.
9.解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=CB,∠ABC=90°.∵△EBF是等腰直角三角形,其中∠EBF=90°,∴BE=BF,∴∠ABC-∠CBF=∠EBF-∠CBF,∴∠ABF=∠CBE.在△ABF和△CBE中,有AB=CB,∠ABF=∠CBE,BF=BE,∴△ABF≌△CBE(SAS).
(2)△CEF是直角三角形.理由如下:
∵△EBF是等腰直角三角形,∴∠BFE=∠FEB=45°,
∴∠AFB=180°-∠BFE=135°.
又∵△ABF≌△CBE,∴∠CEB=∠AFB=135°,∴∠CEF=∠CEB-∠FEB=135°-45°=90°,∴△CEF是直角三角形.
素养拓展作业
10.解:(1)如图1所示,DF、BE、EF的数量关系:BE=DF+EF.
证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=DA,AB⊥AD.
∵BE⊥AG,DF⊥AG,
∴∠AEB=∠AFD=90°.
又∵∠BAE+∠DAF=90°,∠BAE+∠ABE=90°,
∴∠ABE=∠DAF.
在△ABE和△DAF中,
∴△ABE≌△DAF(AAS),
∴AF=BE,DF=AE,
∴BE=AF=AE+EF=DF+EF.
(2)如图2所示,DF、BE、EF的数量关系:EF=DF+BE.
提示:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=DA,AB⊥AD.
∵BE⊥AG,DF⊥AG,
∴∠AEB=∠AFD=90°,
又∵∠BAE+∠DAF=90°,∠BAE+∠ABE=90°,
∴∠ABE=∠DAF.
在△ABE和△DAF中,
∴△ABE≌△DAF(AAS),
∴AF=BE,DF=AE,
∴EF=AE+AF=DF+BE.
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