黑龙江省鹤岗市重点中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题(无答案)

鹤岗重点中学2022级高二学年下学期3月开学考考试题
数学
试题说明：1、本试题满分150分，答题时间120分钟。
2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．已知随机变量，若，则（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.7
3．设椭圆C：的左、右焦点为，，若点在C上，则的周长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
4．根据历年气象统计资料，某地3月份的任一天到东风的概率为，下雨的概率为，既刮东风又下雨的概率为．则3月2日这一天，在刮东风的条件下下雨的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知X是离散型随机变量，，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们组成的图像我国古代舀酒的斗，故命名北斗七星．北斗七星不仅是天上的星象，也是古人藉以判断季节的依据之一．如图，用点表示某一时期的北斗七星．其中四点看作共线，其他任何三点均不共线，过这七个点中任意两个点作直线，所得直线的条数为（ ）
A．18 B．17 C．16 D．15
7．圆心在直线上，且经过两圆和的交点的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知椭圆的右焦点为F（1，0），且离心率为．三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、M、且三条边所在直线的斜率分别为、、，且、、均不为0，O为坐标原点．若直线OD、OE、OM的斜率之和为1，则（ ）
A．－1 B． C． D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
9．在的展开式中，下列说法正确的有（ ）
A．所有项的二项式系数和为128 B．所有项的系数和为0
C．系数最大的项为第4项和第5项 D．存在常数项
10．甲罐中有5个红球，3个白球，乙罐中有4个红球，2个白球．整个取球过程分两步：先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用、表示由甲罐取出的球是红球、白球的事件；再从乙罐中随机取出两球，分别用B、C表示第二步由乙罐取出的球是“两球都为红球”、“两球为一红一白”的事件．则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．在平面直角坐标系xOy中，已知点M（2，－1），N（－2，1），动点P满足，记点P的轨迹为C，则（ ）
A．存在实数a，使得C上所有的点到点的距离大于2
B．存在实数a，使得C上有两点到点与的距离之和为6
C．存在实数a，使得C上有两点到点与的距离之差为2
D．存在实数a，使得C上有两点到点（a，0）的距离与到直线的距离相等
12．如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中是道路网中的5个指定交汇处，今在道路网M，N处的甲、乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止，则下列说法正确的是（ ）
A．甲从M到达N处的方法有15种
B．甲从M必须经过到达N处的方法有6种
C．甲、乙两人在A3处相遇的概率为
D．甲、乙两人在道路网中5个指定交汇处相遇的概率为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：
广告费用x/万元 1.8 2.2 3 5
销售额y/万元 7 14 16
根据上表数据得到y与x的回归直线方程为，则_____．
14．某次排球比赛采用五局三胜制，在甲女排俱乐部与乙女排俱乐部的某场比赛中，甲女排俱乐部每局获胜的概率都为，则甲女排俱乐部最终不超过四局便赢得比赛的概率为______．
15．若双曲线与直线没有交点，则双曲线离心率的取值范围为_____．
16．在平面直角坐标系xOy中，过点向圆引切线，切线长为．设点P到直线的距离为，则的最小值为_____．．
四．解答题（本大题6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题10分）已知圆，其圆心C在直线上．
（1）求m的值；
（2）若过点（－1，1）的直线与圆C相切，求直线的方程．
18．（本小题12分）某消费品企业销售部对去年各销售地的居民年收入（即此地所有居民在一年内的收入的总和）及其产品销售额进行抽样分析．收集数据整理如下：
销售地 A B C D
年收入（亿元） 15 20 35 50
销售额y（万元） 16 20 40 48
（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；
（2）若B地今年的居民年收入将增长20%，预测B地今年的销售额y将达到多少万元
参考公式：最小二乘法求线性回归方程系数公式：．
参考数据：．
19．（本小题12分）某市阅读研究小组为了解该市中学生阅读时间与语文成绩的关系，在参加市中学生语文综合能力竞赛的各校学生中随机抽取了500人进行调查，并按学生语文成绩是否达到75分及周平均阅读时间是否低于10小时分类，将调查结果整理成列联表．已知样本中语文成绩不低于75分的人数占样本总数的30%，周平均阅读时间少于10小时的人数占样本总数的一半，而语文成绩不低于75分且周平均阅读时间不少于10小时的有100人．
（1）完成列联表，根据的独立性检验，能否认为语文成绩与阅读时间有关
周平均阅读时间语文成绩 少于10小时 不少于10小时 合计
低于75分
不低于75分
合计
（2）先从成绩不低于75分的样本中按不同阅读时间的人数比例，用分层随机抽样的方法抽取9人进一步做问卷调查，然后从这9人中再随机抽取3人进行访谈，记这3人中周平均阅读时间不少于10小时的人数为，求的分布列。
附：．
0.01 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
20．（本小题12分）已知抛物线的准线方程是．
（1）求抛物线的方程；
（2）设直线与抛物线相交于M，N两点，O为坐标原点，证明：
21．（本小题12分）2024年元旦假期，哈尔滨创下3天304.79万人次游客量，59.14亿元旅游总收入的旅游业绩。各地游客欢聚“尔滨”打卡。春节假期，哈尔滨文旅市场继续火爆．为了解哈尔滨市民每年旅游消费支出费用（单位：千元）。元旦期间对游览冰雪大世界的100名哈尔滨游客进行随机问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表：
组别
频数 3 4 8 11 41 20 8 5
（1）从样本中随机抽取两位市民的旅游支出数据，求两人旅游支出均不低于1万元的概率；
（2）若哈尔滨市民的旅游支出费用X近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准签s，并已来得s＝3，利用所得正态分布模型解决以下问题：
（i）若哈尔滨市常住人口约为640万人，试估计哈尔滨市有多少市民每年旅游费用支出在15000元以上；
（ii）若在哈尔滨市随机抽取3位市民，设其中旅游费用在9000元以上的人数为，求随机变量的分布列和均值。
附：若，则，
，．
22．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，且短轴长为2，离心率等于。
（1）求椭圆C的方程。
（2）过椭圆C的右焦点F作直线交椭圆C于A，B两点，交y轴于M点，若，，求证：为定值。