16.1.1 二次根式的概念
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16.1 二次根式
第十六章 二次根式
八年级数学下（RJ）教学课件
第1课时 二次根式的概念
学习目标
1.理解二次根式的概念.
2.理解二次根式有意义的条件.
3.会用二次根式的非负性解题.
重点：二次根式有意义的条件.
难点：二次根式的非负性.
课前预习
阅读课本第2~3页内容，学习本节主要内容.
二次根式
算术平方根
为非负数
为非负数
非负数
新课导入
圆形喷泉的面积为 70πm , 那么它的半径是多少？
这个式子有什么特点呢？
思考 用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么共同特点：
（1）面积为 3 的正方形的边长为 ，面积为 S 的正方形的边长为 .
（2）一个长方形的围栏，长是宽的 2 倍，面积为130m2，则它的宽为 m.
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s），与开始落下时离地面的高度 h（单位：m）满足关系 h=5t2，如果用含有 h 的式子表示 t，那么 t 为 .
问题1 这些式子分别表示什么意义？
分别表示3，S，65， 的算术平方根．
上面问题中，得到的结果分别是：
二次根式的概念及有意义的条件
一
①根指数都为2;
②被开方数为非负数.
问题2 这些式子有什么共同特征？
新知讲解
归纳总结
一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式. “ ”称为二次根号.
两个必备特征
①外貌特征：含有“ ”
②内在特征：被开方数a ≥0
注意：a可以是数，也可以是式.
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
解：
(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.
是否含二次根号
被开方数是不是非负数
二次根式
不是二次根式
是
是
否
否
分析：
典例分析
例2 当x是怎样的实数时, 在实数范围内有
意义
解：由x-2≥0，得
x≥2.
当x≥2时， 在实数范围内有意义.
解：由题意得x-1＞0，
∴x＞1.
解：∵被开方数需大于或等于零，
∴3+x≥0，∴x≥-3.
∵分母不能等于零，
∴x-1≠0，∴x≠1.
∴x≥-3 且x≠1.
要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.
归纳
解：(1)∵无论x为何实数，
∴当x=1时， 在实数范围内有意义.
(2)∵无论x为何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0，
∴无论x为何实数， 在实数范围内都无意义.
被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.
归纳
(1)单个二次根式如 有意义的条件：A≥0；
(2)多个二次根式相加如 有意义的
条件：
(3)二次根式作为分式的分母如 有意义的条件：
A＞0；
(4)二次根式与分式的和如 有意义的条件：
A≥0且B≠0.
归纳总结
1.下列各式： .
一定是二次根式的个数有 （ ）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
B
2.(1)若式子 在实数范围内有意义，则x的取值
范围是_______;
(2)若式子 在实数范围内有意义，则x的
取值范围是___________.
x ≥1
x ≥0且x≠2
随堂练习
问题1 当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？
前者x为全体实数；后者x为正数和0.
当a＞0时， 表示a的算术平方根，因此 ＞0；当a=0时， 表示0的算术平方根，因此 =0.这就是说，当a≥0时， ≥0.
问题2 二次根式 的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？
二次根式的双重非负性
二
新知讲解
二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，我们知道：
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；
（2） 表示一个数或式的算术平方根，可知 ≥0.
二次根式的被开方数非负
二次根式的值非负
二次根式的双重非负性
归纳总结
例3 若 ，求a -b+c的值.
解：
由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,
解得a=2,b=3,c=4.
所以a-b+c=2-3+4=3.
多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
归纳
典例分析
例4 已知y= ,求3x+2y的算术平方根.
解：由题意得
∴x=3，∴y=8，
∴3x+2y=25.
∵25的算术平方根为5，
∴3x+2y的算术平方根为5．
解：由题意得
∴a=3，
∴b=4.
当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；
当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．
若 ，则根据被开方数大于等于0，可得a=0.
归纳
已知|3x-y-1|和 互为相反数，求x+4y的平方根．
解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0．
解得x=1，y=2．
∴x+4y=1+2×4=9，
∴x+4y的平方根为±3.
练一练
2.式子 有意义的条件是 （ ）
A.x＞2 B.x≥2 C.x＜2 D.x≤2
3.当x=____时，二次根式 取最小值，其最小值
为______．
1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ ）
C
A
-1
0
随堂练习
4.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有
意义？
5.(1)若二次根式 有意义，求m的取值范围．
解：由题意得m-2≥0且m2-m-2≠0，
解得m≥2且m≠-1，m≠2，
∴m＞2．
(2)无论x取任何实数，代数式 都有意义，求m的取值范围．
解：由题意得x2+6x+m≥0，
即(x+3)2+m-9≥0.
∵(x+3)2≥0，
∴m-9≥0，即m≥9.
6.若x，y是实数，且y＜ ,求 的值.
解：根据题意得，
∴x=1.
∵y＜ ,
∴y＜ ，
∴ .
解：由题意得
∴ a = 3. ∴ b = 4.
当 a 为腰长时，三角形的周长为 3 + 3 + 4 = 10；
当 b 为腰长时，三角形的周长为 4 + 4 + 3 = 11． ∴此三角形的周长是 10 或 11.
8.先阅读，后回答问题：
当x为何值时， 有意义？
解：由题意得x(x-1)≥0
由乘法法则得
解得x≥1 或x≤0
即当x≥1 或x≤0时， 有意义.
体会解题思想后，试着解答：当x为何值时，
有意义？
解：由题意得
则
解得x≥2或x＜ ，
即当x≥2或x＜ 时， 有意义．
二次根式
定义
带有二次根号
在有意义条件下求字母的取值范围
抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集.
被开方数为非负数
二次根式的双重非负性
二次根式 中,a≥0且
≥0
课堂小结
本课结束
*
*
16.1 二次根式
第十六章 二次根式
八年级数学下（RJ）教学课件
第1课时 二次根式的概念
学习目标
1.理解二次根式的概念.
2.理解二次根式有意义的条件.
3.会用二次根式的非负性解题.
重点：二次根式有意义的条件.
难点：二次根式的非负性.
课前预习
阅读课本第2~3页内容，学习本节主要内容.
二次根式
算术平方根
为非负数
为非负数
非负数
新课导入
圆形喷泉的面积为 70πm , 那么它的半径是多少？
这个式子有什么特点呢？
思考 用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么共同特点：
（1）面积为 3 的正方形的边长为 ，面积为 S 的正方形的边长为 .
（2）一个长方形的围栏，长是宽的 2 倍，面积为130m2，则它的宽为 m.
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s），与开始落下时离地面的高度 h（单位：m）满足关系 h=5t2，如果用含有 h 的式子表示 t，那么 t 为 .
问题1 这些式子分别表示什么意义？
分别表示3，S，65， 的算术平方根．
上面问题中，得到的结果分别是：
二次根式的概念及有意义的条件
一
①根指数都为2;
②被开方数为非负数.
问题2 这些式子有什么共同特征？
新知讲解
归纳总结
一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式. “ ”称为二次根号.
两个必备特征
①外貌特征：含有“ ”
②内在特征：被开方数a ≥0
注意：a可以是数，也可以是式.
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
解：
(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.
是否含二次根号
被开方数是不是非负数
二次根式
不是二次根式
是
是
否
否
分析：
典例分析
例2 当x是怎样的实数时, 在实数范围内有
意义
解：由x-2≥0，得
x≥2.
当x≥2时， 在实数范围内有意义.
解：由题意得x-1＞0，
∴x＞1.
解：∵被开方数需大于或等于零，
∴3+x≥0，∴x≥-3.
∵分母不能等于零，
∴x-1≠0，∴x≠1.
∴x≥-3 且x≠1.
要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.
归纳
解：(1)∵无论x为何实数，
∴当x=1时， 在实数范围内有意义.
(2)∵无论x为何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0，
∴无论x为何实数， 在实数范围内都无意义.
被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.
归纳
(1)单个二次根式如 有意义的条件：A≥0；
(2)多个二次根式相加如 有意义的
条件：
(3)二次根式作为分式的分母如 有意义的条件：
A＞0；
(4)二次根式与分式的和如 有意义的条件：
A≥0且B≠0.
归纳总结
1.下列各式： .
一定是二次根式的个数有 （ ）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
B
2.(1)若式子 在实数范围内有意义，则x的取值
范围是_______;
(2)若式子 在实数范围内有意义，则x的
取值范围是___________.
x ≥1
x ≥0且x≠2
随堂练习
问题1 当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？
前者x为全体实数；后者x为正数和0.
当a＞0时， 表示a的算术平方根，因此 ＞0；当a=0时， 表示0的算术平方根，因此 =0.这就是说，当a≥0时， ≥0.
问题2 二次根式 的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？
二次根式的双重非负性
二
新知讲解
二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，我们知道：
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；
（2） 表示一个数或式的算术平方根，可知 ≥0.
二次根式的被开方数非负
二次根式的值非负
二次根式的双重非负性
归纳总结
例3 若 ，求a -b+c的值.
解：
由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,
解得a=2,b=3,c=4.
所以a-b+c=2-3+4=3.
多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
归纳
典例分析
例4 已知y= ,求3x+2y的算术平方根.
解：由题意得
∴x=3，∴y=8，
∴3x+2y=25.
∵25的算术平方根为5，
∴3x+2y的算术平方根为5．
解：由题意得
∴a=3，
∴b=4.
当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；
当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．
若 ，则根据被开方数大于等于0，可得a=0.
归纳
已知|3x-y-1|和 互为相反数，求x+4y的平方根．
解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0．
解得x=1，y=2．
∴x+4y=1+2×4=9，
∴x+4y的平方根为±3.
练一练
2.式子 有意义的条件是 （ ）
A.x＞2 B.x≥2 C.x＜2 D.x≤2
3.当x=____时，二次根式 取最小值，其最小值
为______．
1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ ）
C
A
-1
0
随堂练习
4.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有
意义？
5.(1)若二次根式 有意义，求m的取值范围．
解：由题意得m-2≥0且m2-m-2≠0，
解得m≥2且m≠-1，m≠2，
∴m＞2．
(2)无论x取任何实数，代数式 都有意义，求m的取值范围．
解：由题意得x2+6x+m≥0，
即(x+3)2+m-9≥0.
∵(x+3)2≥0，
∴m-9≥0，即m≥9.
6.若x，y是实数，且y＜ ,求 的值.
解：根据题意得，
∴x=1.
∵y＜ ,
∴y＜ ，
∴ .
解：由题意得
∴ a = 3. ∴ b = 4.
当 a 为腰长时，三角形的周长为 3 + 3 + 4 = 10；
当 b 为腰长时，三角形的周长为 4 + 4 + 3 = 11． ∴此三角形的周长是 10 或 11.
8.先阅读，后回答问题：
当x为何值时， 有意义？
解：由题意得x(x-1)≥0
由乘法法则得
解得x≥1 或x≤0
即当x≥1 或x≤0时， 有意义.
体会解题思想后，试着解答：当x为何值时，
有意义？
解：由题意得
则
解得x≥2或x＜ ，
即当x≥2或x＜ 时， 有意义．
二次根式
定义
带有二次根号
在有意义条件下求字母的取值范围
抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集.
被开方数为非负数
二次根式的双重非负性
二次根式 中,a≥0且
≥0
课堂小结
本课结束
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