第十章 三角形的有关证明 2 等腰三角形 第2课时 等边三角形的判定及反证法（含答案）

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三角形的有关证明
2 等腰三角形
第2课时 等边三角形的判定及反证法
基 础 练
知识点一 等边三角形的判定
1.下列三角形:①有两个角等于 60°;②有一个角等于 60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的有 ( )
A.①②③ B. ①②④ C. ①③ D.①②③④
2.如图,△ABC是等边三角形, AD 平分∠BAC,若 BD=3,则 AB 的长为 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
第 2 题图 第 3 题图
3.如图,在△ABC中,D,E 是边 BC 的三等分点，且△ADE 是等边三角形,则∠BAC 的度数为 ( )
A.105° B.120° C.130°
4.如图,在△ABC中,BD 是中线,延长BC 到点E,使 CE=CD,若 DB=DE,∠E=30°.求证: △ABC是等边三角形.
知识点二 含 角的直角三角形的性质
5.如图,在 中, , P 是 BC 边上的动点,则 AP的长不可能是 ( )
A.3 B.5 C.6 D.7
第 5 题图 第6 题图
6.如图,在 Rt△ABC 中, ∠BAC=90°,∠B=30°,AD⊥BC 于 D,若CD=2,则 BD的长度是______________.
知识点三 反证法
7.用反证法证明命题“在Rt△ABC中,若∠C=90°,∠B≠45°,则 AC ≠BC”时，首先应假设 ( )
A. AC=BC B. AB=AC C.∠B=45° D.∠C≠90°
提 升 练
8.如图,等边△ABC的边长为 1 cm,D,E 分别是 AB,AC 上的两点,将△ADE 沿直线DE 折叠,点 A 落在A'处,A'在△ABC外，则阴影部分图形的周长为( )
A.1 cm B.1.5 cm C.2 cm D.3 cm
第 8 题图 第 9 题图
9.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥AB 交 BC 于点D, AD=5,则 BC 的长为 ( )
A.7.5 B.10 C.15 D.20
10.如图,C为线段 AE 上一动点(不与点 A,E 重合),在 AE 同侧分别作等边三角形ABC 和等边三角形CDE，AD 与BE 交于点O,AD与BC 交于点P, BE 与CD 交于点 Q,连接 PQ,下列结论错误的是 ( )
A. AD=BE C. DE=DP D. PQ∥AE
第10题图 第11题图
11.将含 30°的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置. 已知∠α=60°,点B,C表示的刻度分别为 1 cm、3 cm, 则线段 AB的长为____________cm.
12.如图,在等边△ABC中, 点D在边BC 上,过点D作DE∥AB交AC于点E,过点 E作EF⊥DE,交 BC的延长线于点 F.
(1)求∠F的度数;
(2)求证:DC=CF.
13.如图，在等边三角形ABC中,点 E 在AB 上,点 D在CB的延长线上,且 AE=BD.
(1)当点 E 为 AB 的中点时,如图 1,求证:EC=ED;
(2)当点 E不是AB 的中点时,如图 2,EC与ED 还相等吗 请说明理由.
14.如图,点O是等边 内的一点，点 D是 外的一点，连接 OD.
(1)求证: 是等边三角形；
(2)当 时，试判断 的形状，并说明理由；
(3)探究：当α等于多少时，AOD是等腰三角形 (请直接写出结果)
参考答案
1. D 2. C 3. B
4.证明:∵DB=DE,∴∠DBC=∠E=30°,
∵CE=CD,∴∠CDE=∠E=30°,
∴∠BCD=∠CDE+∠E=60°,∴∠BDC=90°,
∵BD是中线,∴AB=BC,∴∠A=∠ACB=60°,
∴∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形.
5. D 6. 6 7. A 8. D 9. C 10. C 11.2
12.(1)解:∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°,
∵DE∥AB,∴∠EDC=∠B=60°,
∵DE⊥EF,∴∠DEF=90°,∴∠F=180°-90°-60°=30°.
(2)证明:△ABC是等边三角形,∴∠B=∠ACB=60°,
∵DE∥AB,∴∠EDC=∠B=60°.∴∠DEC=180°-60°-60°=60°,
∴∠EDC=∠ECD=∠DEC,∴△DEC 是等边三角形,∴CE=CD.
∵∠ECD=∠F+∠CEF,∠F=30°,∴∠CEF=∠F=30°.∴EC=CF.∴CD=CF.
13.(1)证明:∵△ABC是等边三角形,∴CA=CB,∠ABC=∠ACB=60°,
∵点 E 为 AB的中点,
∵AE=BD,∴BE=BD,∴∠BDE=∠BED.
∵∠BDE+∠BED=∠ABC=60°,∴∠BDE=∠BED=30°,∴∠BDE=∠BCE=30°,
∴EC=ED.
(2)解:当点 E 不是AB 的中点时,如图,EC=ED.
理由：过点 E 作EF∥AC交 BC 于点F.
∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,AB=CB.
∵EF∥AC,∴∠BEF=∠BAC=60°,∠BFE=∠BCA=60°,
∴△BEF 为等边三角形,∴BE=BF=EF,∠EFB=60°,
∴AB-BE=BC-BF,∴AE=CF,
∵AE=BD,∴BD=CF,∴BD+BF=CF+BF,
∴DF=BC,∴△DEF≌△CEB(SAS),∴DE=EC.
∴当点 E 不是AB 的中点时,EC=ED.
14.(1)证明:∵△BOC≌△ADC,∴OC=DC,
∵∠OCD=60°,∴△OCD是等边三角形.
(2)解:△AOD 是直角三角形,理由如下:
∵△OCD是等边三角形,∴∠ODC=60°,
∵△BOC≌△ADC,α=150°,∴∠ADC=∠BOC=α=150°,
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°,∴△AOD是直角三角形.
(3)解:当 α=110°或 125°或 140°时,△AOD 是等腰三角形.
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