浙江省2007年初中毕业生学业考试绍兴市试卷
数 学
参考公式：二次函数图象的顶点坐标是,
弧长（为圆心角度数，为圆的半径）．
方差（是的平均数）．
试卷Ⅰ（选择题，共40分）
请将本卷的答案，用铅笔在答题卡上对应的选项位置涂黑、涂满.
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．请选出每小题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．如图是北京奥运会自行车比赛项目标志，则图中两轮所在圆
的位置关系是
A．内含 B．相交 C．相切 D．外离
2．下列计算正确的是
A． B．
C． D．
3．下列名人中：①鲁迅； ②姚明； ③刘徽； ④杨利伟； ⑤高斯； ⑥贝多芬；⑦陈景润．
其中是数学家的为
A．①③⑤ B．②④⑥ C．③⑤⑦ D．④⑤⑥
4．如下图所示的四个立体图形中，正视图是四边形的个数是
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5．拃是姆指和食指在平面上伸直时，两者端点之间的距离．则以下估计
正确的是
A．课本的宽度约为4拃 B．课桌的高度约为4拃
C．黑板的长度约为4拃 D．字典的厚度约为4拃
6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为BC的
中点，则下列式子中一定成立的是
A．AC=2OE B．BC=2OE
C．AD=OE D．OB=OE
7．学习了平行线后，小敏想出了过己知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图(1)～(4) ）：
从图中可知，小敏画平行线的依据有
①两直线平行，同位角相等； ②两直线平行，内错角相等；
③同位角相等，两直线平行； ④内错角相等，两直线平行．
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
8．甲、乙两人各射击6次，甲所中的环数是8，5，5，a，b，c, 且甲所中的环数的平均数是6，众数是8；乙所中的环数的平均数是6，方差是4．根据以上数据，对甲、乙射击成绩的正确判断是
A．甲射击成绩比乙稳定 B．乙射击成绩比甲稳定
C．甲、乙射击成绩稳定性相同 D．甲、乙射击成绩稳定性无法比较
9．如图是测量一颗玻璃球体积的过程：
（1）将300ml的水倒进一个容量为500ml的杯子中；
（2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；
（3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出．
根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积在
A．20cm3以上，30cm3以下 B．30cm3以上，40cm3以下
C．40cm3以上，50cm3以下 D．50cm3以上，60cm3以下
10．如图的方格纸中，左边图形到右边图形的变换是
A．向右平移7格
B．以AB的垂直平分线为对称轴作轴对称，再以
AB为对称轴作轴对称
C．绕AB的中点旋转1800，再以AB为对称轴作
轴对称
D．以AB为对称轴作轴对称，再向右平移7格
浙江省2007年初中毕业生学业考试绍兴市试卷
数 学
试卷Ⅱ（非选择题，共110分）
请将答案或解答过程用蓝、黑色墨水的钢笔或圆珠笔写在本卷上.
二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分．将答案填在
题中横线上）
11．写出一个图象在第一、三象限的反比例函数的解析式
．
12．分解因式 ．
13．如图，PA切⊙O于点A，该圆的半径为3，PO=5, 则PA的
长等于 ．
14．一个袋中装有12个红球、10个黑球、8个白球，每个球除颜色
外完全相同，从袋中任意摸出一个球，那么摸到黑球的概率是
．
15．如图，矩形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点与原点重合，
AB=2，AD=1，过定点Q(0,2)和动点P(a,0) 的直线与矩形ABCD
的边有公共点，则a的取值范围是 ．
16．绍兴黄酒是中国名酒之一．某黄酒厂的瓶酒车间先将散装黄酒灌装成瓶装黄酒，再将瓶装黄酒装箱出车间，该车间有灌装、装箱生产线共26条, 每条灌装、装箱生产线的生产流量分别如图1、2所示． 某日8:00～11:00，车间内的生产线全部投入生产，图3表示该时段内未装箱的瓶装黄酒存量变化情况，则灌装生产线有 条．
三、解答题（本大题有8小题，第17～20小题每小题8分，第21小题10分，第22，23小题每小题12分，第24小题14分，共80分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中．
19．如图甲，正方形被划分成16个全等的三角形，将其中若干个三
角形涂黑，且满足下列条件：
（1）涂黑部分的面积是原正方形面积的一半；
（2）涂黑部分成轴对称图形．
如图乙是一种涂法，请在图1～3中分别设计另外三种涂法．（在所设计的图案中，若涂黑部分全等，则认为是同一种涂法，如图乙与图丙）
20．某校为了解决学生停车难的问题，打算新建一个自行车车棚，
图1是车棚的示意图（尺寸如图所示），车棚顶部是圆柱侧面
的一部分，其展开图是矩形．图2是车棚顶部的截面示意图，
弧AB所在圆的圆心为O，半径OA为3米.
（1）求的度数（结果精确到1度）;
（2）学校准备用某种材料制作车棚顶部，请你算一算，需该种材料多少平方米？（不考虑接缝等因素，结果精确到1平方米）.
（参考数据：sin53.1o≈0.80,cos53.1o≈0.60，取3.14）
21．光明中学九（1）班的一个课外活动小组参加社会实践，他们到
人民路口调查进入人民东路的车流量情况，下表是他们的调查记
载表．
请你根据表中数据，解答下列问题：
（1）表中有一处数据被墨汁污染，写出被污染处的数： ，并补全下面的车流量频数分布直方图；
（2）由经验估计可知，在所调查的时段内，每增加投放1辆公交车，可减少8辆小轿车．为了使该时段内，小轿车的流量减少到只比公交车多15辆，问公交公司应增加投放多少辆公交车？
22．设关于x的一次函数与，则称函数
（其中）为此两
个函数的生成函数．
（1）当x=1时，求函数与的生成函数的值；
（2）若函数与的图象的交点为，判断点P是否在此两个函数的生成函数的图象上，并说明理由．
23．课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：
如图1，己知四边形ABCD中，AC
平分, ,
与互补，求证：
．
小敏反复探索，不得其解．她想，
若将四边形ABCD特殊化，看如何
解决该问题．
（1）特殊情况入手
添加条件：“”, 如图2，可证
．（请你完成此证明）
（2）解决原来问题
受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3，
过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F．
（请你补全证明）
24．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A、C的坐标分别为
（2，0）、（1，）．将绕AC的中点旋转1800，点O
落到点B的位置．抛物线经过点A，点D是
该抛物线的顶点．
(1) 求a的值，点B的坐标；
(2) 若点P是线段OA上一点，且，
求点P的坐标；
(3) 若点P是x轴上一点，以P、A、D为顶点作平行四边形，
该平行四边形的另一顶点在y轴上．写出点P的坐标(直接
写出答案即可)．
2009年中考数学复习中应用注意的几个问题
教研室 蔡建锋 邮箱：c66jf@163.com
中考的重要性是不言而喻的，因此做好复习工作就尤为重要。使我们的中考数学复习教学做到“对路、到位”，提高复习课的效率。下面就结合嵊州市初中数学教学的实际和绍兴市近年来的学业考试数学命题情况，谈谈2009年中考数学复习中应注意的几个问题提供一些建议，供大家参考。
一般来说，中考复习由三个阶段构成：基础知识的落实，解题经验的具备，应考能力的形成。我们不能相信：在没有知识储备的情况下，能进行解题训练；在缺乏各类基本题型应对经验的情况下，可以模拟出考试对策，从而形成应考能力。基础知识→解题经验→应考能力，这三个阶段，不可缺少，也不可超越，更不可倒置。前一阶段始终是后一阶段的基础，而每一阶段都它的中心任务，这就需要我们根据学生的实际情况，把握复习的进度，增强复习教学的计划性和有效性。
一、以课本为依据，注重基础知识的落实和强化
第一轮复习应以知识为立意，“依据课程标准和考试说明”，突出基础，注重数学内容的本质理解，时间安排从新课结束到4月底为宜。
第一轮复习的目的是要“过三关”：（1）过基础知识关：目的是夯实基础，基础内容的考查一般是课本中的基本概念、公式、法则、性质、定理及基本运算、基本推理、基本作图、基本方法等的直接运用或简单的综合运用，大都比较简单。应将有关概念、基本原理、基本方法等形成合理的知识网络结构，通过网络结构，体现知识发生发展的过程，体现知识之间的联系，体现知识的应用功能。（2）过基本技能关：目的是结累解题经验，让学生在解题实践中获得经验和教训，复习中特别要注重解题后的反思，通过反思，使学生在练习中得到感悟。如，对这个题，我是如何找到它突破口，解题中用到了哪些知识点，归纳它的解题思路和方法，总结它的解题规律，形成解题的技能。（3）过基本方法关：目的了解和掌握初中阶段所常用的数学思想方法：方程思想、函数思想、转化思想、分类讨论思想、数形结合思想等，配方法、待定系数法，换元法等。数学思想方法是数学教学中的灵魂，是数学解题教学的关键。如：用待定系数法求一次函数解析式是中考中的热点，是必考内容之一，分类讨论思想、数形结合思想是解决中考综合题主要手段。
第一轮复习应该注意的几个问题
（1）每年绍兴市的中考试卷难度系数都在0.7-----0.75之间，中考试题中按难：中：易=1：2：7的比例，基础知识的考查占总分（150分）的70%，因此要重视第一轮复习的实效性。
（2）现在复习用的教辅资料较多，教师一定要自己多做习题，才能精选例题和练习题，增强学生练习的有效性。
（3）中考有些基础题是课本上的原题或改造，复习时要切实用好课本，对课本中的基本内容必须作全面的复习，做到不遗漏，不含糊。必须深钻教材，绝不能脱离课本。
（4）复习教学中，更要重视学生的作业，讲究作业的有效性，对学生的作业要及时反馈，及时查漏补缺。教师对于学生作业、练习、测验中的问题，应采用集中讲授和个别辅导相结合，或将问题渗透在以后的复习教学过程中。这样进行反馈、矫正和强化，有利于大面积提高教学质量。
（5）复习中要防止，复习无计划，想到哪里就讲哪里；复习不扎实，漏洞多；复习速度快，知识不落实；有要求无落实，学生懂而不会，效率低下。
二、以专题为载体，注重综合能力的培养
第二轮复习应以能力为立意，既要系统的复习主干知识和核心内容，又要关注中考命题的热点和命题方向，以形成能力为落脚点，复习时间以3到4周为宜。
中考试卷中的中档题和较难题所涉及的知识点都集中在初中阶段的重点内容部分，如方程、函数、统计与概率、解直角三角形及三角形、四边形和圆等。试题注重考查学生的思维过程，提示知识内在规律的能力，分析和解决问题的思维方式等。应用、开放、探索等题型是重要的载体，对于这些重点内容和方法就不能做一般复习，要求有所侧重，要打破章节、学科的界限，加强联系，可以按知识专题和热点专题组织复习。第二轮复习是第一轮复习的延伸和提高，它侧重于学生数学能力的培养。第二轮复习的时间相对集中，在第一轮复习的基础上，进行拔高，适当增加难度；第二轮复习重点要突出，主要集中在中考试题中的热点、难点和核心内容上；注意数学思想的形成和数学方法的掌握，这就需要充分发挥教师的主导作用。一般按专题复习，如“阅读理解型”、“开放探究型”、“图表信息型”、“猜想验证型”、“运动型”、“应用型”等问题以便学生熟悉、适应这类题型。
第二轮复习应该注意的几个问题
（1）第二轮复习不再以节、章、单元为单位，而是以专题为单位。
（2）专题的划分要合理，要结合学生已有知识基础和生活经验。
（3）专题的选择要准、安排时间要合理。专题要有代表性，切忌面面俱到；专题要由针对性，围绕热点、难点、重点特别是中考必考内容选定专题。
三、以模拟为重点。注重应试水平的提高
第三轮复习应当以综合训练、查漏补缺、考前热身为重点。必须进行适当的模拟测试，但次数不宜过多，以3------5次为宜。
1、模拟训练关键是命好模拟试题，要按照浙江省初中毕业生学业考试说明要求，结合绍兴市中考数学试卷的结构特点和命题趋势，使模拟试题真正具有模拟性。时间的安排，题量的多少，低、中、高档题的比例，总体难度的控制等都要符合绍兴市中考要求。
2、模拟测试后，批阅要及时，趁热打铁，有利于及时查漏补缺，复习效果明显提高。评卷时要严格按照中考评分要求，按步骤和知识要点给分，能得的分应给学生分，教师不要随心所欲，看解题结果给分，结果错了全扣，这样不利于学生的思想和心理教育，也不利于学生良好习惯的培养。
3、试卷的讲评是关键，讲评课要讲究方法和效果，对每道的失分情况和错误原因进行统计分析，不同情况分别处理。对个别学生出错的试题，教师在他们的试卷上面以批语形式给予讲解，这样的题不能再占用课堂上的时间，个别学生的问题，就个别解决。对部分学生同一问题失分情况和学生中的典型错误。这是讲评课内容的主要依据。因为，他们既有代表性，又是提高班级成绩的关键，课堂上应该讲的是学生出错较集中的题，重点归纳学生知识的遗漏点，为查漏补缺积累素材。
4、处理好讲评与考试的关系。考试是学生掌握知识、学生数学能力和教师教学效果的有效信息反馈，是第三轮复习课中查漏补缺的素材的基点，选准要讲的题，要少、要精、要有很强的针对性。选择的依据是学生考试的失分情况。立足一个“透”字，一个题一旦决定要讲，有四个方面的工作必须做好，一是要讲透；二是要展开；三是要跟上足够量的跟踪练习题； 四要以题代知识。切忌面面俱到式讲评。切忌蜻蜓点水式讲评，切忌就题论题式讲评。
5、留给学生一定的纠错和消化时间。教师讲过的内容，学生要整理下来；教师没讲的自己解错的题要纠错；与之相关的基础知识要再记忆再巩固。教师要充分利用这段时间，解决个别学生的个别问题。
6、适当的“解放”学生，特别是在时间安排上。经过一段时间的考、考、考，几乎所有的学生心身都会感到疲劳，如果把这种疲劳的状态带进中考考场，那肯定是个较差的结果。但要注意，解放不是放松，必须保证学生有个适度紧张的精神状态。实践证明，适度紧张是正常或者超常发挥的最佳状态。调节学生的生物钟，尽量把学习、思考的时间调整得与中考答卷时间相吻合，关注学生的心态和信心调整，这也是每位教师的责任，此时此刻学生的信心的作用变为了最大。
2009年3月12日
中考试题的改编与创新
题1、(2002年吉林省中考题)将两块完全相同的等腰直角三角板摆放成如图1的样子，假设图形中的所有点．线都在同一平面内，回答下列问题：
（1）图中共有多少个三角形？把它们一一写出来；
（2）图中有相似（不包括全等）三角形吗？如果有，就把它们一一写出来．
??
题2、（2008年湖北省恩施自治州中考题） 如图2，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若?ABC固定不动，?AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),设BE=m，CD=n.
（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明.
（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围.
（3）以?ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图12).在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD＋CE=DE.
（4）在旋转过程中,(3)中的等量关系BD＋CE=DE是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.
2、 解:(1)?ABE∽?DAE, ?ABE∽?DCA
∵∠BAE=∠BAD+45°,∠CDA=∠BAD+45° ∴∠BAE=∠CDA
又∠B=∠C=45° ∴?ABE∽?DCA
(2)∵?ABE∽?DCA ∴
由依题意可知CA=BA= ∴ ∴m=
自变量n的取值范围为1 (3)由BD=CE可得BE=CD,即m=n ∵m= ∴m=n=
∵OB=OC=BC=1∴OE=OD=－1∴D(1－, 0)
∴BD=OB－OD=1-(－1)=2－=CE, DE=BC－2BD=2-2(2－)=2－2
∵BD＋CE=2 BD=2(2－)=12－8, DE=(2－2)= 12－8
∴BD＋CE=DE
(4)成立
证明:如图,将?ACE绕点A顺时针旋转90°至?ABH的位置,则CE=HB,AE=AH,
∠ABH=∠C=45°,旋转角∠EAH=90°.
连接HD,在?EAD和?HAD中
∵AE=AH, ∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD, AD=AD.
∴?EAD≌?HAD ∴DH=DE
又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°
∴BD+HB=DH即BD＋CE=DE
解法2、（代数方法）∵BE=m，CD=n ，，m=
∴ ，，。
∴
==。
7、（2007甘肃陇南）四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG．
（1）求证：AE=CG；
（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，
并证明你的猜想．
(1) 证明： 如图，
∵ AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠GDE=90o，
又 ∠CDG=90o +∠ADG=∠ADE，
∴ △ADE≌△CDG． ∴ AE=CG．
（2）猜想： AE⊥CG．
证明： 如图，
设AE与CG交点为M，AD与CG交点为N．
∵ △ADE≌△CDG， ∴ ∠DAE=∠DCG．
又∵ ∠ANM=∠CND， ∴ △AMN∽△CDN．
∴ ∠AMN=∠ADC=90o．∴ AE⊥CG．
10、（2007四川资阳）如图8-1，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F.
(1) 求证：BP=DP；
(2) 如图8-2，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；
(3) 试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论 .
23．如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：
（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；
②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．
（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka， CG=kb (ab，k0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．
（3）在第(2)题图5中，连结、，且a=3，b=2，k=，求的值．
23．解:
(1)①
②仍然成立
在图（2）中证明如下
∵四边形、四边形都是正方形
∴ ，，
∴
∴ （SAS）
∴
又∵
∴ ∴
∴
（2）成立，不成立
简要说明如下
∵四边形、四边形都是矩形，
且，，，(，)
∴ ，
∴
∴
∴
又∵
∴ ∴
∴
（3）∵ ∴
又∵，，
∴
∴
26．如图13－1，操作：把正方形CGEF的对角线
CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），
取线段AE的中点M。
探究：线段MD、MF的关系，并加以证明。
说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题
的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求
至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，
可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，
完成你的证明。
注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得
7分；选取③完成证明得5分。
DM的延长线交CE于点N，且AD＝NE；
将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45°（如图13－2），
其他条件不变；③在②的条件下且CF＝2AD。
附加题：将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后
（如图13－3），其他条件不变。探究：线段MD、
MF的关系，并加以证明。
26．关系是：MD=MF，MD⊥MF。
证法一：如图6，延长DM交CE于N，连结
FD、FN。
∵正方形ABCD，∴AD∥BE，AD=DC
∴∠1＝∠2。…………………………………1分
又∵AM=EM，∠3＝∠4，……………………2分
∴△ADM≌△ENM……………………………3分
∴AD=EN，MD=MN。…………………………4分
∵AD=DC，∴DC=NE。…………………………5分
又∵正方形CGEF，
∴∠FCE=∠NEF=45°，FC=FE，∠CFE=90°。
又∵正方形ABCD，∴∠BCD＝90°。
∴∠DCF=∠NEF=45°，……………………6分
∴△FDC≌△FNE。……………………7分
∴FD=FN，∠5＝∠6……………………8分
∵∠CFE＝90°，∴∠DFN＝90°。………9分
又∵DM=MN，∴MD=MF，DM⊥MF。………10分
证法二：如图7，连结AC、FD，延长DM交CE于N，连结
CM并延长交FE于H。
∵正方形ABCD，∴AD∥BE。∴∠1＝∠2。……………………………1分
∵AM=EM，∠3＝∠4，……………………………2分
∴△ADM≌△ENM………………………………………………3分
∴MD=MN。………………………………………………4分
∵AC和CE分别是正方形ABCD和CGEF的对角线，
∴∠ACB=∠FEC=45°，∠FCN＝45°，
∴AC∥EF。同理可证△ACM≌△EHM。………………………………5分
∴CM=MH。………………………………………………………………6分
∵正方形ABCD和正方形CGEF，
∴∠DCN＝∠CFH=90°，
∴MC＝MD＝MN＝MF＝MH。…………………………………………7分
∴点D、C、N、F在以点M为圆心，MD为半径的圆上，
∠FDN=∠DFM。…………………………………………………………8分
∴∠FDN＝∠FCN＝45°，∴∠FDN＝∠DFM＝45°。………………9分
∴MD=MF，DM⊥MF。………………………………………………10分
证法三：如图7，同证法二证出MC＝MD＝MN＝MF＝MH。……………………7分
∴∠MCN=∠MNC，∠MCF=∠MFC。
∵∠DMC＝∠MCN＋∠MNC=2∠MCN，
∠FMH＝∠MCF＋∠MFC＝2∠MCF。……………………8分
∴∠DMC+∠FMH=2∠MCN+∠MCF＝2（∠MCN+∠MCF）
＝2∠FCE=90°……………………………9分
∴∠DMF＝180°－90°＝90°，∴DM⊥FM。…………………10分
思路一：
∵正方形ABCD、CGEF，∴AB=BC=CD=AD，
∠B=∠BCD=∠CDA=∠BAD＝90°
CF=EF=EG=CG，∠G=∠GEF=∠EFC=∠FCG=90°，
∠FCE=∠FEC=45°……1分
∴∠DCF=∠FEC。……2分
思路二：
延长DM交CE于N。
∵正方形ABCD、CGEF，∴AD∥CE，∴∠DAM=∠NEM。……1分
又∵∠DMA＝∠NME，AM=EM，
∴△ADM≌△ENM。……2分
思路三：
∵正方形CGEF，∴∠FCE=∠FEC＝45°。……1分
又∵正方形ABCD，∴∠DCF=180°－∠DCB－∠FCE＝45°，
∠DCF＝∠FEC＝45°……2分
选取条件①
证明：如图6，∵正方形ABCD∴AD∥BE，AD=DC，
∴∠1＝∠2………………………………………………………1分
∵AD=NE，∠3=∠4，
∴△ADM≌△ENM。……………………………………………2分
∴MD=MN。…………………………………………………………3分
又∵AD=DC，∴DC=NE。……………………………………………4分
又∵正方形CGEF，∴FC=FE，∠FCE=∠FEN＝45°。
∴∠FCD=∠FEN=45°。……………………………………………5分
∴△FDC≌△FNE。…………………………………………………6分
∴FD=FN，∠5＝∠6，∴∠DFN=∠CFE＝90°。………………7分
∴MD=MF，MD⊥MF。……………………………………………8分
选取条件②
证明：如图8，延长DM交FE于N。
∵正方形ABCD、CGEF，
∴CF=EF，AD=DC，∠CFE=90°，AD∥FE
∴∠1＝∠2……………………………1分
又∵MA＝ME，∠3＝∠4
∴△AMD≌△EMN……………………2分
∴MD=MN，AD=EN。∵AD=DC，∴DC=NE。………3分
又∵FC=FE，∴FD=FN。……………………4分
又∵∠DFN=90°，∴FM⊥MD，MF=MD。……………………5分
选取条件③
证明：如图8，延长DM交FE于N。
∵正方形ABCD、CGEF，
∴CF=EF，AD=DC，∠CFE=90°，AD∥FE
∴∠1＝∠2……………………………1分
又∵MA＝ME，∠3＝∠4
∴△AMD≌△EMN……………………2分
∴AD=EN，MD=MN，∵CF=2AD，EF=2EN，
∴FD=FN。又∵∠DFN＝90°，∴FM⊥MD，MF=MD。……………3分
附加题：
证法一：如图9，延长DM到N，
使MN=MD，连结FD、FN、EN，
延长EN与DC延长线交于点H。
∵MA=ME，∠1＝∠2，MD=MN，
∴△AMD≌△EMN
∴∠3＝∠4，AD=NE。
又∵正方形ABCD、CGEF，
∴CF=EF，AD=DC，∠ADC＝90°，
∠CFE=∠ADC=∠FEG=∠FCG＝90°。
∴DC=NE。
∵∠3＝∠4，∴AD∥EH。∴∠H＝∠ADC＝90°。
∵∠G＝90°，∠5＝∠6，∴∠7＝∠8。
∵∠7＋∠DCF＝∠8＋∠FEN＝90°
∴∠DCF＝∠FEN。
∵FC=FE，∴△DCF≌△NEF。
∴FD=FN，∠DFC=∠NFE。∵∠CFE＝90°，∴∠DFN＝90°。
∴FM⊥MD，MF=MD。
证法二：如图9，过点E作AD的平行线分别交DM、DC的延长线于N、H，连结DF、FN。
∴∠ADC=∠H，∠3＝∠4。∵AM=ME，∠1＝∠2，
∴△AMD≌△EMN
∴DM=NM，AD=EN。
∵正方形ABCD、CGEF，
∴AD=DC，FC=FE，∠ADC＝∠FCG＝∠CFE＝90°，CGFE。
∴∠H＝90°，∠5=∠NEF，DC=NE。
∴∠DCF＋∠7＝∠5＋∠7＝90°
∴∠DCF＝∠5＝∠NEF。
∵FC=FE，∴△DCF≌△NEF。
∴FD=FN，∠DFC=∠NFE。∵∠CFE=90°，∴∠DFN＝90°。
∴FM⊥MD，MF=MD。
9．(2008北京)请阅读下列材料：
问题：如图9-1，在菱形和菱形中，点在同一条直线上，是线段的中点，连结．若，探究与的位置关系及的值．
小聪同学的思路是：延长交于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．
请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）写出上面问题中线段与的位置关系及的值；
（2）将图9-1中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
（3）若图1中，将菱形绕点顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含的式子表示）．
9. 解：（1）线段与的位置关系是；．
（2）猜想：（1）中的结论没有发生变化．
证明：如图，延长交于点，连结．
是线段的中点，．
由题意可知．．
，．，．
四边形是菱形，，．
由，且菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，
可得．．四边形是菱形，．．
．，．．
即．，，，．．
（3）．
