河北省NT20名校联合体2023-2024学年高一下学期收心考试数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 河北省NT20名校联合体2023-2024学年高一下学期收心考试数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 725.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-02 23:23:17 | ||
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文档简介
河北省NT20名校联合体2023-2024学年高一下学期收心考试
数 学
考试说明：
1．本试卷共150分．考试时间120分钟．
2．请将各题答案填在答题卡上．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若点是角终边上一点，且，则y的值为（ ）
A． B． C．－2 D．2
3．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．若，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知为上的奇函数，且，当时，，则的值为（ ）
A．－4 B． C． D．
6．若为奇函数，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．－1
7．在同一平面直角坐标系中，函数，（且）的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
8．定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．已知角A，B，C是三角形ABC的三个内角，下列结论一定成立的有（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
10．已知函数的部分图象如图所示，其中的图象与x轴的一个交点的横坐标为，则（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于点中心对称
C．的图象可以由向左平移个单位长度得到
D．在上单调递增
11．若命题“，”是假命题，则k的值可能为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
12．已知方程与的根分别为，，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．函数的定义域为______．
14．已知，则的值为______．
15．已知a，，，则的最小值为______．
16．已知函数，若对于任意恒成立，则实数k的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题共10分）
计算：（1）；
（2）．
18．（本题共12分）
已知集合，．
（1）若，求集合；
（2）若“”的充分不必要条件是“”，求实数k的取值范围．
19．（本题共12分）
已知函数．
（1）若，求的值；
（2）若，，且，，求的值．
20．（本题共12分）
已知幂函数在上单调递减．
（1）求函数的解析式；
（2）若，求x的取值范围；
（3）若对任意，都存在，使得成立，求实数t的取值范围．
21．（本题共12分）
已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）若，求的最值及取最值时x的值；
（3）若函数在内有且只有一个零点，求实数m的取值范围．
22．（本题共12分）
已知定义域为的函数是奇函数，且．
（1）求实数a，b的值；
（2）判断函数在上的单调性并用单调性的定义证明；
（3）若关于x的不等式在区间上恒成立，求实数m的取值范围．
河北省NT20名校联合体2023-2024学年高一下学期收心考试
数学答案
1．B 【解析】，故．故选B．
2．D 【解析】，又，，解得．故选D．
3．B 【解析】，，，故．故选B．
4．A 【解析】因为，所以，，
．故选A．
5．C 【解析】为奇函数，则，又因为，
所以的周期为4，，因为为奇函数，
所以．故选C．
6．C 【解析】，因为为奇函数，所以为偶函数，则．故选C．
7．D 【解析】分和进行讨论．当时，单调递增，A、B均不符合题意．当时，单调递减，当时．故选D．
8．A 【解析】令，因为对，且，都有成立，不妨设，则，故，则，即，所以在上单调递增，又因为，所以，故可化为，所以由的单调性可得，即不等式的解集为．故选：A．
9．ACD 【解析】A选项，，选项A正确；
B选项，，选项B错误；
在中，，利用正弦函数的图象知，再利用三角形中大角对大边，小角对小边，可知，故C和D正确．
10．AC 【解析】由图，知，∴，∴，
因为，，则，∴，
∵，∴，故A正确；
，故的图象不关于点中心对称，故B错误，
，可以由向左平移个单位长度得到，C正确；
当时，，∴不单调，D错误，故选：AC．
11．AB 【解析】由题知，是真命题，当，即时，恒成立，时，不恒成立；当时，，解得，综上得．故选AB．
12．ABC 【解析】由题知，，与的图象关于对称，所以点与点关于对称，故，A正确；
由零点存在性定理可知，，B正确；
，两边同时取对数知，故C正确；
，故D错误，故选ABC．
13． 【解析】要使函数有意义，则应有，解得，所以函数的定义域为．
14． 【解析】利用倍角公式化简得．
15． 【解析】因为，所以．
所以
，
当且仅当，时等号成立．故的最小值为．
16． 【解析】，
令，显然可得为奇函数，且在上单调递增．
，
于是恒成立．
当时不等式恒成立；
当时，要满足题意则需．
17．【解析】（1）．
（2）
．
18．【解析】（1）由，得，
当时，，
由，解得，所以，所以．
（2）“”的充分不必要条件是“”，即A是B的真子集．
由（1）知，又由，得，
当时，；当时，；当时，．
因为“”是“”的充分不必要条件，
所以当时，满足，解得；当时，不符合题意；
当时，满足，解得．
综上可得，实数k的取值范围为．
19．【解析】（1）因为化简可得，即．
因为，即，解得．
（2）依题意，由，，可得，，
∴．
∵，，∴，
又，∴，∴，∴．
20．【解析】（1）幂函数在上单调递减，
所以，所以．
（2）图象关于y轴对称，且在上单调递增，
则可化为，平方得，
化简得，解得，所以x的取值范围是．
（3）由（1）可得，
因为对，使得都成立．
所以，其中，由（1）可得函数在上的最大值为4，
所以，又，使得成立．
所以，因为，所以是关于a的单调递增函数，
∴，
即，∴或，所以实数t的取值范围为．
21．【解析】（1）
，故函数的最小正周期为．
（2）由（1）知，因为，所以，
令，则，函数在区间上单调递减，
在区间上单调递增，所以，即时，
函数有最大值，最大值为．
当，即，函数有最小值，最小值为．
综上，的最小值为－1，此时；最大值为2，此时．
（3）因为函数在内有且只有一个零点，
所以在只有一个实根，
，即，
即函数在的图象在与直线只有一个交点，
当，，当，，
结合函数图象可知：函数在区间的图象在与直线只有一个交点时，，即．
22．【解析】（1）由题意得，则①，
又因为，则②，联立①②解得，
此时，，且定义域为，关于原点对称，故此时为奇函数．
（2）在上单调递增，证明如下：
，
设，，
因为，所以，所以，，
故，即，则在上单调递增．
（3）奇函数在上单调递增，
不等式即为，
所以，不等式在时恒成立，
则，，
令，，则，，
原不等式转化为在时恒成立．
则，又在上单调递增，最小值为－1．
所以，即，故实数m的取值范围是．
数 学
考试说明：
1．本试卷共150分．考试时间120分钟．
2．请将各题答案填在答题卡上．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若点是角终边上一点，且，则y的值为（ ）
A． B． C．－2 D．2
3．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．若，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知为上的奇函数，且，当时，，则的值为（ ）
A．－4 B． C． D．
6．若为奇函数，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．－1
7．在同一平面直角坐标系中，函数，（且）的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
8．定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．已知角A，B，C是三角形ABC的三个内角，下列结论一定成立的有（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
10．已知函数的部分图象如图所示，其中的图象与x轴的一个交点的横坐标为，则（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于点中心对称
C．的图象可以由向左平移个单位长度得到
D．在上单调递增
11．若命题“，”是假命题，则k的值可能为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
12．已知方程与的根分别为，，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．函数的定义域为______．
14．已知，则的值为______．
15．已知a，，，则的最小值为______．
16．已知函数，若对于任意恒成立，则实数k的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题共10分）
计算：（1）；
（2）．
18．（本题共12分）
已知集合，．
（1）若，求集合；
（2）若“”的充分不必要条件是“”，求实数k的取值范围．
19．（本题共12分）
已知函数．
（1）若，求的值；
（2）若，，且，，求的值．
20．（本题共12分）
已知幂函数在上单调递减．
（1）求函数的解析式；
（2）若，求x的取值范围；
（3）若对任意，都存在，使得成立，求实数t的取值范围．
21．（本题共12分）
已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）若，求的最值及取最值时x的值；
（3）若函数在内有且只有一个零点，求实数m的取值范围．
22．（本题共12分）
已知定义域为的函数是奇函数，且．
（1）求实数a，b的值；
（2）判断函数在上的单调性并用单调性的定义证明；
（3）若关于x的不等式在区间上恒成立，求实数m的取值范围．
河北省NT20名校联合体2023-2024学年高一下学期收心考试
数学答案
1．B 【解析】，故．故选B．
2．D 【解析】，又，，解得．故选D．
3．B 【解析】，，，故．故选B．
4．A 【解析】因为，所以，，
．故选A．
5．C 【解析】为奇函数，则，又因为，
所以的周期为4，，因为为奇函数，
所以．故选C．
6．C 【解析】，因为为奇函数，所以为偶函数，则．故选C．
7．D 【解析】分和进行讨论．当时，单调递增，A、B均不符合题意．当时，单调递减，当时．故选D．
8．A 【解析】令，因为对，且，都有成立，不妨设，则，故，则，即，所以在上单调递增，又因为，所以，故可化为，所以由的单调性可得，即不等式的解集为．故选：A．
9．ACD 【解析】A选项，，选项A正确；
B选项，，选项B错误；
在中，，利用正弦函数的图象知，再利用三角形中大角对大边，小角对小边，可知，故C和D正确．
10．AC 【解析】由图，知，∴，∴，
因为，，则，∴，
∵，∴，故A正确；
，故的图象不关于点中心对称，故B错误，
，可以由向左平移个单位长度得到，C正确；
当时，，∴不单调，D错误，故选：AC．
11．AB 【解析】由题知，是真命题，当，即时，恒成立，时，不恒成立；当时，，解得，综上得．故选AB．
12．ABC 【解析】由题知，，与的图象关于对称，所以点与点关于对称，故，A正确；
由零点存在性定理可知，，B正确；
，两边同时取对数知，故C正确；
，故D错误，故选ABC．
13． 【解析】要使函数有意义，则应有，解得，所以函数的定义域为．
14． 【解析】利用倍角公式化简得．
15． 【解析】因为，所以．
所以
，
当且仅当，时等号成立．故的最小值为．
16． 【解析】，
令，显然可得为奇函数，且在上单调递增．
，
于是恒成立．
当时不等式恒成立；
当时，要满足题意则需．
17．【解析】（1）．
（2）
．
18．【解析】（1）由，得，
当时，，
由，解得，所以，所以．
（2）“”的充分不必要条件是“”，即A是B的真子集．
由（1）知，又由，得，
当时，；当时，；当时，．
因为“”是“”的充分不必要条件，
所以当时，满足，解得；当时，不符合题意；
当时，满足，解得．
综上可得，实数k的取值范围为．
19．【解析】（1）因为化简可得，即．
因为，即，解得．
（2）依题意，由，，可得，，
∴．
∵，，∴，
又，∴，∴，∴．
20．【解析】（1）幂函数在上单调递减，
所以，所以．
（2）图象关于y轴对称，且在上单调递增，
则可化为，平方得，
化简得，解得，所以x的取值范围是．
（3）由（1）可得，
因为对，使得都成立．
所以，其中，由（1）可得函数在上的最大值为4，
所以，又，使得成立．
所以，因为，所以是关于a的单调递增函数，
∴，
即，∴或，所以实数t的取值范围为．
21．【解析】（1）
，故函数的最小正周期为．
（2）由（1）知，因为，所以，
令，则，函数在区间上单调递减，
在区间上单调递增，所以，即时，
函数有最大值，最大值为．
当，即，函数有最小值，最小值为．
综上，的最小值为－1，此时；最大值为2，此时．
（3）因为函数在内有且只有一个零点，
所以在只有一个实根，
，即，
即函数在的图象在与直线只有一个交点，
当，，当，，
结合函数图象可知：函数在区间的图象在与直线只有一个交点时，，即．
22．【解析】（1）由题意得，则①，
又因为，则②，联立①②解得，
此时，，且定义域为，关于原点对称，故此时为奇函数．
（2）在上单调递增，证明如下：
，
设，，
因为，所以，所以，，
故，即，则在上单调递增．
（3）奇函数在上单调递增，
不等式即为，
所以，不等式在时恒成立，
则，，
令，，则，，
原不等式转化为在时恒成立．
则，又在上单调递增，最小值为－1．
所以，即，故实数m的取值范围是．
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