陕西省榆林市府谷县府谷中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题（含解析）

府谷中学2023-2024学年高二下学期开学考试
数学
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷 草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.数列的一个通项公式为（ ）
A. B.
C. D.
2.节日里，人们常用放气球的形式庆祝，已知气球的体积（单位：）与半径（单位：）的关系为，则时体积关于半径的瞬时变化率为（ ）
A. B. C. D.
3.下列求导运算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4.已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A.16 B.17 C.18 D.20
5.在等差数列中，，则（ ）
A. B. C.1345 D.2345
6.已知函数的导函数为，且，则（ ）
A. B. C. D.
7.已知等差数列是递增数列，其前项和为，且满足，当时，实数的最小值为（ ）
A.10 B.11 C.20 D.21
8.若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知等比数列的前项和为，若，则数列的公比可能是（ ）
A. B. C. D.
10.已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图所示，则（ ）
A.在上单调递减
B.有极小值
C.有2个极值点
D.在处取得最大值
11.若数列是等比数列，且，则下列结论正确的是（ ）
A.数列是等比数列
B.数列是等比数列
C.数列是等比数列
D.数列是等差数列
12.已知函数，则（ ）
A.曲线在点处的切线方程是
B.函数有极大值，且极大值点
C.
D.函数有两个零点
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知数列满足，若，则__________.
14.设函数满足，则__________.
15.中国三大名楼之一的黄鹤楼因其独特的建筑结构而闻名，其外观有五层而实际上内部有九层，隐喻“九五至尊”之意，为迎接国庆节的到来，有网友建议在黄鹤楼内部挂灯笼进行装饰，若在黄鹤楼内部塔楼的顶层挂4盏灯笼，且相邻的两层中，下一层的灯笼数是上一层灯笼数的两倍，则九层塔楼一共需要挂__________盏灯笼.
16.若-2是函数的极大值点，则实数的取值范围是__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知等差数列的前项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
18.（本小题满分12分）
已知函数，且.
（1）求的值；
（2）求函数的图象在点处的切线方程.
19.（本小题满分12分）
已知递增的等差数列和等比数列满足.
（1）求和的通项公式；
（2）若，求的前项和.
20.（本小题满分12分）
已知函数，且当时，有极值-5.
（1）求的解析式；
（2）求在上的最大值和最小值.
21.（本小题满分12分）
已知等差数列的前项和为，数列是各项均为正数的等比数列，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，数列的前项和为，证明：.
22.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，证明：当时，.
府谷中学2023-2024学年高二下学期开学考试
数学
参考答案 提示及评分细则
1.B 由符号来看，奇数项为负，偶数项为正，所以通项公式中应该是，数值满足，所以通项公式可以是.故选B.
2.C 由，得，所以时体积关于半径的瞬时变化率为.故选C.
3.B 对于，A错误；对于，B正确；对于，C错误；对于错误.故选B.
4.C 因为为等比数列，所以，且，所以，则.故选C.
5.A 由，得，由，得，所以数列的公差，所以，所以.故选A.
6.A 因为，所以，令，则，则，所以.故选A.
7.C 因为是递增数列，所以.因为，所以，所以，所以，，所以，所以当时，的最小值为20.故选C.
8.D 由题意，得，因为在上单调递减，所以在上恒成立，即，令，则，令，得，当时，单调递减；当时，单调递增.所以的最小值为，所以，即的取值范围为.故选D.
9.BC 设数列的公比为，则，所以，解得或，即或.故选.
10.AB 由的图象可知时，，则单调递减，故A正确；又时，，则单调递增，所以当时，有极小值，故B正确；由的图象可知时，有极值，所以有3个极值点，故C错误；当时，，则单调递增，所以在处不能取得最大值，故D错误.故选AB.
11.ACD 设等比数列的公比为，由知，所以是以为公比的等比数列，故A正确；当时，，此时数列不是等比数列，故B错误；由知，所以是以为公比的等比数列，故C正确；由知，所以数列是等差数列，故D正确.故选ACD.
12.AB 由，得，则，故曲线在点处的切线方程是，即，故A正确；令，则，所以在上单调递减，又，所以存在，使得0，即，则在上单调递增，在上单调递减，所以有极大值，且极大值点，故B正确；由上知在上单调递减，故，故C错误；当时，单调递增，又在有一个零点，当时，，则在上无零点，即只有一个零点，故D错误.故选.
13.2 因为数列满足，且，所以，所以数列是以3为周期的周期数列，所以.
14. 因为，所以.
15.2044 依题意，各层灯笼数从上到下排成一列构成等比数列，且，公比，所以前9项和为，所以九层塔楼一共需要挂2044盏灯笼.
16. ，令，得或，当，即时，由，得或，由，得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以-2是函数的极小值点，不符合题意；当，即时，由，得或，由，得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以-2是函数的极大值点，符合题意；当，即时，恒成立，所以没有极值点，不符合题意.综上所述，实数的取值范围是.
17.解：（1）因为，所以.
设的公差为，所以，即，所以.
所以数列的通项公式为.
（2）由（1），得.
所以，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列.
所以数列的前项和.
18.解：（1）由，得，
又，所以，解得.
（2）由，得，所以，即切点为，
又切线的斜率为，
所以函数的图象在点处的切线方程为，即.
19.解：（1）设的公差为的公比为，
由，得
解得
所以.
（2）由（1）知，
所以
.
20.解：（1）由，得，
又当时，有极值一5，所以解得
所以，当时，单调递减；当时，单调递增.所以当时，有极小值-5.
所以.
（2）由（1）知.令，得，
的值随的变化情况如下表：
-4 -1 3 4
+ 0 - 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值-5 单调递增
由表可知在上的最大值为，最小值为.
21.（1）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为.
因为，所以解得
所以数列的通项公式为.
所以，所以，
所以数列的通项公式为.
（2）证明：由（1）知，
所以，①
，②
①-②，得
，
所以.
又，所以.
22.（1）解：由题意知的定义域为，
当时，恒成立，所以在上单调递增；
当时，令，得，所以当时，单调递减，当时，单调递增.
综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）证明：当时，，
令，则，
令，则，因为，所以，所以当时，
恒成立，所以在上单调递减，
即在上单调递减，所以，所以在上单调递减，
所以，即.